3.7) Lineare Algebra 2: Basistransformation
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
Basistransformation von Vektoren
Beispiel 2 aus Abschnitt 2.1 (kartesische Einheitsvektoren ı, , k):
3 1
−1
= 3 ˆı + 1 ˆ − 1 ˆk (1)
Neuer Basisvektorsatz (ausgedr¨uckt in alter Basis ı, , k):
~` =
1 1 0
ˆıˆkˆ
, m~ =
1
−1 0
ˆıˆkˆ
, ~n =
0 0
−1
ˆıˆkˆ
(2) Ermittlung der neuen Entwicklungskoeffizienten x, y, z:
3 1
−1
ˆıˆkˆ
= x1
1 1 0
ˆıˆkˆ
+ x2
1
−1 0
ˆıˆkˆ
+ x3
0 0
−1
ˆıˆˆk
(3) Das ist ein lineares Gleichungssystem, das auch anders geschrieben werden kann:
~b =
3 1
−1
= x1
1 1 0
+ x2
1
−1 0
+ x3
0 0
−1
(4)
=
1 1 0
1 −1 0 0 0 −1
x1 x2 x3
(5)
= C~x (6)
Die L¨osung dieses linearen Gleichungssystems ist der urspr¨ungliche Vektor ausgedr¨uckt in der neuen Basis ~`, m,~ ~n:
2 1 1
(7)
Die Transformationsmatrix C bewirkt diese Basistransformation; ihre Spaltenvektoren sind (s.o.) die neuen Basisvektoren ausgedr¨uckt in den alten:
Basistransformation von Vektoren
F¨ur die Transformation in umgekehrter Richtung brauchen wir die Inverse von C:
C−1 |~b = C~x (9)
C−1~b = C−1C~x (10)
~
x = C−1~b (11)
Es ergibt sich:
~x =
2 1 1
=
1 2
1
2 0
1
2 −12 0 0 0 −1
3 1
−1
= C−1~b (12)
Operatorwirkung dargestellt in Basis 1:
~b = A~a (13)
Beide Vektoren wurden aus einer anderen Basis 2 in die aktuelle transformiert (s.o.):
C~x = A(C~y) (14)
Multiplikation von links mit C−1:
C−1C~x = ~x = C−1AC~y (15) In Basis 2 ist W die Matrixdarstellung dieses Operators; dort muß gelten:
~
x = W ~y (16)
Vergleich der Gln. 15 und 16 zeigt, wie die Operatormatrix zwischen den beiden Basisdarstel- lungen transformiert wird:
W = C−1AC bzw. A = CW C−1 (17)
Basistransformation: Beispiel
Basis 1: kartesische Einheitsvektoren ˆı, ˆ.
Basis 2 (ausgedr¨uckt in Basis 1):
ˆ m =
0
−1
, nˆ = 1
√2
−1
−1
(18)
Transformationsmatrix C = 0 −√1
2
−1 −√1
2
!
(19)
C−1 = 1 −1
−√
2 0
!
(20)
x y
i j
m n
P(1|1)
xTransformation des Ortsvektors ~a von P(1|1) in Basis 2:
~y = C−1~a = 1 −1
−√
2 0
! 1 1
=
0
−√ 2
(21)
Drehmatrix A um Winkel ϕ = 90◦ in Basis 1:
A =
cos(ϕ) −sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ)
=
0 −1 1 0
(22) Wirkung von A auf ~a in Basis 1:
0 −1 1 0
1 1
=
−1 1
= ~b (23)
Transformation von A in Basis 2:
C−1AC = 1 −1
−√
2 0
!
0 −1 1 0
0 −√1
2
−1 −√1
2
!
=
1 √ 2
−√
2 −1
(24) Wirkung von A auf ~a in Basis 2, also von W auf ~y:
W ~y =
1 √ 2
−√
2 −1
0
−√ 2
=
√−2 2
= ~x = C−1~b = 1 −1
−√
2 0
!
−1 1
(25)
