Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 3.3) Lineare Algebra 2: Rechnen mit Matrizen

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 3.3) Lineare Algebra 2: Rechnen mit Matrizen

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

Elemente der Summen-/Differenzmatrix (A ± B)_ij ergeben sich als Summe/Differenz der ent- sprechenden Elemente von A und B:

(A ± B)_ij = A_ij ± B_ij (1)

Multiplikation mit einer Zahl

Eine Matrix wird mit einer Zahl (Skalar) α ∈ R multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit der Zahl multipliziert wird:

(αA)_ij = αA_ij (2)

(Herleitungen s. Skript: Wie bei der Matrix-Vektor-Multiplikation, Betrachtung dieser Opera- tionen in ihrer Basisdarstellung.)

Matrixmultiplikation

War definiert als Hintereinander-Ausf¨uhren:

( ˆA · Bˆ)|ai = ˆA · ( ˆB|ai) (3) Die i-te Komponente der linken Seite ist:

[(AB)|ai]_i =

n

X

j=1

(AB)_ija_j (4)

Die i-te Komponente der rechten Seite ist:

[A(B|ai)]_i =

n

X

`=1

A_{i`</sub>[B|ai]<sub>`} =

n

X

`=1

A_i`

n

X

j=1

B_`ja_j =

n

X

j=1 n

X

`=1

A_{i`</sub>B<sub>`j}a_j (5) Vergleich der rechten Seiten der Gln. 4 und 5 liefert diese Matrixmultiplikationsvorschrift:

(AB)_ij =

n

X

`=1

A_{i`</sub>B<sub>`j} (6)

C_ij = (AB)_ij = X

`=1

A_{i`</sub>B<sub>`j} (7)

• verwandt zur Matrix∗Vektor-Multiplikation

• geht immer f¨ur quadratische Matrizen

• geht auch f¨ur rechteckige Matrizen, wenn

Anzahl Spalten von A = Anzahl Zeilen von B = n (8)

Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation ist assoziativ

(AB)C = A(BC) (9)

und distributiv

A(B + C) = AB + AC (10)

aber in vielen F¨allen nicht kommutativ:

AB 6= BA (11)

Kommutativit¨at bzw. Nicht-Kommutativit¨at kennzeichnen zwei unterschiedliche Situationen, h¨aufig von fundamentaler Wichtigkeit (s.o.: Kommutator von Operatoren!)

Pauli-Spinmatrizen f¨ur Spin-¹₂-Teilchen (z.B. Elektronen):

σ_x =

0 1 1 0

, σ_y =

0 −i i 0

, σ_z =

1 0 0 −1

(12) (mit der imagin¨aren Einheit i = √

−1, also i² = −1) Per Matrixmultiplikation nachweisbar:

σ_xσ_y =

i 0 0 −i

= iσ_z σ_yσ_x =

−i 0 0 i

= −iσ_z (13)

⇒ [σ_x, σ_y] = σ_xσ_y − σ_yσ_x =

2i 0 0 −2i

= 2iσ_z 6= 0 (14)

Daher sind x- und y-Komponente des Elektronenspins nicht gleichzeitig scharf meßbar.

Es gilt jedoch:

[σ², σ_z] = 0 mit σ² = ~σ² = ~σ · ~σ und ~σ =



 σ_x σ_y σ



 (15)

Matrixdivision, inverse Matrix

Wie bei Zahlendivision brauchen wir f¨ur Matrixdivision ein inverses Element, hier die zur Matrix A inverse Matrix A⁻¹, mit:

AA⁻¹ = A⁻¹A = E mit E =









1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · 1









(16)

Bestes Rezept zur Matrixinversion: L¨osung des linearen Gleichungssystems AA⁻¹ = E, in dieser Form oder in der Form A~x_i = ~b_i (die zun¨achst unbekannten ~x_i sind die Spaltenvektoren von A⁻¹ und die~b_i sind die Spaltenvektoren von E):

A~x₁ =~b₁ =







 1 0...

0









, A~x₂ =~b₂ =







 0 1...

0









, . . . , A~x_n =~b_n =







 0 0...

1









(17)

Bei der Behandlung linearer Gleichungssysteme (s.u.) werden wir sehen, daß Matrizen A nur dann invertierbar sind, wenn det(A) 6= 0 gilt. (Dies folgt auch aus der unpraktischeren Cramer- schen Regel (Komplementverfahren) zur Matrixinversion, s. Skript.)

Gesucht ist die zu A = 1 0

−1 1 inverse Matrix A⁻¹ = a b

c d , mit noch unbekannten Zahlen- werten a, b, c, d. Aus der Definitionsgleichung

AA⁻¹ =

1 0

−1 1

a b c d

=

1 0 0 1

= E (18)

ergeben sich per Matrixmultiplikationsregel 4 lineare Gleichungen:

a = 1 b = 0 (19)

− a + c = 0 ⇒ c = 1 − b + d = 1 ⇒ d = 1 (20) Daher lautet die Inverse:

A⁻¹ =

1 0 1 1

(21) was sich durch Einsetzen in die Definitionsgleichung leicht verifizieren l¨aßt.