Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.1) Lineare Algebra 1: Grundbegriffe

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.1) Lineare Algebra 1: Grundbegriffe

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

k

dS

x

y

z θ

dy

dx G_xy

G

Vorbemerkungen

• großes Kapitel; umfaßt Kapitel 2 und 3 von MfC2

• viele unterschiedliche Unterthemen, von Fourierreihen bis Matrix-Eigenwerte

• zentral wichtig in Anwendungen: praktisch alle (natur)wissenschaftlichen Computersimula- tionen basieren auf Konzepten aus diesem Bereich

• viele theoretische Begriffe (linearer Vektorraum, Metrik, usw.) erfordern l¨angere, genaue- re Definitionen; im Skript kurze Ausz¨uge davon; hier in der online-Vorlesung nur wenige Andeutungen

• mit denselben abstrakten Konzepten lassen sich ganz unterschiedliche konkrete Objekte be- handeln; wir betrachten hier Vektoren und Funktionen.

Grundkonzepte Lineare Unabh¨angigkeit, Dimension, Basis Erinnerung an Vektorrechnung @MfC1:

Ebene in Parameterform

~r = ~r₁ + λ₁(~r₂ − ~r₁) + λ₂(~r₃ − ~r₁)

= ~r₁ + λ₁~b₁ + λ₂~b₂

~c = ~r − ~r₁ = λ₁~b₁ + λ₂~b₂

P2

P3

P1

n

r₁ r₃_

r r₂_ r₁

r₂ r₃

r₁

r₁ r _

O

P

d

Bereits bekannte Beobachtungen, mit z.T. neuen Namen:

• jeder Vektor ~c in der Ebene kann durch Linearkombination der Basisvektoren ~b₁ und ~b₂ ausgedr¨uckt werden, d.h. ~c ist linear abh¨angig von ~b₁ und ~b₂.

• die Anzahl n¨otiger Basisvektoren entspricht der Dimension des Raums, z.B. 1 Basisvektor f¨ur eine 1D-Gerade, 2 Basisvektoren f¨ur eine 2D-Ebene, 3 f¨ur ein 3D-Volumen, etc.

• ~b₁ und ~b₂ d¨urfen nicht voneinander linear abh¨angig sein (z.B. (anti)parallel zueinander).

Lineare Unabh¨angigkeit

Die Vektoren {~a₁, . . . , ~a_n} heißen linear unabh¨angig, wenn

n

X

k=1

λ_k~a_k = ~0 (1)

nur f¨ur λ_k = 0, (k = 1, . . . , n) erf¨ullbar ist.

Intention der Definition klarer durch Umstellung:

Ist mindestens ein λ_i 6= 0 w¨ahlbar, so heißen die Vektoren linear abh¨angig, d.h. dann ist mindestens ein Vektor ~a_i als Linearkombination der anderen schreibbar:

~a_i = − 1 λ_i

n

X

k=1k6=i

λ_k~a_k =

n

X

k=1k6=i

λ˜_k~a_k , mit λ˜_k = −λ_k

λ_i (2)

Das ist eine n-dimensionale Verallgemeinerung der obigen Ebenengleichung.

Beispiel 1: Lineare Unabh¨angigkeit

~v₁ =



 1 1

−1



 , ~v₂ =



 1 0 1



 , ~v₃ =



 3 1 1



 (3)

Sind diese drei Vektoren linear abh¨angig? Laut Definition ist zu untersuchen, ob andere Zahlen- werte als λ_1,2,3 = 0 diese Gleichung l¨osen:

a~v₁ + b~v₂ + c~v₃ = ~0 (4) Obige Vektorgleichung entspricht folgendem skalaren Gleichungssystem:

1) a + b + 3c = 0 (5)

2) a + c = 0 (6)

3) −a + b + c = 0 (7)

Daraus ergibt sich:

1-3) 2a + 2c =0 ⇒ a + c = 0 (8)

2) a + c =0 (9)

Daher ist neben der trivialen L¨osung a = b = c = 0 (die f¨ur homogene Systeme immer m¨oglich ist, siehe sp¨ateres Kapitel “Lineare Gleichungssysteme”) auch a = −c mit beliebigen Werten c ∈ R (insbes. c 6= 0) m¨oglich, wenn b = −2c gew¨ahlt wird (Einsetzen in (1) oder (3)).

Beispiel 1: Lineare Unabh¨angigkeit

Daher sind diese drei Vektoren linear abh¨angig.

Andere Testm¨oglichkeiten:

• L¨osungen von ~v₁ = x~v₂+y~v₃ bestimmen (oder andere Indexpermutationen); lineare Abh¨an- gigkeit liegt vor, wenn es (mindestens) eine L¨osung gibt

(das ist die bereits gezeigte Umformung von Gl. 4)

• Wert der Determinante bestimmen, deren Zeilen oder Spalten die Vektoren sind:

1 1 3 1 0 1

−1 1 1

= −

1 3 1 1

−

1 1

−1 1

= −(−2) − 2 = 0 (10) Ist die Determinante Null (wie hier), liegt lineare Abh¨angigkeit vor.

(das entspricht dem ersten L¨osungsweg, siehe Kapitel “Lineare Gleichungssysteme”, geht aber nur f¨ur n Vektoren mit je n Elementen)

Lineare (Un)Abh¨angigkeit von Funktionen Beispiel a: Die Funktionen

f₁(x) = 1 , f₂(x) = x , f₃(x) = x² (11) sind linear unabh¨angig, weil

a f₁(x) + b f₂(x) + c f₃(x) = 0 (12) nur dann f¨ur alle(!) x-Werte gilt, wenn a = b = c = 0. Anders ausgedr¨uckt:

f₃(x) = x² 6= ax + b = a f₂(x) + b f₁(x) (13) f¨ur alle a, b ∈ R (außer f¨ur wenige spezielle x-Werte).

Beispiel b: Die Funktionen

g₁(x) = x² , g₂(x) = 2x² (14)

sind linear abh¨angig, denn f¨ur alle x ∈ R gilt

g₂(x) = a g₁(x) ⇒ 2x² = ax² ⇒ a = 2 (15)

Lineare (Un)Abh¨angigkeit von Funktionen

Beispiel c: Die Funktionen

h₁(x) = cosh(x) , h₂(x) = e^x , h₃(x) = e^−x (16) sind linear abh¨angig, weil

cosh(x) = a e^x + b e^−x (17)

f¨ur alle x ∈ R erf¨ullt ist, wenn a = b = ¹₂

Zur¨uck zu Vektoren und weiteren Begriffen:

Dimension

Die Maximalzahl linear unabh¨angiger Vektoren in einem linearen Vektorraum heißt Dimension dieses Vektorraums. Beispiel:

• 3 Vektoren in einer 2D-Ebene sind immer linear abh¨angig.

• im obigen Beispiel liegen die 3 Vektoren in einer 2D-Ebene, da jeder von ihnen als Linear- kombination der beiden anderen ausgedr¨uckt werden kann.

Basis

Ein linear unabh¨angiger Satz von n Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum heißt Basis dieses Vektorraums.

• jeder andere Vektor im selben Vektorraum kann eindeutig als Linearkombination der Basis- vektoren ausgedr¨uckt werden.

• die Basis legt den Vektorraum fest; aber f¨ur einen Vektorraum gibt es unendlich viele unter- schiedliche Basisvektors¨atze.

• bei linearer Abh¨angigkeit in der Basis sind andere Vektoren des Vektorraums – entweder gar nicht in der Basis darstellbar,

– oder die Darstellung ist nicht eindeutig.

Mehr Details im Skript;

hier ein Beispiel zum letzten Punkt und eins zum vorletzten:

Beispiel 1 Fortsetzung: linear abh¨angige Basis

Versuch, ~v₁, ~v₂, ~v₃ als Basis zu verwenden, zur Darstellung eines Vektors ~u:

~u =



 2 3 6



 = a



 1 1

−1



 + b



 1 0 1



 + c



 3 1 1



 = a~v₁ + b~v₂ + c~v₃ (18) L¨osung des zugeh¨origen linearen Gleichungssystems:

1) 2 = a + b + 3 c (19)

2) 3 = a + c (20)

3) 6 = −a + b + c (21)

1+3) 8 = 2b + 4c (22)

2+3) 9 = b + 2c ⇒ 2c = 9 − b (23)

8 = 2b + 18 − 2b ⇒ 8 = 18 Widerspruch! (24)

Es ist keine L¨osung m¨oglich. Offenbar liegt ~u nicht in der Ebene von ~v₁, ~v₂, ~v₃.

Beispiel 1 Fortsetzung: linear abh¨angige Basis

Versuch, ~v₁, ~v₂, ~v₃ als Basis zu verwenden, zur Darstellung eines Vektors w:~

~ w =



 2

−2 6



 = a



 1 1

−1



 + b



 1 0 1



 + c



 3 1 1



 = a~v₁ + b~v₂ + c~v₃ (25) L¨osung des zugeh¨origen linearen Gleichungssystems:

1) 2 = a + b + 3 c (26)

2) −2 = a + c (27)

3) 6 = −a + b + c (28)

1+3) 8 = 2b + 4c (29)

2+3) 4 = b + 2c ⇒ 2c = 4 − b (30)

8 = 2b + 8 − 2b ⇒ 8 = 8 (31)

Daher kann b beliebig gew¨ahlt werden: b = λ mit λ ∈ R. Dann ist

Daher gibt es unendlich viele Darstellungsm¨oglichkeiten f¨ur w, z.B.:~ λ = 0 : −4



 1 1

−1



 + 2



 3 1 1



 =



 2

−2 6



 = w~ (34) λ = 2 : −3



 1 1

−1



 + 2



 1 0 1



 +



 3 1 1



 =



 2

−2 6



 = w~ (35)

Weil eine linear abh¨angige Basis offenbar

• entweder mehrdeutige Darstellungen liefert

• oder viele Vektoren gar nicht darstellen kann,

ist lineare Unabh¨angigkeit einer Basis elementar wichtig.

Beispiel 2: Vektoren in unterschiedlichen Basiss¨atzen Standardbasis im 3D-Raum: kartesische Einheitsvektoren

ˆı =



 1 0 0



 , ˆ=



 0 1 0



 , kˆ =



 0 0 1



 (36)

Damit beliebige 3D-Vektoren darstellbar, z.B.:



 3 1

−1



 = 3 ˆı + 1 ˆ − 1 ˆk (37)

Neue, andere Basis, ausgedr¨uckt in der alten (angedeutet durch die zus¨atzlichen Indices):

~` =



 1 1 0





ˆıˆkˆ

, m~ =



 1

−1 0





ˆıˆkˆ

, ~n =



 0 0

−1





ˆıˆkˆ

(38) Die neue Basis ist linear unabh¨angig:

Der Testvektor l¨aßt sich daher eindeutig in der neuen Basis ausdr¨ucken:



 3 1

−1





ˆıˆkˆ

= x



 1 1 0





ˆıˆkˆ

+ y



 1

−1 0





ˆıˆkˆ

+ z



 0 0

−1





ˆıˆˆk

(40)

= x ~` + y ~m + z ~n = C



 x y z



 (41)

(Die Basistransformationsmatrix C wird im 3.Kapitel aufgegriffen.)

L¨osung des linearen Gleichungssystems Gl. 40 (oder Ausprobieren) liefert: x = 2, y = 1, z = 1.

Also gilt:



 3 1

−1





ˆıˆkˆ

=b



 2 1 1





`mn

(42) Die Zahlenwerte von Vektorelementen h¨angen (nat¨urlich!) von der Wahl der Basis ab.

(siehe Kapitel 3).

Entwicklung von Funktionen in Basisfunktionen behandeln wir etwas sp¨ater.