Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.3) Lineare Algebra 1: Orthogonalisierung

(1)

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.3) Lineare Algebra 1: Orthogonalisierung

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

k

dS

x

y

z θ

dy

dx G_xy

G

(2)

Grundidee Orthogonalisierung

Eine VONS-Basis bietet klare Vorteile (s.o.) ⇒ Ubersetzung einer linear unabh¨angigen Basis in¨ eine VONS-Basis oft praktisch.

Dazu nötig: zwei (oder mehr) linear unabhängige Vektoren (bzw. Funktionen) |a₁i und |a₂i in zueinander orthogonale verändern. Vorgehensweise:

• Ermittlung des Anteils von |a₂i, der parallel zu (bzw. linear abh¨angig von) |a₁i ist, z.B. durch Projektion von |a₂i auf |a₁i (Skalarprodukt)

• dann diesen Anteil von |a₂i abziehen.

Das liefert |b₂i ⊥ |a₁i.

Grafische Darstellung (f¨ur Vektoren):

b a

2 2

(3)

Gram-Schmidt-Orthogonalisierung bzw. -Orthonormierung

Grafische Darstellung (f¨ur Vektoren):

a b a

1 2

2

• neuer Vektor ~b₁ = alter Vektor ~a₁

• normiere neuen Vektor: ˆb₁

• Anteil von ~a₂ entlang ˆb₁: Projektion ˆb₁ ·~a₂ (Skalar = Zahl!)

• Vektor entlang ˆb₁ mit L¨ange dieser Projektion: (ˆb₁ ·~a₂) ˆb₁ (rot in obiger Zeichnung)

• neuer Vektor ~b₂ = ~a₂ − (ˆb₁ ·~a₂) ˆb₁

• normiere neuen Vektor: ˆb₂

• f¨ur mehr Vektoren: Iteration, mit ~b_i = ~a_i −

i−1

P(ˆb_j ·~a_i)ˆb_j

(4)

Gram-Schmidt: Vektorbeispiel

VONS aus ~a₁ =



 1 1 0



 , ~a₂ =



 1 0 1



 , ~a₃ =



 0 1 1



 (1)

linear unabh¨angig:

1 1 0 1 0 1 0 1 1

=

0 1 1 1

−

1 1 0 1

= −1 − 1 = −2 6= 0 (2)

Normierung von ~a₁ : aˆ₁ = ~a₁

||~a₁|| = 1

√2



 1 1 0



 = ˆb₁ (3) Orthogonalisierung von ~a₂ auf ˆb₁:

~b₂ = ~a₂ − {ˆb₁ ·~a₂}ˆb₁ =



 1 0 1



 − 1 2









 1 1 0



 ·



 1 0 1













 1 1 0



 (4)

1

1

1 

1/2 

1

 1 

(5)

Normierung von ~b₂ : ˆb₂ = ~b₂

||~b₂|| = 1

√6



 1

−1 2



 (6)

Nebenrechnung:

ˆb₁ ·~a₃ = 1

√2



 1 1 0



 ·



 0 1 1



 = 1

√2 , ˆb₂ ·~a₃ = 1

√6



 1

−1 2



 ·



 0 1 1



 = 1

√6 (7)

Orthogonalisierung von ~a₃ auf ˆb₁ und ˆb₂:

~b₃ = ~a₃ − {ˆb₁ ·~a₃}ˆb₁ − {ˆb₂ ·~a₃}ˆb₂ (8)

=



 0 1 1



 − 1 2



 1 1 0



 − 1 6



 1

−1 2



 = 2 3





−1 1 1



 (9)

Normierung von ~b₃ : ˆb₃ = ~b₃

||~b₃|| = 1

√3





−1 1 1



 (10)

(6)

Resultierendes VONS:

ˆb₁ = 1

√2



 1 1 0



 , ˆb₂ = 1

√6



 1

−1 2



 , ˆb₃ = 1

√3





−1 1 1



 (11) Per Konstruktion sind diese {ˆb_i} normiert und paarweise orthogonal:

(hier zur besseren ¨Ubersicht ohne die Normierungs-Vorfaktoren notiert)

~b₁·~b₂ =



 1 1 0



·



 1

−1 2



 = 0 , ~b₁·~b₃ =



 1 1 0



·





−1 1 1



 = 0 , ~b₂·~b₃ =



 1

−1 2



·





−1 1 1



 = 0 (12)

Komplette Gram-Schmidt-Prozedur von Vektoren auf Funktionen ¨ubertragbar:

(7)

Gram-Schmidt: Funktionenbeispiel

VONS aus u_n(x) = xⁿ , n = 0, 1, 2, . . . (13)

Integrationsgrenzen: − 1,+1 Notation: u_n(x) −−−→^ortho. ψ_n(x) −−−→^norm. φ_n(x) (14) Normierung von u₀(x) = 1:

hu₀|u_oi =

1

Z

−1

u²₀(x)dx =

1

Z

−1

dx = [x]¹₋₁ = 1 + 1 = 2 (15)

⇒ φ₀(x) = u₀(x)

||u₀(x)|| = u₀(x)

phu₀|u_oi = 1

√2 (16)

Nebenrechnung: hφ₀|u₁i =

1

Z

−1

φ₀(x)u₁(x)dx = 1

√2

1

Z

−1

x dx = 0 (Symmetrie!) (17) Orthogonalisierung von u₁(x) auf φ₀(x):

ψ₁(x) = u₁(x) − hφ₀|u₁iφ₀(x) = x − hφ₀|u₁i 1

√2 = x (18)

(8)

Normierung von ψ₁(x):

hψ₁|ψ₁i =

1

Z

−1

ψ₁²(x)dx =

1

Z

−1

x²dx = 1 3

x³¹

−1 = 1

3(1 + 1) = 2

3 (19)

⇒ φ₁(x) = ψ₁(x)

||ψ₁(x)|| = ψ₁(x)

phψ₁|ψ₁i =

r3

2 x (20)

Nebenrechnung:

hφ₀|u₂i = 1

√2

1

Z

−1

x²dx = 1

√2 2 3 =

√2

3 , hφ₁|u₂i =

r3 2

1

Z

−1

x³ dx = 0 (Symmetrie!) (21) Orthogonalisierung von u₂(x) auf φ₀(x) und φ₁(x):

ψ₂(x) = u₂(x) − hφ₀|u₂iφ₀(x) − hφ₁|u₂iφ₁(x) (22)

= x² −

√2 3

√1

2 − 0 ·

r3

2 x = x² − 1

3 (23)

(9)

Normierung von ψ₂(x):

hψ₂|ψ₂i =

1

Z

−1

(x² − ¹₃)² dx =

1

Z

−1

(x⁴ − ²₃ x² + ¹₉)dx (24)

= 1 5

x⁵¹

−1 − 2 9

x³¹

−1 + 1

9 [x]¹₋₁ = 2

5 − 2

9 = 8

45 (25)

⇒ φ₂(x) = ψ₂(x)

phψ₂|ψ₂i =

r5 2

3

2 (x² − ¹₃) =

r5 2

1

2 (3x² − 1) (26)

Die φ_n(x) sind normierte Legendrepolynome

q2n+1

2 P_n(x) (s. Bild). Weitere ergeben sich zu:

φ₃(x) =

r7 2

1

2 (5x³ − 3x) (27)

φ₄(x) =

r9 2

1

8(35x⁴ − 30x² + 3) (28)

φ₅(x) =

r11 2

1

8(63x⁵ − 70x³ + 15x) (29)

... (30)

(10)

Test auf Orthogonalit¨at:

hφ₂|φ₀i =

1

Z

−1

r5 2

1

2 (3x² − 1) 1

√2 dx (31)

=

√5 4

1

Z

−1

(3x² − 1) dx (32)

=

√5 4

x³ − x¹

−1 =

√5

4 (1 − 1 − ((−1) + 1)) (33)

= 0 (34)

D.h. diese beiden neuen Funktionen sind orthogonal. Die urspr¨unglichen waren es nicht:

hu₂|u₀i =

1

Z

−1

x² dx = 1 3

x³¹

−1 = 2

3 6= 0 (35)

(11)

-1 -0.5 0 0.5 1

Legendre Polynome

P_n(x)

P₀(x) P₁(x) P₂(x) P₃(x) P₄(x) P₅(x)

(12)

Beispiel: Legendrepolynome als Basisfunktionen e^−x² = X

n

c_nφ_n(x) = X

n

c_n

r2n + 1

2 P_n(x) im Intervall x ∈ [−1,+1] (36) Alle c_i mit i = 1,3,5, . . . sind Null, aus Symmetriegr¨unden.

c₀ =

1

Z

−1

φ₀(x)e^−x²dx = 1

√2

1

Z

−1

e^−x²dx = 1

√2

√π erf(1) ≈ 1

√2 1.49365 (37)

c₂ =

1

Z

−1

φ₂(x)e^−x²dx =

r5 2

1 2

1

Z

−1

(3x² − 1) e^−x²dx (38)

=

r5 2

1

2(¹₂√

π erf(1) − ³_e) ≈

r5 2

1

2(−0.356814) (39)

c₄ =

1

Z

−1

φ₄(x)e^−x²dx =

r9 2

1 8

1

Z

−1

(35x⁴ − 30x² + 3) e^−x²dx (40)

(13)

Beispiel: Legendrepolynome als Basisfunktionen Damit lautet die Legendrereihe bis n = 4:

e^−x² ≈ 0.7468 − 0.2230 (3x² − 1) + 0.00924 (35x⁴ − 30x² + 3) (42) Zusammengefaßt nach Potenzen von x:

e^−x² ≈ 0.9976 − 0.9462x² + 0.3234x⁴ (43) Vergleich mit der Taylorreihe:

e^−x² = 1 − x² + ¹₂x⁴ − ¹₆x⁶ + ₂₄¹ x⁸ · · · (44)

≈ 1.0 − 1.0x² + 0.5 x⁴ (45)

• für n → ∞ müssen Taylor- und Legendrereihe gleich sein (Identitätssatz für Potenzrei- hen); aus funktionentheoretischen Gründen (Identität holomorpher Funktionen in größerem Bereich, wenn in lokalem Bereich identisch) gilt das auch außerhalb des Intervalls [−1, +1]

• bei Reihenabbruch sind die Reihen unterschiedlich (s.o.):

– Taylor exakt am Entwicklungspunkt und schlechter je weiter davon weg;

– Fehler der Legendrereihe gleichm¨aßiger verteilt,

weil Konstruktion per Integration ¨uber Intervall [−1, +1]

(14)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

exp(-x²)

(15)

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

exp(-x²) Taylor 4.Ordng.

Legendre 2.Ordng.

(16)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

exp(-x²) Taylor 4.Ordng.

(17)

0.988 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1

exp(-x*x) Taylor 4.Ordng Legendre 4.Ordng

(18)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

5 exp(-x*x)

Taylor 4.Ordng Legendre 4.Ordng

(19)

0 0.5 1 1.5 2

2.5 exp(-x*x)

Taylor 12.Ordng Legendre 4.Ordng

(20)

Warum?

Gr¨unde f¨ur Entwicklung in Basisfunktionen: f(x) = P

n

c_n φ_n(x)

• Approximation durch einfacheren Ausdruck (z.B. transzendente Funktion → Polynom)

⇒ Erleichterung weiterer Rechenschritte

• Aufspaltung in charakteristische Anteile, um die Funktion – zu analysieren

– zu manipulieren (z.B. Tiefpass-/Hochpass-Filter in Ton- und Bildverarbeitung)

• Ubersetzung eines Funktionenproblems (z.B. Differentialgleichung) in ein Zahlenproblem¨

⇒ numerische Computerbehandlung