Exeiee

(1)

zur Physik

für Chemie-Studierende

Sommersemester 2019

Department für Physik

Naturwissenshaftlih-Tehnishe Fakultät

Universität Siegen

(2)

(3)

zur Physik

für Chemie-Studierende

Sommersemester 2019

Department für Physik

Naturwissenshaftlih-Tehnishe Fakultät

Universität Siegen

(4)

1 LiteraturundSiherheitsbel 4

1.1 Literatur . . . 4

1.2 Siherheitsbel. . . 5

1.2.1 Verhaltenbei Notfällen . . . 5

2 Einführungin dieFehlerrehnung 6 2.1 StatistisheundsystematisheFehler. . . 7

2.2 MathematisheGrundlagenzurFehlerrehnung . . . 8

2.2.1 Mittelwertund Standardabweihung . . . 8

2.2.2 DasgewihteteMittel. . . 10

2.2.3 Fehlerfortpanzung . . . 11

2.2.4 LineareRegression. . . 12

2.2.5 GewihtetelineareRegression. . . 16

2.2.6 AnpassungvonbeliebigenGraphen . . . 16

2.3 Wahrsheinlihkeitsverteilungen. . . 17

2.3.1 GrundlegendeBegrie . . . 17

2.3.2 ZusammenhangmitphysikalishenMessprozessen. . . 22

2.3.3 WihtigeWahrsheinlihkeitsverteilungen . . . 24

3 Die Wheatstone-Brüke 29 3.1 Einführung . . . 29

3.2 PhysikalisheGrundlagen . . . 29

3.2.1 SpezisherWiderstand . . . 30

3.2.2 KirhhosheRegeln . . . 30

3.2.3 Wehselstromwiderstände . . . 31

3.2.4 Zeigerdiagramme . . . 31

3.2.5 TypenvonLeitern . . . 32

3.3 Versuhsaufbau . . . 34

3.4 Versuhsdurhführung . . . 35

3.4.1 ErsterTeil . . . 35

3.4.2 ZweiterTeil . . . 35

3.5 AufgabenundAuswertung . . . 36

3.5.1 Aufgabenzur Vorbereitung . . . 36

3.5.2 Auswertung . . . 36

4 Millikan-Versuh 37 4.1 Einführung . . . 37

4.3 Versuhsbeshreibung . . . 39

4.5 Auswertung . . . 39

(5)

5.1 Einführung . . . 41

5.2.1 BewegteLadungen imMagnetfeld . . . 41

5.2.2 ErzeugungeineshomogenenMagnetfeldesdurheinHelmholtzspulenpaar . . 42

5.4.1 MessungderMagnetfeldstärke . . . 44

5.4.2 BestimmungdesKreisbahnradius . . . 44

5.5 Auswertung . . . 45

5.5.1 Aufgabenzur Vorbereitung . . . 45

5.5.2 BestimmungderMagnetfeldstärke . . . 46

5.5.3 Berehnungder spezishenLadung . . . 46

6 Polarisation 47 6.1 Einführung . . . 47

6.2.1 ElektromagnetisheWellen . . . 47

6.2.2 ArtenvonPolarisation . . . 48

6.2.3 ErzeugungvonpolarisiertemLiht . . . 49

6.2.4 Photomultiplier . . . 51

6.4.1 Versuhsvorbereitung . . . 53

6.4.2 Messaufgabe1:LinearpolarisiertesLiht. . . 54

6.4.3 Messaufgabe2:ElliptishpolarisiertesLiht . . . 54

6.4.4 Messaufgabe3:MessungderReexionander Glasplatte . . . 55

6.5 Aufgabenzur Auswertung . . . 56

6.5.1 LinearpolarisiertesLiht . . . 56

6.5.2 ElliptishpolarisiertesLiht . . . 56

6.5.3 MessungderReexionanderGlasplatte . . . 57

6.6 KontrollfragenzurVorbereitung. . . 57

(6)

1.1 Literatur

NahfolgendeListeenthältalsersteKategoriedieStandardwerkederExperimentalphysik.Die

zweite Kategorieerweitertden Horizont in theoretisher und/oder praktisher Hinsiht.Da-

gegenenthältdiedritteKategoriespezisheBüherzumThemaPhysikalishesPraktikum,

die dem Lesergrundlegende Experimentiertehniken vermitteln.

LiteraturvorshlägesindimmernurAnhaltspunkte,esgibtnihtdas Physikbuh.Letztendlih

bleibtdieWahlderLiteraturauhimmerdempersönlihenGeshmakdesLesersvorbehalten.

Büher zur Experimentalphysik:

Halliday,Resnik Halliday Physik

Alonso-Finn Physik

Bergmann-Shäfer Experimentalphysik(Bd.1-5)

Gerthsen-Kneser Physik

Tipler Physik

Pohl Einführungin die Physik(Bd. 1-3)

Brandt-Dahmen Mehanik: EineEinführung inExperimentund Theorie

Weiterführende Literatur:

D'Ans-Lax DasKohbuh desIngenieurs

Meinke-Grundlah DasKohbuh desElektronik-Ingenieurs

Kohlraush PraktishePhysik

Joos TheoretishePhysik

Praktikumsbüher:

Walher PraktikumderPhysik

Westphal Physikalishes Praktikum

H. Hänsel Grundzügeder Fehlerrehnung

(7)

Arbeitsshutz ist eine entsheidende Aufgabe, die sowohl von Ihnen als auh von den Be-

treuern stets wahrgenommen werden muss, um hierdurh Arbeitsunfälle zu vermeiden. Vor

Beginn jedes Versuhes weist Sie Ihr Betreuer auf die jeweiligen siherheitsrelevanten Aspek-

tehin.AllgemeingeltenfürSiewährenddesgesamtenPraktikumsdiefolgendenBestimmungen:

•

Ausshlieÿlih Personen, die sih eingehend vorbereitet haben, dürfen am Versuh teil- nehmen.

•

^Nur ^diejenigen Tätigkeitenwerden ausgeübt, die der Versuhsdurhführung zuzuordnen sind.

•

^Folgen ^Sie^den AnweisungenIhres Betreuers.

•

^Arbeiten^SiekonzentriertundgebenSiebenahbartenGruppendieMöglihkeit,ungestört zuarbeiten.

•

^Gehen^Sie ^stets^sorgsam^und respektvollmitder Messapparatur um.

•

^Bewahren ^Sie ^die^Ordnung ^auf^den Versuhstishen.

•

^Es^sind^keineModikationen vonVersuhsaufbauten zulässig.

•

^Melden ^Sie ^verdähtige ^Umstände, ^z.B. ^defekte ^Apparatur, abgebrohene Teile, niht- intakteelektrisheLeitungenund Geräte,unverzüglihIhremBetreuer.

•

^BeiSiherheitsbedenken oderimZweifel pausierenSiedenVersuh, bisderBetreuerdas Experimentwieder freigibt.

•

^Verzihten^Sieⁱⁿ ^denVersuhsräumenauf Telefongespräheund dasSurfen imInternet.

1.2.1 Verhalten bei Notfällen

•

^Ersthelfer^des^Department^für^Physik benahrihtigen.DieNamenund Kontaktdaten der Ersthelfernhängen injedem Versuhsraum.

•

^Bei^Feuer, ^Bedarfân êrste^Hilfe ôderGefahrstoaustrittwird umgehendein Notrufan die zentraleLeitstelle derUniversität abgesetzt:

vonjedem internenTelefonapparat: 2-111

vonauÿerhalb desUni-Telefonnetzes:0271-740-2-111

•

^Bei^Notruf ^kurz^und ^bündig ^angeben: Gebäudeteil,Raumnummer, weranruftund was passiert ist.WARTEN AUFRÜCKFRAGEN, das Gesprähwirdvon derLeitstelle

beendet!

(8)

In der Physik spieltdie Abshätzung und Angabe von Fehlern zu einem Messwert eineent-

sheidendeRolle.KeineMessungistfreivonFehlern!SelbstwenneineMessapparaturabsolut

unverändertbleibtundsihkeinerleiäuÿereParameterändern,shwankenalleMessergebnisse

um einenbestimmtenWert,den sog.Mittelwert.Dahergilt:

Kein Messergebnis ohneAngabe von Messfehlern!

Hiersollein kurzerÜberbliküberdieimAnfängerpraktikumnötigenBegrieundMethoden

der Fehlerrehnung und Datenanalyse gegeben werden. Alles in dieserHinsiht Wihtigefür

die AuswertungderVersuhewirdhierzusammengefasstundmotiviert.DaherhatdieseEin-

führung keinen Lehrbuhharakter, sondern ist als Nahshlagewerk und Hilfein der Praxis

gedaht.DennSinndesPraktikumsistnihtzuletztdasErlernenderAnwendungstatistisher

Methoden in einem konkreten Experiment, was später im Studium auh theoretish weiter

vertieft werdenkann.

Im folgenden Abshnitt2.1wirdzuerstder BegridesFehlersin derPhysik erläutert.Daran

shlieÿt sih eine Zusammenfassung und kurze Herleitung aller im Praktikum notwendigen

Formeln in Abshnitt 2.2 an. Den Abshluss in Abshnitt 2.3 bildeteine Ergänzung zu den

grundlegendenKonzeptenderWahrsheinlihkeitsrehnung,derenStudiumzumtieferenVer-

ständnis sehr zu empfehlen ist. Sie ist für das Praktikum aber niht direkt notwendig und

kanndaherauhspätergelesen werden.DasThemawirdaberinsbesondereimweiteren Stu-

dienverlauf immerwihtiger werden.

EsgibtnatürlihvielweiterführendeLiteraturzurDatenanalyse.Zusätzlihzudenimvorigen

Kapitel erwähnten Bühernsollenhierinsbesonderenoh folgende genanntwerden:

•

^John ^R.^Taylor, Fehleranalyse, VCH, 1.Au.,1988 ,

bzw. dasenglishe OriginalAn introdutionto erroranalysis,2.Au.,1997

DiesesBuhistsehrzuempfehlen,daesfürdasphysikalisheGrundpraktikumgeshrie-

ben wurde undden nötigenStoin anshauliherWeisedarstellt.

•

^Siegmund ^Brandt,Datenanalyse, SpektrumAkademisherVerlag,4.Au.,1999 Dieses Buhbehandelt ausführlih Grundlagen und weiterführende Tehniken der Da-

tenanalyse.Besondersdieeinführenden Kapitelsindhierinteressant,davielesimBuh

erst fürFortgeshrittenewihtig wird.

(9)

DerWertderMessgröÿe,dieineinemExperimentermitteltwerdensoll,wirdalswahrerWert

bezeihnet.DaesinderPraxisunmöglihist,eineMessungmitabsoluter Genauigkeitdurh-

zuführen, kannmandiesenjedohniemalsexaktangeben.DerwahreWertwäredasErgebnis

eineridealisiertenVersuhsdurhführung.BeieinemExperimentbestehtdaherimmerdieAuf-

gabe

(1.)

êin Êrgebnis ânzugeben, ^das ^dem ^wahren ^Wert ^möglihst ^nahe ^kommt, ûnd

(2.)

dessengeshätzte Abweihung vom wahren Wertanzugeben.

ManuntersheidetbeieinemMessvorganggrundsätzlihzweiArtenvonFehlerquellen:statis-

tishe undsystematisheFehler.Diese untersheiden sihdarin, dasssihstatistisheFehler

bei einergröÿer werdenden Anzahlvon Messwerten mehrund mehr herausmitteln(und man

sihso dem wahrenWertimmermehrannähern kann), systematishedagegenniht.

Statistishe Fehler

StatistisheFehlersindsolhe,diebeiunveränderterApparaturzuvershiedenenErgebnissen

führen, wenn die Messungwiederholt wird. DieAbweihungen der Messergebnissevoneinan-

der werdendurh zufälligeProzesse verursaht.

Da eineMessapparaturinderRegeleinkomplexes,makroskopishesSystemist,können viele

Einüsse niht berüksihtigt werden. Betrahten wir als Beispiel die Messung der Shwin-

gungsdauer eines Fadenpendels mit einer Stoppuhr. Führt man diese Messung mehrmals

durh, so ist es praktish unmöglih, zweimal exakt den gleihen Versuh zu mahen: Die

Masse wird mit leiht anderer Anfangsgeshwindigkeit losgelassen, die Luftströmung ist et-

was anders, die Aufhängung bewegt sih et. Das Stoppen und Ablesen der Anzeige kann

ebenfalls nurmitbegrenzterGenauigkeit durhgeführtwerdenundistzufälligenShwankun-

genunterlegen.

DieseShwankungenwerdenjedohalleumeinenzentralenWert,denMittelwert,herumauf-

treten.Ihr Ausmaÿwird durhdenstatistishenFehler beshrieben.Es kann auhsein, dass

ein MessprozessvonNatur aus ein zufälligesErgebnis liefert. Diespassiert z.B. dort, wo die

QuantenmehanikeineRollespielt,etwabeimradioaktivenZerfallvonKernen.EineMessung,

wie vieleTeilhender kosmishenStrahlungpro Sekunde aufeine bestimmte Flähetreen,

wird ebenfalls immer untershiedlihe Werte ergeben. Man misst dann die Wahrsheinlih-

keitsverteilung fürdieseEreignisse.JemehrMessungenmanmaht,destogenauer kannman

diese auh experimentellermitteln.

StatistisheFehler lassensihimmeraus der Messreiheselbst ermitteln.Die wihtigsteAuf-

gabe derPraktikanten istes, dieseFehlerrihtig zu bestimmen.

Systematishe Fehler

Systematishe Fehler sind solhe, die sih bei wiederholter Messung niht herausmitteln,

sondern durh die jeder Messwert in eine bestimmte Rihtung abweiht. Sie sind ein fester

BestandteildesMessergebnissesundhaben grundsätzlihihreUrsahe inderAnlageder Ap-

paratur,daesin derPraxisebenfalls unmöglih ist,ein perfektesMessgerätzu konstruieren.

Systematishe Fehler können niht allein aus der Messreihe bestimmt werden, sondern es

(10)

Versuhsaufbau durhgeführt werden.

BeimBeispielmitdem Fadenpendel wäreeineQuellesystematisherFehlerz.B. dieEihung

der Stoppuhr, mit der man misst. Sie kann die Zeit siher niht mit absoluter Genauigkeit

messen und magz.B. etwas zu shnell laufen. In diesem konkreten Fall(bei der Messung

von einigen Sekunden mit einer Stoppuhr) ist die Genauigkeit zwar so gut, dass man den

systematishenFehlervernahlässigenkann,beikomplizierterenExperimentenkanndas aber

anders sein. Zum Beispiel ein Detektor, der zwei vershiedene Teilhenarten untersheiden

soll,kanndurhauseineWahrsheinlihkeitimProzentbereihhaben,dasfalsheErgebniszu

liefern,wasbei derAuswertung zu berüksihtigenist.

Der systematishe Fehler wird stets getrennt vom statistishen Fehler angegeben. Die Ein-

shätzungenzudensystematishenFehlernwerdenimPraktikuminderDiskussiondesMes-

sergebnisses vorgestelltund können hiernormalerweisequalitativ angegeben werden. (In der

Forshung ist die quantitative Abshätzung systematisher Fehler jedoh ein wihtiger und

oft umfangreiherTeil desErgebnisses.)

2.2 Mathematishe Grundlagen zur Fehlerrehnung

Im Folgenden werden die fürdie Versuhsauswertungen wihtigen Begrie und Formeln an-

gegeben underläutert.

2.2.1 Mittelwert und Standardabweihung

Nah mehrmaliger Durhführung der Messung einer physikalishen Gröÿe

x

^haben ^wir

N

Messwerte

x _i

^(mit

i = 1 . . . , N

⁾ êrhalten.^Wir ^wollen ^nun êineÂbshätzung ^für ^den^wahren

Wert erhalten, der mit

x ˆ

^bezeihnet ^werden ^soll. ^Jeder ^Messwert ^hat ^eine ^(zunähst ^unbe-

kannte)Abweihung von diesem,die mit

ǫ _i

^bezeihnet ^wird:

x _i = ˆ x + ǫ _i

^(2.2.1)

Die in der Datenanalyse am bestenbewährteMethode zur Abshätzung des wahren Wertes

istdas Prinzipder kleinstenQuadrate,das amAnfangdes19.Jahrhunderts vonGaussund

Legendre entwikelt wurde. Es besagt, dass der Wert

x ¯

^den ^besten ^Shätzwert ^für ^den

wahrenWertliefert,fürdendie SummederquadratishenAbweihungenzu denMesswerten

x _i

^minimal^ist:

X N

i=1

ǫ _i ² = X N

i=1

(x i − x) ¯ ^{2 !} =

^min. ^(2.2.2)

Man suht also im Wesentlihen den Wert, der zusammengenommen möglihst nahebei

allen Messwerten liegt. Die Verwendung der quadratishen Abweihung sorgt dafür, dass

gröÿereAbweihungenmitmehrGewihtindieseSummeeingehenundsomitehervermieden

werdenmüssen alskleinere.

DasPrinzipder kleinstenQuadrateergibt inunserem Fall:

(11)

d

x ¯ X N

i=1

ǫ _i ²

!

=

^d

d

x ¯ X N

i=1

(x _i − x) ¯ ^{2 !} = 0

⇒ ( − 2) X N

i=1

(x _i − x) = 0 ¯

⇒ X N

i=1

(x _i − x) = ¯

X N

i=1

x _i

!

− N ¯ x = 0

⇒ x ¯ = 1 N

X N

i=1

x _i

^(2.2.3)

Das arithmetishe Mittel ist alsodie besteShätzungdes wahren Wertes

x ˆ

^:

¯ x := 1

N X N

i=1

x i

^(2.2.4)

Dieser wirdallgemeinals Mittelwert bezeihnet.

Als Maÿfürden Fehler desMittelwertsverwendet man die Varianz der Messung:

V (x) := 1 N − 1

X N

i=1

(x i − x) ¯ ²

^(2.2.5)

Dies ist im Wesentlihen der Mittelwert der quadratishen Abweihung von

x ¯

^. ^Der ^Faktor

N − 1

^im^Nenner^(statt

N

^wie^man^naiv^bei^einer ^Mittelung^von

N

^Werten ^erwarten^würde)

hat tiefere theoretishe Gründe und soll hier niht hergeleitet werden. Man kann sih aber

deutlih mahen, dass auf diese Weise für

N = 1

^die ^Varianz ûnendlih îst, ^was âuh ^Sinn

maht,da manaus einemeinzigen Messwertkeine statistisheAussageerhaltenkann.

Die Wurzel aus derVarianzwirdalsFehler der Einzelmessung bezeihnet:

∆x = p

V (x) = v u u t 1

N − 1 X N

i=1

(x _i − x) ¯ ²

^(2.2.6)

Uns interessiert jedoh bei der Messung einer physikalishen Gröÿe niht die erwartete Ab-

weihungeiner EinzelmessungvomMittelwert,sonderndieAbweihung

∆¯ x

^desMittelwertes vom wahrenWert. Diese istgegeben durh (Herleitungin Abshnitt2.3.2):

∆¯ x = ∆x

√ N

(2.2.7)

(12)

∆¯ x = v u u t 1

N (N − 1) X N

i=1

(x _i − x) ¯ ²

^(2.2.8)

Messergebnisse sindalsoin der folgenden Formanzugeben:

x = ¯ x ± ∆¯ x

^(2.2.9)

Hinweis: Dienumerishe Gröÿe der Messwertemit einer gröÿeren Genauigkeit alsder des

Fehlersanzugeben, maht keinen Sinn.Übliherweisewerdendaher die Ergebnissegerundet.

HatmanalsofüreinebestimmteGröÿez.B.

x ¯ = 1, 3024

^und

∆¯ x = 0, 083

^aus ^der^Messreihe

bestimmt,so würde mandenFehler auf

∆¯ x = 0, 08

^runden.

ÜbliherweisewerdenMittelwertundFehlerauhaufdiegleiheNahkommastelleangegeben.

ManrundetindiesemFalldannalso

x ¯

^auf^die^zweiteNahkommastelle

x = 1, 30

^(auh^wenn

diese

0

îst).^DasÊrgebnis ^hier ^wäre âlso

x = 1, 30 ± 0, 08

^.

2.2.2 Das gewihtete Mittel

Bei der Bildung des arithmetishen Mittels wird davon ausgegangen, dass jeder Messwert

gleihberehtigt in die Messungeingeht. Diese Art der Mittelwertbildung wirdungenau, so-

bald die einzelnen Messwerteniht mehrdengleihen Einuss aufdas Endergebnis haben.

Als Beispiel betrahten wir noh einmal die Bestimmung der Shwingungsdauer eines Fa-

denpendels.Hierzu seiendrei Messreihendurhgeführtworden: Dieerste bestehtaus 20,die

zweiteaus50unddiedritteaus30Einzelmessungen.AusdiesendreiMessreihensollnundas

Endergebnisbestimmtwerden. OensihtlihmussdieersteMessreihezu 20%,diezweitezu

50%und die drittezu 30%inden endgültigenMittelwerteinieÿen.

Zu diesemZwek bedientmansihdesgewihteten Mittels.Esist folgendermaÿendeniert:

¯ x

gew.

:=

P N i=1

w _i · x _i P N i=1

w _i

(2.2.10)

Die

w _i

^sind ^hierbei ^die sogenannten Gewihte. Sie sind ein Maÿ für den Einuss der

x _i

^auf

den gewihteten Mittelwert

x ¯

^gew.^.În ûnserem ^Beispiel^wären âlso

w ₁ = 0, 2

^;

w ₂ = 0, 5

^und

w ₃ = 0, 3

^.

(13)

Man kann die Gewihte für

N

untershiedlihe Messreihen auh daraus bestimmen, wel- hes Vertrauen man ihnen shenkt. Das Maÿ hierfür ist die inverse Varianz der Mittelwerte

der einzelnen Messreihen:

w _i = 1

V (x i ) = 1

(∆x i ) ²

^(2.2.11)

Die inverseVarianzdes gewihtetenMittelsistSumme der Gewihte:

1 (∆¯ x _gew. ) ² =

X N

i=1

w _i = X N

i=1

1 (∆x _i ) ²

^(2.2.12)

2.2.3 Fehlerfortpanzung

Oft sind zur Bestimmung einer physikalishen Gröÿe mehrere Einzelgröÿen zu messen, die

allemiteinemindividuellen Fehler behaftetsind. So müssenetwa zurBestimmungeiner Ge-

shwindigkeit

v

^dieverstriheneZeit

t

^zum^Durhlaufen^einer^Streke

s

^gemessen^werden;^die

Messungvon

t

^und

s

^ist^dabei^mit^Fehlern^behaftet.^DerGesamtfehlervon

v = v(s, t) = s/t

ist durhFehlerfortpanzung zu bestimmen.

Sei

y = y(x _i )

^die ^zu bestimmende physikalishe Gröÿe, die von direkt gemessenen Gröÿen

x i = x 1 , . . . , x N

^abhängt. ^Dann^ergibt ^sih^der ^Fehler

∆y

^von

y

^durh^das ^Gauÿshe ^Feh-

lerfortpanzungsgesetz

(∆y) ² = X N

i=1

∂y

∂x _i 2

(∆x _i ) ²

^(2.2.13)

Betrahten wiralsBeispieleineFunktion

f (x, y) = x ² − 2 y

^,^die^von^den^beiden^gemessenen

Gröÿen

x

^und

y

^mit^Fehlern

∆x

^und

∆y

^abhängt. ^Dann^ist ^der^Fehler

∆f

^:

∆f = s

∂f (x, y)

∂x 2

(∆x) ² +

∂f(x, y)

∂y 2

(∆y) ²

= p

(2 x) ² (∆x) ² + ( − 2) ² (∆y) ²

= p

4 x ² (∆x) ² + 4 (∆y) ²

= 2 p

x ² (∆x) ² + (∆y) ²

^(2.2.14)

Ist der Zusammenhang zwishen den Messgröÿen

x _i

^rein multiplikativ, so ist es wesentlih einfaher, mit relativen Fehlern

∆y

rel

= ^∆y _y

^zu ^rehnen.^Dies ^wollen ^wirûns ân ^Hand êines

weiteren Beispielsverdeutlihen:

(14)

Sei

z(x, y) = x · y ²

^eine ^Gröÿe, ^die ^aus

x

^und

y

^zu ^bestimmen îst. Âus ^(2.2.13) êrgibt

sih:

(∆z) ² = y ⁴ (∆x) ² + (2xy) ² (∆y) ²

^(2.2.15)

Teiltman dieGleihung durh

z ² = (x · y ² ) ²

^,^so ^erhält^man^für ^den^relativen ^Fehler:

(∆z) ²

relativ

= ∆z

z 2

= ∆x

x 2

+ 2∆y

y 2

(2.2.16)

EinFehlervon 1%in

x

^bewirkt^also^einen^1%-igen^Fehlerⁱⁿ

z

^während ^ein ^Fehler^von^1%ⁱⁿ

y

^einen ^2%-igen^Fehler ⁱⁿ

z

^zur ^Folge ^hat.^Oenbar^gilt^folgende ^Merkregel:

Geht eine Messgröÿe

x

ⁱⁿ ^der

n

^-ten ^Potenz ⁱⁿ ^die ^zu bestimmende Gröÿe

z

^ein, ^so ^geht

der Fehlervon

x n

^-fahⁱⁿ ^den^Fehler ^von

z

^ein:

z = z(x ⁿ ) ⇒ ∆z

relativ

= n · ∆x

relativ

(2.2.17)

Hinweis: DieFehlerfortpanzung darfinder obigenForm nurangewendet werden, wenn die

eingehenden Gröÿen unabhängig sind, also keine Korrelation haben (siehe Abshnitt 2.3).

Dies istin diesemPraktikumauhnormalerweiseder Fall.

Allgemein geht aber die Korrelation mit in die Fehlerfortpanzung ein, was hier nihtuner-

wähnt bleiben darf.

2.2.4 Lineare Regression

OftistmaninteressiertanderAbhängigkeiteinerMessgröÿevoneinemParameterdesExpe-

riments. Man stellesih etwa folgende Situation vor: Einelektrisher Widerstand

R

^soll ^mit

HilfederSpannung

U

^und^dem^Strom

I

^bestimmt^werden.^Dazu^verwendet^man^eine^regelbare

Spannungsquelle undein Amperemeter(Strommessgerät),manmisstalso

I

^fürvershiedene Spannungen

U

^. ^Zwishen ^ihnen ^besteht^als Zusammenhang das bekannte Ohmshe Gesetz:

U = R · I

^bzw.

I = _R ¹ · U

^.^Trägt^man

I

ⁱⁿ Abhängigkeit von

U

^grash^auf,^so ^sheinen^alle

Messpunkte mehroderwenigerauf einerGeraden mitder Steigung

1/R

^zu^liegen.

Wir haben bereits in 2.2.1 gesehen, dass die Forderung nah der Minimierung der Summe

aller Fehlerquadrate

P ǫ _i ²

^zum arithmetishen MittelalsbesteShätzung deswahren Werts führt. Dieses Verfahren lässt sih auh hier anwenden, um die Gerade mit der Steigung zu

nden, diedieDatenpunkteambestenbeshreibt,undso

R

^zuêrmitteln.Ês^wirdâls^Lineare

Regression bezeihnet.

BetrahtenwirallgemeindieMessungvon

N

Datenpunkten

y _i

ⁱⁿAbhängigkeitvershiedener WerteeinerGröÿe

x _i

^.^Wir^denken ^uns^eine^lineare^Vorshrift

y = m · x + b = y(x, m, b)

^gege-

ben.

m

^ist^die^Steigung^und

b

^der

y

-Ahsenabshnitt.TrägtmandietatsählihenMesswerte auf, so werden diesein einemgewissen Abstandzur durhdiese beidenParameter beshrie-

benen Geradenliegen. AlsBeispielfürdienun beshriebeneAnpassung einer Geradenan die

Werteist inAbb. 2.2.1 einegraphisheDarstellunggezeigt.

(15)

0 2 4 6 8 10 x 0

2 4 6 8 10 12 14 y

Abbildung 2.2.1: Messung von 10 Messwerten

y _i

ⁱⁿ Abhängigkeit von

x _i = 1, .., 10

^und

dieerhalteneAusgleihsgerade.

Man betrahtetalsMaÿ fürdenFehler wiederdie Summe derquadratishen Abstände:

X N

i=1

ǫ _i ² = X N

i=1

(y _i − y(x _i , m, b)) ² = X N

i=1

(y _i − (m · x _i + b)) ²

^(2.2.18)

Die Forderung,dass dieSumme der Fehlerquadrate

P ǫ _i ²

^minimal^werden^soll,^führt ^zu:

∂

∂m X N

i=1

(y _i − (m · x _i + b)) ^{2 !} = 0

^(2.2.19)

sowie

∂

∂b X N

i=1

(y _i − (m · x _i + b)) ^{2 !} = 0

^(2.2.20)

(16)

∂

∂m X N

i=1

(y _i − (m · x _i + b)) ² = 0

⇒ 2 X N

i=1

(y _i − (m · x _i + b))( − x _i ) = 0

⇒ − X N

i=1

x _i y _i + m X N

i=1

x ² _i + b X N

i=1

x _i = 0

^(2.2.21)

Aus (2.2.20) erhältmananalog:

∂

∂b X N

i=1

(y i − (m · x i + b)) ² = 0

⇒ 2 X N

i=1

(y _i − (m · x _i + b)) = 0

⇒ X N

i=1

y i − m X N

i=1

x i − N · b = 0

^(2.2.22)

Damit werdendie beidenBedingungen zu:

− X

i

x _i y _i + m X

i

x ² _i + b X

i

x _i = 0

^(2.2.23)

X

i

y _i − m X

i

x _i − N · b = 0

^(2.2.24)

Wirlösen zunähst(2.2.24) nah

m

^auf:

m = P

i

y _i − N · b P

i

x _i

^(2.2.25)

(17)

− P

i

x _i y _i +

P

i

y i − N · b P

i

x _i

P

i

x ² _i + b P

i

x _i = 0

⇔ ^P ¹

i

x i

"

− P

i

x _i y _i P

i

x _i + P

i

y _i − N · b P

i

x ² _i + b P

i

x _i 2 #

= 0

⇔ − P

i

x _i y _i P

i

x _i + P

i

y _i P

i

x ² _i − N b P

i

x ² _i + b P

i

x _i 2

= 0

⇔ − P

i

x _i y _i P

i

x _i + P

i

y _i P

i

x ² _i − b

"

N P

i

x ² _i − P

i

x _i 2 #

= 0

⇔ b =

P

i

y i P

i

x ² _i − P

i

x i P

i

x i y i

N P

i

x ² _i − P

i

x _i

2

^(2.2.26)

Durh Einsetzendieses Ausdruksin die obigeFormelfür

m

^erhält^man ^nah

kurzerRehnung:

m = N P

i

x _i y _i − P

i

x _i P

i

y _i

N P

i

x ² _i − P

i

x i

2

^(2.2.27)

Fehler der linearenRegression

Auh eine Regressionsgerade ist lediglih eine Shätzung der wahren Gerade; damit sind

die Parameter

m

^und

b

^mit ^Fehlern ^behaftet. ^Wie ⁱⁿ ^(2.2.6) ^ergibt ^sih ^der ^Fehler ^eines

Datenpunkts

∆y

^zu:

∆y = v u u t

P

i

ǫ _i ² N − 2 =

v u u t

P

i

(y _i − (m · x _i + b)) ²

N − 2

^(2.2.28)

Der Faktor

N − 2

^hat^wieder^einekompliziertereHerleitung.DerWert2 imNennerkommt daher,dassnunzweiParameter

m

^und

b

âus^der^Messreiheêrmittelt^werden,^währendês^beim

Mittelwertnureinerwar.DieserFehlerwirdimDiagrammanjedemMesswertalsFehlerbalken

aufgetragen, wiein Abb.2.2.1 gezeigt.

Für die Fehler der Parameter,

∆b

^und

∆m

^,^gilt ^(ohneHerleitung):

(18)

∆b = σ · v u u u u u t

P

i

x ² _i

N P

i

x ² _i − P

i

x _i

2

^(2.2.29)

sowie

∆m = σ · v u u u t

N N P

i

x ² _i − P

i

x _i

2

^(2.2.30)

wobei

σ

^der^Fehler ^einesDatenpunktes,nah(2.2.28) ,ist.

Hinweis: BeiderlinearenRegressionsindbisherdie

x

^-Werteîmmerâls^fehlerlosângenommen

worden,wasinderRealitätnatürlihnihtderFallist,etwabeimobigenBeispielmitStrom-

undSpannungsmessung.InderPraxissorgtmaninderRegeldafür,dassderParameter

x

^einen

vernahlässigbaren Fehler hat, bzw. nimmtdies derEinfahheithalberan. DieEinbeziehung

eines solhenFehlerswürde die statistisheAnalysewesentlih kompliziertermahen, was in

vielen Fällen(wie hier) zu umständlihwäre.

2.2.5 Gewihtete lineare Regression

Aus der Methode der kleinsten Quadratekann man auheine gewihtete lineare Regression

bestimmen, wobei die Gewihte wieder wie in Abshnitt 2.2.2 durh die inversen Varianzen

gegeben sind

w i = 1

V (y _i ) = 1

(∆y _i ) ²

^(2.2.31)

DieFormeln,die sofürdie Parameter

b

^und

m

êrhält,êrhält^man^leihtâus^denen îm^vorigen

Abshnitt, indemman:

•

^alle^Summen^zu ^gewihteten ^Summen^maht,^also

P

i

x _i → P

i

w _i x _i

^et.

•

^die ^Ersetzung

N → P

i

w _i

^durhführt,^und

•

^bei^den^Fehlern

∆m

^und

∆b

^den^Messfehler

∆y

^weglässt^(der^Fehler ^der

y

^-Werte ^wird

nun durhdie Gewihteinden Summenberüksihtigt).

2.2.6 Anpassung von beliebigen Graphen

DieMethodederkleinstenQuadratekannnatürlihnihtnurzumAnpasseneinerGeradenan

Datenpunkte verwendet werden, sondern auhfür beliebige Funktionen. Dadurh kann man

eine bestimmte Funktion, z.B. ein Polynom oder eine Exponentialfunktion, bestmöglih an

(19)

Funktion, also z.B. für die Koezienten eines Polynoms.(DiesesVerfahrenbezeihnet man

umgangssprahlih auhalsFitten bzw. die erhalteneFunktionals Fit an die Daten.)

HeutzutageführtmandiesmeistmitnumerishenProgrammendurh.Eswirdaberindiesem

Praktikumnihtvorkommen.SpäterimMaster-Praktikum(undggf.imBeruf)arbeitetman

oft mitdieserMethode,um die Datenauszuwerten. Sie sollte daher hierder Vollständigkeit

halbererwähnt werden.

2.3 Wahrsheinlihkeitsverteilungen

Das folgende Kapitel ist, wie in der Einleitung erwähnt, eine Ergänzung und stellt einige

grundlegende Konzepte fürFehlerrehnung undDatenanalyse vor, vor allemdie Begrie der

Wahrsheinlihkeitsrehnungund-verteilungen.

2.3.1 Grundlegende Begrie

Wahrsheinlihkeitsrehnung

Wir wollen erst einmal einige begriihe Denitionen treen. Dabei steht wohl an erster

Stelle das Zufallsexperiment.Darunterversteht mandas wiederholte NotierendesAusgangs

eines zufälligenProzesses. Alseinfahstes Beispieldenken wirunseinen Würfel.Wirwürfeln

N

^-mal, ^notieren ^uns ^jeweils ^die ^Augenzahl

X

^(die ^sog. Zufallsvariable), ohne dass sih am Würfel,der Unterlageo. ä.etwas ändert.

Nahdem wir

N

^-mal ^gewürfelt ^haben, ^können ^wir ^uns ^einem ^weiteren ^Begri ^zuwenden,

nämlih dem der Häugkeit. Wenn wirbeispielsweise60 mal würfeln, werden wir erwarten,

dassjedeAugenzahl10malgewürfeltwurde (daswirdnatürlihso nursehrselteneintreen,

denneshandeltsihjaumeinZufallsexperiment!).Wirkönnendie AnzahlderErgebnisse

N i

zu einembestimmtenWert

X _i

ⁱⁿ^einer ^Tabelle ^angeben:

X _i

¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶

N _i

⁹ ¹² ⁸ ¹⁰ ¹¹ ¹⁰

Der Index

i

^bezeihnet^dabei^die vershiedenen möglihenErgebnisse.

N ₁ = 9

^bedeutet^also:

Es wurde bei60 Würfen9 maldie1 gewürfelt.

Man deniert die Häugkeit

h _i

^, ^indem ^man ^das ^Verhältnis ^zur ^Gesamtzahl ^der ^Ereignisse

bildet, also:

h _i = N _i

N

^(2.3.1)

(20)

X

i

h i = 1

^(2.3.2)

UnsereobigeTabellesiehtdemnah inHäugkeitengeshrieben folgendermaÿenaus:

X _i

¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶

h _i

^0,15 ^0,20 ^0,13 ^0,17 ^0,18 ^0,17

Nun deniert man die Wahrsheinlihkeit

p(X _i )

^als ^die ^Häugkeit ^eines Ereignisses, die in dem Zufallsprozesseintretensollte,wenn manihnunendlihoft durhführen würde:

p(X _i ) = lim

N →∞

N i

N = lim

N →∞ h _i

^(2.3.3)

Ereignissemit

p = 0

^nennt ^man ^unmöglih,^solhe^mit

p = 1

^bezeihnet ^man ^als^siher.^Ein

idealer, nihtgezinkterWürfel solltedemnah die Wahrsheinlihkeiten

p(1) = p(2) = . . . = p(6) = ¹ ₆

^haben, ^da ^jede Âugenzahl^gleih ^häug âuftreten ^sollte,^wenn ^man ^nur ôft ^genug

würfelt.

Auh Wahrsheinlihkeiten sind normiert; weiterhin gibt es keine negativen Wahrsheinlih-

keiten.Es giltalsostets

0 ≤ p(X _i ) ≤ 1

^(2.3.4)

sowie

X

i

p(X i ) ≡ 1

^(2.3.5)

Rehenregeln für Wahrsheinlihkeiten

Für denUmgangmitmehreren,unabhängigen WahrsheinlihkeitengeltenfolgendeRehen-

regeln.Seien imFolgenden

p A

^und

p B

^dieWahrsheinlihkeitenfürdie EreignisseAund B:

Multiplikation von Wahrsheinlihkeiten DieWahrsheinlihkeit,dassin einemExperi-

ment EreignisA undEreignisBeintreen,ist

p

AundB

= p _A · p _B

^(2.3.6)

(21)

entweder EreignisA oderEreignis Beintritt,ist

p

AoderB

= p A + p B

^(2.3.7)

Erwartungswert undVarianz

Inder Statistikhatdie DurhführungeineseinzigenZufallsexperimentskeinegroÿeAussage-

kraft. Bei der Durhführung vieler Experimente jedoh wird sih ein Durhshnittswert der

Zufallsvariablen

X _i

einstellen.Man sprihtdann vom Erwartungswert. Er ist deniertals

X ˆ = E(X) = X

i

p(X _i )X _i

^(2.3.8)

BeimWürfelnmit

p(X _i ) = ¹ ₆

^beträgt^er

E(X) = 3, 5

^.

Neben dem Erwartungswertinteressiert mansihin der Statistikfür dieFrage, wie starkdie

Ereignisseum denErwartungswertstreuen. Jestärkerdie EreignisseumdenErwartungswert

konzentriertsind,destowahrsheinliheristes,beieinemExperimentgenaudenErwartungs-

wertzu erreihen oder ihm zumindest sehrnahe zu kommen.Das Maÿfür die Streuungder

Ereignisseum denErwartungswertist die Varianz. Sieist deniertals:

V (X) := E

(X − E(X) ) ²

(2.3.9)

Es gilt:

V (X) = E

(X − E(X) ) ²

= E

X ² − 2XE(X) + E ² (X)

= E(X ² ) − 2E(X)E(X) + E ² (X)

= E(X ² ) − E ² (X)

^(2.3.10)

Die positiveQuadratwurzel der Varianzheiÿt Standardabweihung

σ

^:

σ _X = p

V (X) = p

E(X ² ) − E ² (X)

^(2.3.11)

Kovarianz

Meist werden physikalishe Gröÿen durh die Messung mehrerer anderer Gröÿen bestimmt.

Dann ermitteltsihder Fehler aus der gauÿshen Fehlerfortpanzung. Dies ist abernur zu-

lässig,fallsalleGröÿen voneinander unabhängig sind.

Oft ist niht gesihert, ob Messwerte voneinander abhängig sind. Es kann ja durhaus sein,

dassder physikalisheZusammenhangzwishen ihnen noh vollkommen unbekannt ist.

(22)

spiegeln.Dies bezeihnetman alsKovarianz. Sie istfolgendermaÿendeniert:

ov

(X, Y ) := E [(X − E(X)) · (Y − E(Y ))]

^(2.3.12)

Einige Beispiele sind in Abb. 2.3.1 gezeigt. Die Kovarianz zweier Messgröÿen

X

^und

Y

^ist

gröÿer als

0

^wenn ^die ^Messwerte ^für

X

^, ^die ^gröÿer ^als ^ihr ^Mittelwert

E(X)

^sind, ^gehäuft

mitMesswertenvon

Y

^auftreten,^die ^gröÿer ^als

E(Y )

^sind. ^Bei^einer ^Kovarianz ^kleiner^als

0

treten entsprehend gröÿere

X

^-Werte^gehäuft^mit ^kleineren

Y

^-Werten^auf.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 X

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Y

(a)

cov(X, Y ) > 0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 X

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Y

(b)

cov(X, Y ) ≃ 0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 X

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Y

()

cov(X, Y ) < 0

Abbildung 2.3.1:Einige Beispiele fürvershiedene Kovarianzen.

Aus der Denitionergibtsih leiht:

ov

(X, Y ) = E[X · Y ] − E[X] · E[Y ]

^(2.3.13)

(23)

V (X) =

^ov

(X, X)

^(2.3.14)

Fernerhat sie dieEigenshaften (

a

^sei^eine^reelle ^Zahl):

ov

(X, Y ) =

^ov

(Y, X )

^(2.3.15)

ov

(a · X, Y ) = a ·

^ov

(X, Y )

^(2.3.16)

ov

(X + Y, Z) =

^ov

(X, Z ) +

^ov

(Y, Z)

^(2.3.17)

Ist

c

^eine^konstante Zufallsvariable, so giltov

(X, c) = 0

^.

Damit folgtdie lineareTransformation:

ov

(a · X + b, c · Y + d) = a · c ·

^ov

(X, Y )

^(2.3.18)

Messgröÿen,die abhängig voneinander sind, heiÿenkorelliert.Für unkorellierteGröÿen gilt:

ov

(X, Y ) = 0

^(2.3.19)

Für eine endlihe Menge vongemessenen Wertepaaren

(x _i , y _i )

^mit

i = 1 . . . N

^shätzt ^man

die Kovarianz durh:

ov

(X, Y ) = 1 N − 1

X N

i=1

(x _i − x)(y ¯ _i − y) ¯

!

(2.3.20)

Einigermaÿen zuverlässige Werte für die Kovarianz erhält man aber nur für gröÿere Werte

von N.

ShlieÿliharbeitetmanauhoftmitdersogenanntenKorrelation

ρ(X, Y )

^,^die^man^deniert

als:

ρ(X, Y ) =

^ov

(X, Y )

σ _X σ _Y

^(2.3.21)

Man kann zeigen, dass immer

− 1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1

^gilt. ^Bei

ρ(X, Y ) = 0

^sind

X

^und

Y

unkorreliert, bei

ρ(X, Y ) = +1

^bzw.

− 1

^sind ^sie ^völlig ^korreliert ^bzw. antikorreliert. (In diesen Extremfällenbestehtein exakterlinearer Zusammenhangzwishen ihnen.)

(24)

Oft haben Zufallsexperimente keine diskretenErgebnisse. Wenn wir z. B. kosmishe Strah-

lung betrahten, so wird sih die Energie der registrierten Teilhen kontinuierlih in einem

bestimmtenSpektrumverteilen.

WeiterhinkönnenVerteilungenstrenggenommenzwardiskretsein,dieAnzahl derZufallsva-

riablen

X _i

^jedoh^so ^groÿ^werden, ^dass^man sinnvollerweisevonderdiskretenzurkontinuier- lihenBetrahtung übergeht.

BeikontinuierlihenWahrsheinlihkeitsverteilungenhatmanstattdiskreterEinzelwahrshein-

lihkeiten

p 1 . . . p N

^eine^(stetige)Wahrsheinlihkeitsdihte

w(x)

^,^die^normiert^ist:

R

w(x) dx = 1

^.^Man ^geht^bei^der ^Berehnung ^desErwartungswertes

E(x)

^von^der ^Summen-^zur ^Integral-

shreibweiseüber:

E(x) = Z

x · w(x) dx

^(2.3.22)

Hinweis: DieIntegrationsgrenzenerstreken sihstetsüberdengesamtenGültigkeitsbereih

von

w(x)

^,^also^meist

−∞ < x < + ∞

^.

FürErwartungswertundVarianzbeikontinuierlihenVerteilungengeltendiegleihenRehen-

gesetze und Denitionen wie bei diskreten Verteilungen. Somit lässt sih die Varianz einer

kontinuierlihenVerteilungberehnen durh

V (x) = E(x ² ) − E ² (x) = Z

x ² · w(x) dx − Z

x · w(x) dx 2

(2.3.23)

Aus der Wahrsheinlihkeitsdihte können nur die Wahrsheinlihkeiten für Wertebereihe

und nihtfüreinzelne Werte bestimmtwerden. So ist

P (a ≤ x ≤ b) = Z b

a

w(x) dx

^(2.3.24)

die Wahrsheinlihkeit,

x

^zwishen

a

^und

b

^anzutreen.

2.3.2 Zusammenhang mit physikalishen Messprozessen

Die Shwankungen, denen die Ergebnisse einer physikalishen Messung unterliegen, werden

(wie in Abshnitt 2.1 beshrieben) durh Zufallsprozesse verursaht. In der Regel ist die

Wahrsheinlihkeitsverteilung, der diese Zufallsprozesse unterliegen, unbekannt. Es gibt je-

doh einen wihtigen Satz in der Statistik, den sogenannten Zentralen Grenzwertsatz. Er

besagt, dassbei einer groÿen Zahlvon identishen, gleihverteilten Zufallsvariablen sihun-

abhängig von der eigentlihen Wahrsheinlihkeitsverteilung immerinsgesamt eine Normal-

verteilungergibt (sieheauh Abs.2.3.3):

(25)

w(x) = 1

√ 2πσ e ⁻ ¹ ² ( ^x−ˆ _σ ^x ) ²

(2.3.25)

Eine solhe Situation ist in der Regel die Messung einer Gröÿe mit einem makroskopishen

(aussehrvielenAtomenundMolekülenaufgebauten)Messgerät.Mankannalsoübliherweise

bei physikalishenMessungen davon ausgehen, dass diese in einer Normalverteilung um den

Mittelwertstreuen.

Die Zufallsgröÿe tritt im Exponenten quadratish auf. Ohne auf eine genauere theoretishe

Begründung eingehenzu wollen,so kann man doh zeigen, dassaus dieser Tatsahe sowohl

das Prinzip der kleinsten Quadrate als auh die quadratishe Addition in der gauÿshen

Fehlerfortpanzung begründetwerdenkönnen.

Berehnung des Fehlers des Mittelwerts

Mit den hiereingeführten Begrienkann man nunden Faktor

1/ √

N

^aus ^Gleihung ^(2.2.7)

erklären.

DieVarianz

σ _x ²

^einer^Messgröÿe

x

^gibt^wie^oben^gesagt^die^mittlerequadratisheAbweihung um den Mittelwert

x ¯

ân,^die ^bei êiner ^Messung^zu êrwarten îst. ^Man ^kann ^sie âus êiner ^ge-

gebenen Wahrsheinlihkeitsverteilungwieoben beshrieben durh

E

(x − x) ¯ ²

bestimmen.

Wir interessieren uns aber nun für den wahren Wert

x ˆ

^und ^wollen ^die ^mittlere ^Abweihung

desMittelwerts

x ¯

^um ^den^wahren ^Wert^ermitteln.

Dazuberehnen wirdenErwartungswertderquadratishen Abweihung desMittelwertsvom

wahren Wert.

E

(¯ x − x) ˆ ²

= E



 1 N

X N

i=1

x i − x ˆ

! 2 



= 1 N ² E



 X N

i=1

x _i − N x ˆ

! 2 

 = 1 N ² E



 X N

i=1

(x _i − x) ˆ

! 2 



= 1 N ² E



 X N

j,k=1

(x _j − x)(x ˆ _k − x) ˆ



 =

|{z}

=0

^für

j 6 =k

1 N ² E



 X N

j=1

(x _j − x) ˆ ²





= 1 N ² E

N σ ²

= σ ²

N

^(2.3.26)

DieTermeindem obigenShrittfür

j 6 = k

^sind

= 0

^,^da^es^sih^hier^umKovarianzenhandelt.

Die Verteilungsfunktionfür alle

x _i

^ist ^natürlih ^dieselbe,^so ^dass ^diese vershwinden. Somit erhältman denZusammenhang

∆¯ x = p

E [(¯ x − x) ˆ ² ] = √ ^σ ^x N = √ ^∆x

N

^aus^Gleihung ^(2.2.7).

(26)

HiersollennoheinigewihtigeWahrsheinlihkeitsverteilungenbesprohenwerden.Alserstes

wirdaufdie kontinuierliheNormalverteilungeingegangen und danahdie diskreteBinomial-

sowie alswihtigerGrenzfalldavon die Poisson-Verteilung vorgestellt.

Die Normalverteilung

Die Normalverteilung bzw. Gauÿ-Verteilung, deren Bedeutung im vorigen Abshnitt erklärt

wurde, istgegeben durh:

w(x) = 1

√ 2πσ e ⁻ ¹ ² ( ^x−ˆ _σ ^x ) ²

(2.3.27)

Der Parameter

σ

^ist ^die Standardabweihung (wie man sie auh aus der Denition (2.3.23) überdie Varianzerhalten würde),

x ˆ

^ist^der Erwartungswertder Verteilung.

σ

^ist ^ein^Maÿ^für

die Breite derVerteilung,die um

x ˆ

^zentriert^ist.^Der ^Vorfaktor^stellt^die^Normierung^siher.

DieStandardabweihung istbeidieserVerteilung so,dass68,2%aller MesswerteimIntervall

[µ − σ, µ + σ]

^liegen.^Es ^gilt^also:

P (µ − σ < x < µ + σ) = Z +σ

− σ

w(x) = 1

√ 2πσ Z +σ

− σ

e ⁻ ¹ ² ( ^x−µ _σ ) ² ∼ = 68, 2%

^(2.3.28)

Ineiner

2σ

^-Umgebung^liegen

95, 5%

^undⁱⁿ^einer

3σ

^-Umgebung^liegen

99, 7%

^der^Messwerte.

DaaufgrunddeszentralenGrenzwertsatzesphysikalisheMessfehlerinderRegelGauÿ-verteilt

sind, istderFehlerdesMittelwertsso zuinterpretieren,dassder wahreWertmit

68, 2%

^-iger

Wahrsheinlihkeit in einer Umgebung von

∆¯ x

^um ^den ^Mittelwert ^liegt, ^mit

95, 5%

^-iger

Wahrsheinlihkeitin einer

2 ∆¯ x

^-Umgebung, ^usw.

Die Binomialverteilung

Häug tritt der Fallauf, dassin einemZufallsexperimentnur zwei Ereignisseauftreten kön-

nen und zwar entweder das eineoderdas andere.Einfahstes Beispielistwohl das Werfen

einerMünze:EntwedermanerhältWappenoderZahl.(DassdieMünzeaufderKantestehen

bleibt, wollenwirhiereinmal ausshlieÿen...:-) )

Solhe Zufallsexperimente heiÿen binomialverteilt. Da sih beide Ereignisse ausshlieÿen,

spriht man neben der Wahrsheinlihkeit

p

^für ^das ^Eintreen ^des Ereignisses A von der Gegenwahrsheinlihkeit

q

^für^das ^Eintreen^von ^Ereignis^B. ^Wegen ^(2.3.5)^gilt

q = 1 − p

^(2.3.29)

Die Wahrsheinlihkeit

P

^bei

N

^-faher Durhführung eines Zufallsexperiments

k

^-mal ^das

Ereignis Azu erhaltenist gegeben durhdie Binomialverteilung:

(27)

- 2 0 2 4 x 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

wHxL

Abbildung 2.3.2: Die Normalverteilung mit

x ˆ = 0, σ = 0, 7

(durhgezogene Linie) und

ˆ

x = 1, σ = 1, 2

(gestrihelte Linie).

P _k ^N = N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k

^(2.3.30)

Die Binomialkoezienten sindgegeben durh

N k

:= N !

k!(N − k)!

^(2.3.31)

Erwartungswert undVarianz der Binomialverteilung

Wirwollen nunden Erwartungswert der Binomialverteilung(2.3.30) bestimmen:

E(k) = X N

k=0

kP _k ^N = X N

k=0

k N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k

^(2.3.32)

Nun bedienen wiruns einesTriks: Wirverwenden einfah, dass

∂

∂p p ^k = kp ^k ⁻ ¹

^ist.

(28)

X N

k=0

k N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k = X N

k=0

p ∂

∂p N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k

^(2.3.33)

Wirziehen nun

p _∂p ^∂

^vor^das Summationszeihen:

X N

k=0

p ∂

∂p N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k = p ∂

∂p X N

k=0

N k

p ^k q ^N ⁻ ^k

^(2.3.34)

Nun verwenden wirden BinomishenSatz, wie eraus derAnalysisbekannt ist:

(p + q) ^N = X N

k=0

N k

p ^k q ^N ⁻ ^k

^(2.3.35)

Demnah könnenwiralso shreiben:

p ∂

∂p X N

k=0

N k

p ^k q ^N ⁻ ^k = p ∂

∂p (p + q) ^N = N p(p + q) ^N ⁻ ¹

^(2.3.36)

Mit (2.3.29)folgt

(p + q) ^N ⁻ ¹ = 1

^und ^wir^erhalten^shlieÿlih

E(k) = N · p

^(2.3.37)

Fürdie BestimmungderVarianzbenötigen wirnoh

E(k ² )

^.

E ² (k)

^haben ^wir^mit^(2.3.37)^ja

imGrunde genommenshon berehnet, esist

E ² (k) = N ² p ²

^(2.3.38)

Zur Bestimmung von

E(k ² )

^bedienen ^wir ^uns ^wieder ^des Ableitungstriks. Wir müssen diesmal allerdingszweimalableiten, umstatt

k

^imSummenzeihen

k ²

^zu ^erhalten:

E(k ² ) = X N

k=0

k ² N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k = X N

k=0

p ∂

∂p p ∂

∂p N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k

^(2.3.39)

Wirziehen die Ableitungenwieder aus derSumme und verwenden (2.3.35) :

X N

k=0

p ∂

∂p p ∂

∂p N

k

p ^k q ^N ⁻ ^k =

p ∂

∂p p ∂

∂p

(p + q) ^N

^(2.3.40)

Wirführen dieDierentiationenaus und erhalten:

(29)

p _∂p ^∂ p _∂p ^∂

(p + q) ^N

=

p _∂p ^∂

N p(p + q) ^N ⁻ ¹

= N p

(p + q) ^N ⁻ ¹ + p(N − 1)(p + q) ^N ⁻ ²

= N p [1 + p(N − 1)]

= N p + N ² p ² − N p ²

^(2.3.41)

Damit erhaltenwir:

V (k) = E(k ² ) − E ² (k) = N p + N ² p ² − N p ² − N ² p ² = N p − N p ² = N p(1 − p)

^(2.3.42)

Mit

1 − p = q

^folgt^dann ^die ^gesuhte ^Varianz^der Binomialverteilung:

V (k) = N · p · q

^(2.3.43)

Die Poisson-Verteilung

Die Binomialverteilung wird für groÿe

N

^sehr ûnhandlih ^(Versuhen ^Sie êinmal, ^100! âuf

IhremTashenrehnerauszuführen!).Gilt

N → ∞

^und

p → 0

^,^so^verwendet^man^die^Poisson-

Verteilung:

P (k) = µ ^k

k! e ⁻ ^µ

^(2.3.44)

Radioaktive Zerfälle sind beispielsweise Poisson-verteilt (Die Anzahl der Kerne

N

^ist ^sehr

hoh, die Wahrsheinlihkeitfür einenZerfall aber meistsehr, sehrgering). Ist

N → ∞

^und

p → 0

^niht^mehr ^gegeben,

N

^aber ^weiterhin ^sehr ^groÿ, ^so ^lässt ^sih^die Binomialverteilung durheine Gauÿ-Verteilungnähern.

Für denErwartungswert derPoisson-Verteilungkann manzeigen:

k ˆ = X ∞

k=0

k µ ^k

k! e ⁻ ^µ = µ

^(2.3.45)

sowie fürdie Varianz:

σ ² = X ∞

k=0

(k − µ) ² µ ^k

k! e ⁻ ^µ = µ

^(2.3.46)

Bei derPoisson-Verteilungsind alsoErwartungswertund Standardabweihung identish.

(30)

0 5 10 15 20 25 30 k 0.02

0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

pHkL

Abbildung 2.3.3:Die Poisson-Verteilung für

µ = 10

^(shwarz) ^und

µ = 20

^(grau).

(31)

3.1 Einführung

In diesem Versuh sollendie Widerstände vershiedener passiver Bauelemente mit Hilfeder

Wheatstoneshen Brükenshaltung bestimmt werden. Dies ist ein Alternativverfahren zur

BestimmungdesWiderstandesdirektüberdasOhmsheGesetz

U = R · I

^,^was^eine^Messung

von Spannung undStromstärke erfordern würde.

Der Versuh setztsih auszwei Teilenzusammen:

•

Îmêrsten^Teil^des^Versuhs^sollen^mit^HilfeêinerWheatstoneshenMessbrükefolgende unbekannten Gröÿengemessenwerden:

der Widerstandeinesohmshen Widerstandes

der Wehelstromwiderstand(auh kapazitiverWiderstand

oderBlindwiderstand) einesKondensators

•

^Im^zweiten^Teil^wird^dieTemperaturabhängigkeitvershiedenerLeitertypenuntersuht.

Anhand der Leitfähigkeit bei vershiedenen Temperaturen sollen folgende Leitertypen

identiziertwerden:

metallisherLeiter

Halbleiter

temperaturunabhängiger Leiter

3.2 Physikalishe Grundlagen

Hier sollkurzauf diefür denVersuh notwendigen Grundlagen eingegangen werden.Es wird

vorausgesetzt, dassderLeser bereitsmitfolgenden Begrienvertrautist:

•

^Spannung

•

Stromstärke

•

^ohmsher Widerstand/ohmshesGesetz

(32)

Der WiderstandR istabhängig von derGeometriedesLeiters undseinen

Materialeigenshaften.Esergibt sih:

R = ̺ · l

A

^(3.2.1)

Der Widerstand

R

^istproportionalzurLänge

l

^und^umgekehrtproportionalzumQuershnitt

A

^. ^DieMaterialkonstante

ρ

^heiÿt ^spezisher Widerstand.

3.2.2 Kirhhoshe Regeln

In einemabgeshlossenenSystembleibtdie Ladungerhalten.Daraus folgt,dassStrom,wel-

herineinenPunkthineinieÿt,dortnihtvershwindenkann.Ermusssomitwiederabieÿen.

Es folgtdie Knotenregel:

In einem Knoten ist die Summe der zuieÿenden Ströme gleih der Summe der

abieÿenden Ströme.

I ₁

I ₂

I ₃ I ₄ I ₅ I ₆

Abbildung 3.2.1: ZurKnotenregel: Es gilt hier

P I _k = 0

Aus der Energieerhaltungfür daselektrostatisheFeld folgtautomatish

die Mashenregel. Sie gilt, solange kein Austaush mit anderen Energieformen stattndet,

z.B. durh dieErzeugung eineszeitlihverändertenMagnetfeldes.Sie lautet:

IneinemgeshlossenenTeilkreis(Mashe)istdieSumme derauftretendenSpan-

nungen immernull.

(33)

+ -

Abbildung 3.2.2:Zur Mashenregel: Fürjede Mashe gilt

P U _k = 0

3.2.3 Wehselstromwiderstände

Die Kirhhoshen Gesetze gelten niht nur für ohmshe Widerstände, sondern auh für

kapazitive (z.B. Kondensator) und induktive (z.B. Spule) Widerstände. Bei einer Wehsel-

spannung miteinerKreisfrequenz

ω

^gilt^nun:

•

^OhmsherWiderstand:

R = ^U _I

Spannung und Stromstärkesind inPhase.

•

Kapazitiver Widerstand:

X _C = ^U _I ⇒ X _C = _ωC ⁻ ⁱ

DieSpannung hängtder Stromstärke um

90 ^◦

^hinterher.

Man beahtedabei,dasseineGleihspannungdem Grenzfall

ω → 0

^entspriht, ^dh.^ein ^kapa-

zitiver Widerstandleitetkeinen Strommehr(sein Widerstandwirdunendlih).

Bei kapazitiven Widerständen ist der ohmshe Widerstand vernahlässigbar klein. Da eine

Spule jedoh aus einem aufgewikelten Draht besteht, hat sie einen niht zu vernahlässi-

genden ohmshenWiderstand. Man kann siheine reale Spuleaus einer idealenSpule (rein

induktiverWiderstand) undeinemohmshen Widerstandzusammengesetzt vorstellen.

3.2.4 Zeigerdiagramme

Da bei kapazitiven Widerständen Stromstärke und Spannung niht in Phase laufen, ist auf

den erstenBlikdie Phasendierenzvon Wehselstromkreisenmitvershiedenen Widerstän-

den nihtersihtlih.ZurVerdeutlihungbenutztmanZeigerdiagramme.

Auf der reellen Ahse werden Strom und ohmsher Widerstand eingezeihnet, auf der ima-

ginären Ahseentsprehend ihrerVorzeihender kapazitive Widerstand. DieTeilspannungen

in einemNetzwerk von Widerständen werden vektorielladdiert. Esergibt sihdie Spannung

U ges

^,^die ^um ^den^Winkel

ϕ

^von^der ^Phase^des^Stromes ^abweiht.

(34)

3.2.5 Typen von Leitern

Metallisher Leiter

Die Ladungsträger ineinem metallishenLeitersind Elektronen,diese bendensih in stän-

diger thermisher Bewegung. Da der Leiternah auÿen jedoh elektrishneutral ist,giltfür

denDurhshnittderthermishenGeshwindigkeiten

v _th

âllerÊlektronenîm^Leiter

~v _th = ~ 0

^.

Wird nun an den Leiterein äuÿeres elektrishes Feld angelegt, erfahren die Elektronen eine

Kraft,die siein eineRihtung beshleunigt.Jetztkönnensihdie ElektronenineinemLeiter

jedoh niht freibewegen, sondern stoÿen ständigmit ihren Rümpfen zusammen. DieElek-

tronen erfahren eineArt Reibungskraft, die dafür sorgt, dasssie nur bisauf einebestimmte

Geshwindigkeit,dieDriftgeshwindigkeit

v _d

^,beshleunigtwerden. JegröÿerdieTemperatur

T

^des^Leiters, ^desto ^gröÿer ^die ^thermishe^Bewegung ^der^Atomrümpfe ^sowie ^der ^Elektronen

unddestowahrsheinlihereinZusammenstoÿ.Esistdaherfestzuhalten:MitsteigenderTem-

peratur nimmtder WiderstandeinesmetallishenLeiterszu.

Für den spezishen Widerstand eines metallishenLeitersgilt (wobei

C ₁

^eine Materialkon- stante ist):

̺ = C ₁ · T

^(3.2.2)

Auf die Herleitung dieserBeziehung soll an dieser Stelle verzihtet werden. Eine detaillierte

Herleitung sollte sihin Lehrbühern über Elektrodynamik unter dem Stihwort metallishe

Leiter ndenlassen(z.BDemtröder,Experimentalphysik2,2.Auage,S.43f.undS.47.

oderOtten, Repetitoriumder Experimentalphysik ,S.498.).

Bemerkung:

Jenah ReinheitsgradistdieseAbhängigkeitnihtreinlinearundeskannpassieren, dassder

(35)

dieseBeziehungnurfüreineneingeshränktenTemperaturbereih,beisehrniedrigenundsehr

hohenTemperaturentretenandereEekteauf,z.BSupraleitungbeiniedrigenTemperaturen.

Halbleiter

Mit Hilfedes mehanishen Modells, das für die metallishen Leiterverwendet wurde, kann

mandieEekte,dieinHalbleiternauftreten,nihtbeshreiben.Hiermussmandassog.Bän-

dermodell heranziehen. Im Bändermodell benden sih Elektronen entweder im Leiterband,

wo sie zum Strombeitragen können, oder imValenzband, wo sie dies niht können. Bei ei-

nem Leitersind Leiterband und Valenzband direkt beieinander, bei einem Isolatorsehr weit

voneinander getrennt.Bei einemHalbleiterjedoh, istdie Lüke (Gap) gerade so groÿ, dass

ElektronenvomValenz-insLeiterbandspringenkönnen.Dazugenügtes,dieTemperaturdes

Halbleiters zu erhöhenund so thermisheEnergiehinzuzufügen. Wirhaltenfest: Der Wider-

stand einesHalbleiters nimmt mitsteigender Temperatur ab.Die Gröÿe der Lüke,genannt

Gapbreite

E G

^,^kann ^je^nah^Halbleiter ^bis^zu

3

^eV ^betragen.

Abbildung 3.2.4:Bändermodell fürLeiter, Halbleiter undIsolator.

Für denWiderstand einesHalbleiters inAbhängigkeit von

T

^gilt:

R = C ₂ · exp

E _G 2k B · T

(3.2.3)

Dabei ist

k _B

^die Boltzmann-Konstante,

T

^die ^Temperatur ⁱⁿ ^Kelvin ^und

C ₂

^eine ^Material-

konstante. Wir verzihten hier wieder auf eine ausführlihe Herleitung (sie ist z.B in Vogel,

GerthsenPhysik 20.Auage, S.401zu nden).

Exeiee

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

(1.)

(2.)

x

N

x i

i = 1 . . . , N

x ˆ

ǫ i

x i = ˆ x + ǫ i

x ¯

x i

X N

i=1

ǫ i 2 = X N

i=1

(x i − x) ¯ 2 ! =

x ¯ X N

i=1

ǫ i 2

!

=

x ¯ X N

i=1

(x i − x) ¯ 2 ! = 0

⇒ ( − 2) X N

i=1

(x i − x) = 0 ¯

⇒ X N

i=1

(x i − x) = ¯

X N

i=1

x i

!

− N ¯ x = 0

⇒ x ¯ = 1 N

X N

i=1

x i

x ˆ

¯ x := 1

N X N

i=1

x i

V (x) := 1 N − 1

X N

i=1

(x i − x) ¯ 2

x ¯

N − 1

N

N

N = 1

∆x = p

V (x) = v u u t 1

N − 1 X N

i=1

(x i − x) ¯ 2

∆¯ x

∆¯ x = ∆x

√ N

∆¯ x = v u u t 1

N (N − 1) X N

i=1

Exeiee

x _i

ǫ _i

x _i = ˆ x + ǫ _i

x _i

ǫ _i ² = X N

(x i − x) ¯ ^{2 !} =

ǫ _i ²

(x _i − x) ¯ ^{2 !} = 0

(x _i − x) = 0 ¯

(x _i − x) = ¯

x _i

x _i

(x i − x) ¯ ²

(x _i − x) ¯ ²

(x _i − x) ¯ ²

w _i · x _i P N i=1

w _i

w _i

x _i

w ₁ = 0, 2

w ₂ = 0, 5

w ₃ = 0, 3

w _i = 1

(∆x i ) ²

1 (∆¯ x _gew. ) ² =

w _i = X N

(∆x _i ) ²

y = y(x _i )

(∆y) ² = X N

∂x _i 2

(∆x _i ) ²

f (x, y) = x ² − 2 y

(∆x) ² +

(∆y) ²

(2 x) ² (∆x) ² + ( − 2) ² (∆y) ²

4 x ² (∆x) ² + 4 (∆y) ²

x ² (∆x) ² + (∆y) ²

x _i

= ^∆y _y

z(x, y) = x · y ²