Übungen zur Vorlesung Mathematik 2 Lineare Algebra

(1)

Übungen zur Vorlesung Mathematik 2 Lineare Algebra

Prof. Dr. N. Martini

1.1 Vektoren

1.1.1 Skalarprodukt, Addition, Betrag

~a =







1 2 3





 , ~b =







4 5 6





 , ~c =







7 8 9







a) ~a + ~b + ~c =

b) 3~a − (2 ~b + ~c) − 5( ~a − 3 ~c) = c) 3~a + 3( ~b − ~c) − 6~c =

d) ( − 2 + 14)( ~a + ~c) =

e) Berechnen Sie die Länge der Vektoren ~a, ~b und ~c 1.1.2 Skalarprodukt, Winkel

~a =







− 1

− 2

−2





 , ~b =







0 0 4





 , ~c =







4 0 3







a) ~a · ~b = b) (3 ~a) · ~b = c) (~a · ~b) · ~c = d) ~a · ( ~b · ~c) =

e) Winkel zwischen ~a und ~b

f) Winkel zwischen ~a der x-, y- und z-Achse g) Winkel zwischen ~b der x-Achse

h) Berechnen Sie ~v = 4~a( ~b · ~c) + (~c − ~a) · (2 ~b + ~c) · ~c , sowie den Winkel zwischen ~v

und ~b

(2)

i) Bestimmen Sie einen zu ~a und ~b orthogonalen Vektor w ~ (nur mithilfe des Skalar- produktes) mit w ~ =







w

1

1 w

³







1.1.3 Vektorprodukt

~a =







0 0 3





 , ~b =







1 2 1





 , ~c =







1 0 0







a) Berechnen Sie ~a × ~b b) ~a × ~c

c) ~b × ~c

d) Bestimmen Sie einen zu ~a und ~c orthogonalen Vektor w ~ (nur mithilfe des Skalar- produktes) mit w ~ =







w

1

1 w

³







e) Bestimmen Sie einen zu ~b und ~c orthogonalen Vektor w ~ (nur mithilfe des Skalar- produktes) mit w ~ =







w

1

w

2

1 





f) Berechnen Sie einen zu ~b kollinearen Vektor w ~

g) Berechnen Sie einen Vektor w, der in der von ~ ~a und ~b aufgespannten Ebene liegt

1.2 Geometrie

a) Zeigen Sie, dass in einem beliebigen Viereck die Verbindungslinien der Seitenmit- telpunkte ein Parallelogramm ergeben.

b) Zeigen Sie, dass die Vektoren







1 0 2





 ,







1 0 0





 und







0 − 1 1





 nicht komplanar sind.

c) Stellen Sie den Vektor







4 3 1





 als Linearkombination der drei Vektoren aus Auf- gabe 1b) dar.

d) Verlaufen die beiden Geraden ~ x und ~ y parallel?

~ x =







3 4





 + s







4 8





 ; ~ y =







1 2





 + t







1 2







(3)

e) Bestimmen Sie - sofern vorhanden - den Schnittpunkt der beiden Geraden:

~ x

1

=







5 5 1





 + λ







2 1 0





 ; ~ x

2

=







1 3 1





 + µ







2 1 1







f) Bestimmen Sie - sofern vorhanden - den Schnittpunkt der beiden Geraden:

~g

1

=







2 7 1





 + λ







4 − 5

− 3





 ; ~g

2

=







4 4 4





 + µ







−1 2

− 6







g) Bestimmen Sie - sofern vorhanden - die Schnittgerade der beiden Ebenen:

~e

1

=







0 0 0





 + s

1







1 0 0





 + t

1







0 1 0





 ; ~e

2

=







0 0 0





 + s

2







1 0 0





 + t

2







0 0 1







h) Berechnen Sie aus der Koordinatenform 2e

¹

− 3e

²

+ 2e

³

= 11 einer Ebene ei- ne Parameterdarstellung und prüfen Sie das Ergebnis auf Komplanarität bzw.

Gleichheit mit der Ebene

~e =







3 − 1 1





 + s







3 2 0





 + t







− 1 0 1







i) Geben Sie die Länge der Vektoren







−1

− 2





 und







3 4 0





 an.

j) Normieren Sie die Vektoren aus Aufgabe 1i)

k) Man berechne die Seitenlängen des Dreiecks mit den Eckpunkten A = (2; 3; − 6), B = (6; 4; 4) und C = (3; 7; 4).

l) Sind die drei Vektoren







2 − 14 5





 ,







11 − 2 10





 und







−10

− 5

− 10





 Kanten eines Würfels?

m) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks aus Aufgabe 1k)

n) Wie groß ist der Abstand zwischen dem Punkt P = (3; 2; 1) und der Ebene E ~ =







0 0 5





 + s







1 − 1

−5





 + t







2 0

−4







o) Berechnen Sie den Winkel der Ebene E ~ aus Aufgabe 1n) mit der Geraden

~g =







0 1 0





 + r







0 −2 3







(4)

p) Zeigen Sie die Komplanarität der beiden Ebenen ~e

1

und ~e

2

mithilfe des Kreuz- produktes.

~e

¹

=







3 − 1 1





 + s

¹







2 3 0





 + t

¹







1 0

−1







~e

2

=







3 −4

− 2





 + s

2







1 6 3





 + t

2







4 3

− 2







q) Geben Sie den Normalenvektor der folgenden Ebenen an:

2e

1

− 3e

2

+ e

3

= 5

~e

2

=







1 0 1





 + s

2







2 3 0





 + t

2







0 − 2 1







1.3 Matrizen

a) Berechnen Sie das Produkt:

³ 1 0 2 0 3 0 ^´ ·













1 −6 2 − 5 3 − 4 4 −3 5 − 2 6 − 1







+ 2 ·







2 3

7 8

− 1 0 3 −8 12 − 11

9 0













· Ã 1 0 2 4 3 −1

!

Ergebnis: ( − 226 − 240 268) b)







2 −9 3 7

−1







· ³ 2 − 4 5 8 ^´ =







4 − 8 10 16

−18 36 −45 −72 6 − 12 15 24 6 − 12 15 24 14 −28 35 56

− 2 4 − 5 − 8







c)

³ 2 − 4 5 8 6 ^´ ·







2 − 9 3 7

− 1







= 105

d) Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix unter Verwendung eines Elimina-

(5)







7 2 1 − 1 1 0 0 3 2 1 1 0







e) Stellen Sie fest, ob die Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig sind und bestimmen Sie den Rang







− 7 0 5 6 8 − 9

− 18 1 17 25 43 − 19 3 1 2 7 19 8







f) Zeigen sie mithilfe eines Eliminationsverfahrens, dass die Spaltenvektoren







4 − 3 0 2







,







1 − 6 7 9







und







7 21

−35

− 39







linear abhängig sind.

g) Berechnen Sie die Determinante des Matrizenprodukts







4 4 123 67 2 3 145 −78

0 0 2 0

0 0 23 5







· 





1 0 0 0

12 2 0 0

− 2 43 3 0 61 92 − 47 4





