Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 3.5) Lineare Algebra 2: Lineare Gleichungssysteme

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 3.5) Lineare Algebra 2: Lineare Gleichungssysteme

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

Grundlagen

n Unbekannte x₁, x₂, . . . , x_n, m ≤ n Gleichungen; bekannte Zahlenwerte a_ij, b_k ∈ R:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + · · · + a_1nx_n = b₁ (1) a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + · · · + a_2nx_n = b₂ (2)

... = ... (3)

a_n1x₁ + a_n2x₂ + · · · + a_nnx_n = b_n (4) Alternative Schreibweisen:

x₁~a₁ + x₂~a₂ + · · · + x_n~a_n = ~b mit ~a_i =







 a_1i a_2i ...

a_ni









, ~b =







 b₁ b₂ ...

b_n









(5)

A~x =~b (6)

Nomenklatur:

~b = ~0 : homogen , ~b 6= ~0 : inhomogen (7)

Bedeutung

• x₁~a₁ + x₂~a₂ + · · · + x_n~a_n =~b interpretierbar als Basisvektor-Darstellung;

Komplexit¨at in ~a_i, nicht in x_i

• Differentialgleichung → Basisfunktionsentwicklung → lineares Gleichungssystem Grundlage f¨ur >95% aller Computersimulationen in den Naturwissenschaften, z.B.:

– Luftstr¨omung um Tragfl¨achen – Klimasimulationen

– Galaxienentstehung

– W¨arme- und Stofftransport in einem chemischen Reaktor – Protein-Arzneistoff-Wechselwirkung

– Atomkern- und Elektronendynamik in chemischen Reaktionen – photochemische Licht-Materie-Wechselwirkung

– . . .

Grundideen zur L¨osung

A⁻¹ | A~x =~b (8)

A⁻¹A~x = A⁻¹~b (9)

~x = A⁻¹~b (10)

Obige Strategie unpraktisch, denn:

• Matrix A kann, aber muß nicht invertierbar sein

• geht nur in 2 der 5 F¨alle (s.u.); interessant nur in 1 von 5

• Bestimmung von A⁻¹ aufwendiger als L¨osung eines linearen Gleichungssystems

Grundideen zur L¨osung

Ein Gleichungssystem in dieser (oder ¨ahnlicher) Dreiecksform (alle anderen a_i = 0)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁ (11) a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (12)

a₃₃x₃ = b₃ (13)

ist per sukzessiver “R¨uckrechnung” (von unten nach oben) leicht l¨osbar:

• Gl. 13 hat nur 1 Unbekannte; L¨osung: x₃ = b₃/a₃₃

• diesen x₃-Wert in Gl. 12 einsetzen ⇒ nur noch 1 Unbekannte x₂, diese bestimmen

• x₂ und x₃ in Gl. 11 einsetzen und letzte Unbekannte x₁ bestimmen.

⇒ zweischrittiges Gauß-Verfahren (Gauß-Elimination):

1) bringe Gleichungssystem auf Dreiecksform;

2) bestimme die Unbekannten durch R¨uckrechnung.

Grundideen zur L¨osung

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁ (14) a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (15) a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃ (16)

−−→wie?

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁ (17)

˜

a₂₂x₂ + ˜a₂₃x₃ = ˜b₂ (18)

˜

a₃₃x₃ = ˜b₃ (19) Geeignete Linearkombination von Gleichungen!

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃ = b₁ | · a₂₁

a₁₁ (20)

a₂₁x₁ + a₂₁

a₁₁a₁₂x₂ + a₂₁

a₁₁a₁₃x₃ = a₂₁

a₁₁b₁ (21)

Wenn wir Gl. 21 von Gl. 15 abziehen, ersetzen wir dort a₂₁x₁ durch Null (auf Kosten gr¨oßerer Ver¨anderung in den anderen Koeffizienten.)

Existenz und Anzahl von L¨osungen: homogen

x₁~a₁ + x₂~a₂ + · · · + x_n~a_n = ~0 (22) Testgleichung auf lineare Unabh¨angigkeit! ⇒

• die ~a_i sind linear unabh¨angig = det(A)b 6= 0:

⇒ einzige L¨osung ~x = ~0 (triviale L¨osung)

• die ~a_i sind linear abh¨angig = det(A) = 0b =b d Nullzeilen/-spalten in det(A) (mit 1 ≤ d ≤ n)

= nichtb n Gleichungen, sondern eigtl. nur (n − d) Gleichungen

⇒ d Unbekannte bleiben unbestimmt (d freie Parameter); unendlich viele spezielle L¨osungen Achtung: Es gibt immer mindestens eine L¨osung f¨ur ein homogenes lineares Gleichungssystem.

“Rang” der Matrix A = “wieviele Gleichungen haben wir effektiv”

Rang(A) = n − d (23)

d = Anzahl Nullzeilen am Ende der Gauß-Elimination (Schritt 1)

Existenz und Anzahl von L¨osungen: homogen Man kann zeigen (s. Skript):

• Ist ~x eine L¨osung von A~x = ~0, ist λ~x mit beliebigem λ ∈ R auch eine L¨osung.

• sind ~x und ~y L¨osungen von A~x = ~0, ist ~x + ~y auch eine L¨osung.

Bei det(A) = 0 mit d freien Parametern kann man deshalb eine allgemeine L¨osung aufstellen

~x_a,hom =

d

X

i=1

λ_i ~x_i,hom (24)

mit d linear unabh¨angigen, speziellen L¨osungen ~x_i (Basis des L¨osungsraums).

Dies k¨onnen wir geometrisch interpretieren als eine (Hyper)Ebene durch den Ursprung.

Existenz und Anzahl von L¨osungen: inhomogen

x₁~a₁ + x₂~a₂ + · · · + x_n~a_n =~b (25) Geht nur, wenn ~b im von den ~a_i aufgespannten Raum liegt.

Das ist der Fall, wenn Rang(A) = Rang(A_b), mit der erweiterten Koeffizientenmatrix A_b: A =





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



 , A_b =





a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁ a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂ a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃



 (26)

• Rang(A) 6= Rang(A_b): es gibt keine(!) L¨osung

• Rang(A) = Rang(A_b): es gibt L¨osungen:

– det(A) 6= 0 =b d = 0: es gibt genau eine L¨osung (n¨amlich ~x = A⁻¹~b)

– det(A) = 0 =b d > 0: es gibt unendlich viele L¨osungen, mit d freien Parametern Man kann f¨ur Rang(A) = Rang(A_b) folgende allgemeine L¨osung notieren (s. Skript):

~

x_a,inh = ~x_inh + ~x_a,hom = ~x_inh +

d

X

i=1

λ_i~x_i,hom (27)