3.2) Lineare Algebra 2: Matrixdarstellung von Operatoren
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
k
dS
x
y
z θ
dy
dx Gxy
G
Operator in einer Basis
Wenn wir Vektoren bzw. Funktionen in einer VONS-Basis {|eˆii} darstellen, wird folgendes aus der Wirkung eines Operators:
A|aiˆ = |bi ⇒ Aˆ
n
X
i=1
ai |ˆeii =
n
X
i=1
bi |eˆii (1) F¨ur einen linearen Operator k¨onnen wir die linke Seite umformen zu:
Aˆ
n
X
i=1
ai |ˆeii =
n
X
i=1
A aˆ i |ˆeii =
n
X
i=1
ai ( ˆA|ˆeii) (2)
• Wenn ˆA|ˆeii f¨ur alle {|eˆii} bekannt ist, k¨onnen wir |bi = ˆA|ai f¨ur beliebige |ai bestimmen.
Mehr m¨ussen wir ¨uber ˆA nicht wissen.
• In Gl. 1 ist die Basis {|eˆii} bekannt und links und rechts gleich; interessant ist nur, wie ˆA
Die ˆA|ˆeii k¨onnen wir als Spaltenvektoren einer Matrix auffassen:
A =
A|ˆˆ e1i
A|ˆˆ e2i
· · ·
A|ˆˆ eni
(3)
Projektion von Gl. 1 auf hei| liefert:
bi = ( ˆA|ai)i = heˆi|A|aiˆ =
n
X
j=1
ajheˆi|A|ˆˆ eji =
n
X
j=1
ajAij (4) mit dieser Abk¨urzung f¨ur das Matrixelement der i-ten Zeile und j-ten Spalte:
Aij = heˆi|A|ˆ eˆji (5)
Operator in einer Basis
Sowohl die Entwicklungskoeffizienten ai, bi als auch die Matrixelemente
Aij = heˆi|A|ˆ eˆji (6) sind Zahlenwerte, sowohl f¨ur Vektoren als auch Funktionen.
• unabh¨angig davon, was ˆA sein mag.
• Ubersetzung in eine f¨¨ ur Computer ideale numerische Form.
Matrix-Vektor-Produkt
n
X
j=1
ajAij = bi (7)
X
j=1
ajAij = bi (8)
A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33
a1 a2 a3
=
b1 b2 b3
(9)
A11a1 + A12a2 + A13a3 = b1 (10) A21a1 + A22a2 + A23a3 = b2 (11) A31a1 + A32a2 + A33a3 = b3 (12)
Matrixdarstellung von Operatoren: Beispiel 1 Operation: gar keine; ˆA = Einheitsoperator ˆ1 = ˆE
Basisvektoren ˆı, ˆ, ˆk bleiben unver¨andert:
Aˆˆı = ˆı , Aˆˆ = ˆ , Aˆkˆ = ˆk (13) Obige Resultate sind die Spaltenvektoren der Matrixdarstellung von ˆA:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
= Einheitsmatrix (14)
Beliebiger Test:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 2 3
=
1 · 1 + 0 · 2 + 0 · 3 0 · 1 + 1 · 2 + 0 · 3 0 · 1 + 0 · 2 + 1 · 3
=
1 2 3
(15)
Operation: Spiegelung an der xz-Ebene und Streckung um Faktor 2.
Aˆˆı = 2ˆı , Aˆˆ = −2ˆ , Aˆkˆ = 2ˆk (16) Obige Resultate sind die Spaltenvektoren der Matrixdarstellung von ˆA:
2 0 0 0 −2 0 0 0 2
(17)
Tests:
2 0 0 0 −2 0 0 0 2
1 0 1
=
2 0 2
,
2 0 0 0 −2 0 0 0 2
1 1 0
=
2
−2 0
(18)
Matrixdarstellung von Operatoren: Beispiel 3
Operation: Drehung um π/2 in der xy-Ebene = um die z-Achse:
Aˆˆı = ˆ , Aˆˆ = −ˆı , Aˆkˆ = ˆk (19) Obige Resultate sind die Spaltenvektoren der Matrixdarstellung von ˆA:
0 −1 0 1 0 0 0 0 1
(20)
Tests:
0 −1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1
=
0 1 1
,
0 −1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
=
−1 1 1
(21)
0 −1 0 1 0 0
0 0
=
0 0
,
0 −1 0 1 0 0
1
−2
=
2 1
(22)
