Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.6) Lineare Algebra 1: Fouriertransformation
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
k
dS
x
y
z θ
dy
dx Gxy
G
exp-Form der Fourierreihe Mit der Eulerformel
eikx = cos(kx) + i sin(kx) (1)
kann man die reelle sin/cos-Fourierreihe umformen zur komplexen exp-Fourierreihe (das Minus- zeichen in der zweiten Gleichung ist bei komplexen Skalarprodukten erforderlich, s. Skript):
f(x) = 1
√2π
+∞
X
k=−∞
ck eikx (2)
ck = 1
√2π
+π
Z
−π
e−ikxf(x) dx (3)
bzw. f¨ur das Intervall [−`,+`] zu:
f(x) = 1
√ 2`
+∞
X
k=−∞
ck eikπx/` (4)
ck = 1
√2`
+`
Z
−`
e−ikπx/`f(x)dx (5)
Unendlich breites Intervall: Fouriertransformation
Der Frequenzunterschied ∆k f¨ur zwei benachbarte k-Werte ist 1 = π/π f¨urs Intervall [−π,+π] bzw. π/` f¨urs Intervall [−`,+`].
F¨ur ` → ∞ gilt also ∆k → 0, womit aus dem diskreten k-Index eine kontinuierliche k- Koordinate wird, und aus diskreten ck-Koeffizientenwerten eine kontinuierliche Funktion c(k).
Man erh¨alt (s. Skript) die Fouriertransformation: (FT) f(x) = 1
√2π
+∞
Z
−∞
c(k)eikxdk (6)
c(k) = 1
√2π
+∞
Z
−∞
f(x)e−ikxdx (7)
• Pendant zur Fourierreihe, f¨ur Intervalle [−∞,+∞]
• Frequenzzerlegung nicht-periodischer Funktionen auf der kompletten x-Achse
• bzw. Transformation zwischen FT-verwandten Funktionen f(x) ↔ c(k)
Beispiel Fouriertransformation
f(x) =
1 f¨ur − a ≤ x ≤ +a
0 sonst (8)
0 1
-a +a
x-axis
f(x)
c(k) = 1
√2π
∞
Z
−∞
f(x)e−ikxdx = 1
√2π
a
Z
−a
e−ikx dx (9)
= 1
√2π
e−ikx
−ik a
−a
= 1
−ik√
2π e−iak − eiak
(10)
Beispiel Fouriertransformation Aus der Eulerformel ergibt sich:
eiu = cos(u) + i sin(u) ⇒ 2i sin(u) = eiu − e−iu (11) Somit erhalten wir mit der Definition der sinc-Funktion sinc(v) = sin(v)/v:
c(k) = 1
−ik√
2π e−iak − eiak
= a r2
π
sin(ak)
ak = a r2
π sinc(ak) (12)
(Fußnote: Obiges geht nur f¨ur k 6= 0, und der Fall k = 0 scheint etwas anderes zu liefern:
c(k = 0) = 1
√2π
a
Z
−a
dx = 2a
√2π = a r2
π (13)
Aber mit der Standardtaylorreihe
sin(ak) = ak − 3!1a3k3 + · · · (14) gilt
k→0lim
sin(ak)
ak = lim
k→0
ak
ak = 1 (15)
Beispiel Fouriertransformation
Also erhalten wir dieses Fouriertransformations-Funktionenpaar:
f(x) =
1 f¨ur − a ≤ x ≤ +a
0 sonst , c(k) = a
r2 π
sin(ak)
ak = a r2
π sinc(ak) (16)
0 1
-a +a
x-axis
f(x)
b
-pi/a pi/a
k-axis
c(k)
Maximum bei b = a r2
π
Beispiel Fouriertransformation
0 1
-a +a
x-axis
f(x)
b
-pi/a pi/a
k-axis
c(k)
• kein abstraktes Beispiel, sondern fundamental wichtig z.B. in Spektroskopie
• Breite 2a im x-Ortsraum umgekehrt proportional zur Breite 2π/a im k-Impulsraum: Grund- eigenschaft von Fouriertransformation und Essenz von Heisenbergs Unsch¨arferelation.
• Spr¨unge im einen Raum f¨uhren zu Oszillationen im anderen Raum.
