Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.10) Taylorreihen mit beschr¨ankter Konvergenz

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Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.10) Taylorreihen mit beschr¨ ankter Konvergenz

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ ^-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

(2)

Taylorreihe von 1/(1+x)

f(x) = 1

1 + x = (1 + x)⁻¹ (1)

Mit der Standardherleitung f¨ur den Entwicklungspunkt x₀ = 0 f(x) = 1

1 + x , f(0) = 1 = a₀ (2)

f⁰(x) = −1

(1 + x)² , f⁰(0) = −1 = a₁ (3)

f⁰⁰(x) = 2

(1 + x)³ , f⁰⁰(0) = 2 = 2! a₂ (4)

f⁰⁰⁰(x) = −6

(1 + x)⁴ , f⁰⁰⁰(0) = −6 = 3!a₃ (5)

... ...

oder als Spezialfall der Taylorreihe f¨ur (1 + x)^α mit α = −1 (s. Skript) ergibt sich diese Taylorreihe:

1

1 + x = 1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ ± · · · (6)

1

(3)

Taylorreihe von 1/(1+x) 1

1 + x = 1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ ± · · · (7) Ein allgemeiner Ausdruck f¨ur die Koeffizienten ist also:

a_k = (−1)^k (8)

Damit ergibt sich f¨ur den Konvergenzradius:

R = lim

k→∞

a_k a_k+1

= lim

k→∞

1

1 = 1 (9)

Eine genauere Untersuchung der R¨ander zeigt:

Diese Reihe konvergiert nur f¨ur −1 < x < +1.

2

(4)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x)

3

(5)

1/(1+x) im Vergleich zu exp(-x)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) exp(-x)

Taylorreihe f¨ur e^−x hat Konvergenzradius R = ∞, warum 1/(1 + x) nicht auch?

4

(6)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x)

5

(7)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁰

6

(8)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹

7

(9)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x²

8

(10)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x³

9

(11)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁴

10

(12)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁵

11

(13)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁶

12

(14)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁷

13

(15)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁸

14

(16)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x⁹

15

(17)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁰

16

(18)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹¹

17

(19)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹²

18

(20)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹³

19

(21)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁴

20

(22)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁵

21

(23)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁶

22

(24)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁷

23

(25)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁸

24

(26)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x¹⁹

25

(27)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x²⁰

26

(28)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/(1+x) Taylor bis x²⁰

Die Taylorreihe kann die Polstelle nicht ¨uberwinden (kein Polynom hat Polstellen)

⇒ der linke Funktionsast wird ¨uberhaupt nicht wiedergegeben.

Konvergenzradius R = 1 relativ zu x₀ = 0 liegt nicht am Funktionsverlauf im Bereich x ≥ 0, sondern nur an der Polstelle bei x = −1. Sie begrenzt die Konvergenz nach links auf maximal x₀ − R = −1, wodurch (Konvergenkreis um x₀) die Konvergenz nach rechts auch nur bis x₀ + R = +1 reichen kann.

27

(29)

Taylorreihe von 1/(1+x) um x₀ = 1 f(x) = 1

1 + x , f(1) = 1

2 = a₀ (10)

f⁰(x) = −1

(1 + x)² , f⁰(1) = −1

4 = a₁ (11)

f⁰⁰(x) = 2

(1 + x)³ , f⁰⁰(1) = 2

8 = 2!a₂ (12)

f⁰⁰⁰(x) = −6

(1 + x)⁴ , f⁰⁰⁰(1) = − 6

16 = 3!a₃ (13)

... ...

Also lautet die Taylorreihe um x₀ = 1:

1

1 + x = 1

2 − 1

4(x − 1) + 1

8(x − 1)² + 1

16(x − 1)³ ± · · · (14) Mit dem allg. Koeffizientenausdruck a_k = (−1)^k/2^k+1 ergibt sich folgender Konvergenzradius:

R = lim

k→∞

a_k a_k+1

= lim

k→∞

2^k+2 2^k+1

= lim

k→∞2 = 2 (15)

28

(30)

Taylorreihe von 1/(1+x) um x₀ = 1

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x)

29

(31)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁰ um x=1

30

(32)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹ um x=1

31

(33)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x² um x=1

32

(34)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x³ um x=1

33

(35)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁴ um x=1

34

(36)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁵ um x=1

35

(37)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁶ um x=1

36

(38)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁷ um x=1

37

(39)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁸ um x=1

38

(40)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x⁹ um x=1

39

(41)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁰ um x=1

40

(42)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹¹ um x=1

41

(43)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹² um x=1

42

(44)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹³ um x=1

43

(45)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁴ um x=1

44

(46)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁵ um x=1

45

(47)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁶ um x=1

46

(48)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁷ um x=1

47

(49)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁸ um x=1

48

(50)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x¹⁹ um x=1

49

(51)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x²⁰ um x=1

50

(52)

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/(1+x) Taylor bis x²⁰ um x=1 Taylor bis x²⁰ um x=0

51

(53)

Taylorreihe von ln(1+x)

F¨ur f(x) = ln(1 + x) lautet die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x₀ = 0 (s. Skript):

ln(1 + x) ≈

∞

X

k=0

(−1)^(k−1)

k x^k = x − x²

2 + x³

3 − x⁴

4 + − · · · (16) Mit dem allgemeinen Koeffizientenausdruck

a_k = (−1)^(k−1)

k (17)

ergibt sich der Konvergenzradius zu:

R = lim

k→∞

a_k a_k+1

= lim

k→∞

k + 1

k = lim

k→∞

1 + 1 k

= 1 (18)

Die korrekte Feststellung der Konvergenz an den R¨andern des Konvergenzkreises ist etwas subtil (s. Skript). Im Endergebnis konvergiert diese Taylorreihe f¨ur −1 < x ≤ +1.

Auch hier wird die Konvergenz durch die Polstelle bei x = −1 begrenzt:

52

(54)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x)

53

(55)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹

54

(56)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x²

55

(57)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x³

56

(58)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x⁴

57

(59)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x⁵

58

(60)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x⁶

59

(61)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x⁷

60

(62)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x⁸

61

(63)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x⁹

62

(64)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁰

63

(65)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹¹

64

(66)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹²

65

(67)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹³

66

(68)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁴

67

(69)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁵

68

(70)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁶

69

(71)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁷

70

(72)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁸

71

(73)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x¹⁹

72

(74)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

ln(1+x) Taylor bis x²⁰

73