Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.4) Lineare Algebra 1: Fourierreihen
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
k
dS
x
y
z θ
dy
dx Gxy
G
Motivation
Entwicklung in Frequenzkomponenten (Fourierreihe in sin-/cos-Funktionen)
• findet in jedem Geh¨organg “in hardware” statt
(siehe https://dasaweb.de/2014/12/24/mechanische-fourier-transformation/ und https://www.hno-vahle.de/das-innenohr-nur-ein-mikrophon/)
• ist allgegenw¨artig bei Ton- und Bildbearbeitung (jpeg-/mpeg-Datenformate)
• Fouriertransformation grundlegend f¨ur Quantenmechanik/Quantenchemie (Heisenbergsche Unsch¨arferelation = triviale FT-Grundeigenschaft)
Orthogonalit¨at von sin-/cos-Funktionen
-1 -0.5 0 0.5 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
sin(x) sin(2x)
sin(x) und sin(2x) orthogonal im Interall [−π,+π]
Orthogonalit¨at von sin-/cos-Funktionen
+π
Z
−π
sin(x) sin(kx)dx = 1
k2 − 1 [cos(x) sin(kx) − k sin(x) cos(kx)]π−π (2∗ partiell) (1)
= 1
k2 − 1 (−sin(kπ) − 0 − (−sin(k(−π)) − 0)) = −2
k2 − 1 sin(kπ) (2)
• sin(kπ) = 0 und damit Orthogonalit¨at f¨ur k = 2,3,4, . . .
• sin(kx) = sin(x) f¨ur k = 1
• k < 0 unn¨otig, denn sin(−kx) = −sin(kx)
• keine Orthogonalit¨at in diesem Intervall [−π,+π] f¨ur k 6∈ Z Generell gilt f¨ur k, ` ∈ Z \ {0} mit k 6= `:
+π
Z
−π
sin(kx) sin(`x)dx =
+π
Z
−π
sin(kx) cos(`x)dx =
+π
Z
−π
cos(kx) cos(`x)dx = 0 (3)
Normierung
π
Z
−π
sin2(kx)dx = 12
x − 2k1 sin(kx) cos(kx)π
−π (4)
= 12(π − 2k1 sin(kπ) cos(kπ) − (−π − 2k1 sin(−kπ) cos(−kπ))) (5)
= 12 2π = π (6)
Selbes Resultat π auch f¨ur cos(kx).
Sonderfall k = 0:
sin(kx) = sin(0) = 0, aber cos(kx) = cos(0) = 1; daf¨ur:
π
Z
−π
dx = [x]π−π = π − (−π) = 2π (7)
Mit einem Korrekturfaktor von 12 w¨are das dieselbe Norm wie oben.
Fourierreihenformeln
Die Funktionen cos(kx), sin(kx), k ∈ N (inkl. cos(0) = 1), bilden ein VONS im Intervall [−π,+π]. Damit sind sehr viele Funktionen f(x) darstellbar:
f(x) = 1
√π 1
2 a0 +
∞
X
k=1
ak cos(kx) +
∞
X
k=1
bk sin(kx)
!
(8) Die n¨otigen Entwicklungskoeffizienten ak, bk ergeben sich aus:
ak = 1
√π
π
Z
−π
cos(kx) f(x)dx (9)
bk = 1
√π
π
Z
−π
sin(kx)f(x)dx (10)
Dirichletbedingungen
Wenn f(x) f¨ur x ∈ [−π,+π] diese (hinreichenden, aber nicht notwendigen) Bedingungen erf¨ullt:
• periodisch (mit diesem Periodizit¨atsintervall)
• eindeutig
• endliche Anzahl von Extremwerten
• endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen
• beschr¨ankt: |f(x)| < ∞
konvergiert die Fourierreihe von f(x)
• gegen f(x) an allen Punkten x, an denen f(x) stetig ist,
• bzw. gegen die “Mitte des Sprungs” an Unstetigkeitsstellen (Spr¨ungen)
• mit Ausnahme eines ca. 9%igen ¨Uberschießens neben einem Sprung (Gibbs-Ph¨anomen).
Konvergenzverhalten einer Taylorreihe muß nach ihrem Aufstellen getestet werden;
Konvergenzverhalten einer Fourierreihe steht vorher schon fest.
Fourierreihen f¨ur andere x-Intervalle
• obige Fourierformeln gelten auch f¨ur [0,2π] und [−2π,0] usw., mit entsprechenden Integra- tionsgrenzen
• sehr ¨ahnliche Formeln f¨ur Intervalle [−`,+`], [0, 2`], [−2`, 0] usw., ` ∈ R, mit diesen In- tegrationsgrenzen, mit Vorfaktor 1/√
` statt 1/√
π und mit sin(kπx/`), cos(kπx/`): siehe Skript
• beliebige Intervalle [a, b], a, b ∈ R, mit Variablentransformation x → u m¨oglich: siehe Skript
• Intervall [−∞, +∞]: Verallgemeinerung zur Fouriertransformation, s.u.
exp-Fourierreihen
Fourierreihen sind einfacher mit der komplexen Exponentialfunktion, die mit der sin/cos-Dar- stellung direkt zusammenh¨angt:
eikx = cos(kx) + i sin(kx) (11)
Details: siehe Skript.
