ahgag30

(1)

EinemathematisheZeitshrift

fürShüler(innen)undLehrer(innen)

1980gegründetvonMartinMettler

seit2001herausgegebenvom

InstitutfürMathematikander

JohannesGutenberg-UniversitätzuMainz

(2)

DieneuenAufgaben wartenaufLösungen.NurMut,auhwennDuinMathekeine

Eins hast!DieAufgabensindsogestaltet,dassDuzurLösungnihtunbedingtden

Mathe-StoderShulebrauhst.VielmehrwirstDuvielmathematisheFantasieund

selbstständigesDenkenbrauhen,aberauhZähigkeit,WillenundAusdauer.

Wihtig:AuhwernureineAufgabeoderTeileeinzelnerAufgabenlösenkann,sollte

teilnehmen;derGewinneinesPreisesistdennohmöglih.DenktbeiEurenLösungen

daran,auhdenLösungsweganzugeben!

FürShüler/innenderKlassen57sindinersterLiniedieMathespielereienvorgese-

hen;auhShüler/innenderKlassen8und9dürfenhiermitmahen,abernuraufder

Basisder halbenPunktzahl.Alle Shüler,insbesondereaberjeneder Klassen 8-13,

könnenLösungen(mitLösungsweg!)zudenNeuenAufgaben,abgeben.Shüler/innen

derKlassen 57 erhaltenhierbeidie1,5-fahe Punktzahl.Punkte aus denRubriken

Computer-Fan,Mathismahen mathematisheEntdekungen undWerforshtmit?

werdenbeiderVergabedesForsherpreiseszugrundegelegt.(Beiträgezuvershiede-

nenRubrikenbitteaufvershiedenenBlättern.)

Abgabe-(Einsende-)TerminfürLösungenistder

15.05.2010.

ZushriftenbitteanfolgendeAnshrift:

JohannesGutenbergUniversität

InstitutfürMathematik

MONOID-Redaktion

55099Mainz

Tel.:06131/3926107

Fax:06131/3924389

E-Mail:monoidmathematik.uni-mainz.de

An folgendenShulengibtesbetreuendeLehrer,denenIhrEure Lösungenabgeben

könnt: am Elisabeth-Langgässer-GymnasiumAlzey bei Herrn Kraft, an der Liht-

bergshule Eiterfeld bei Herrn Jakob, am Karolinen-Gymnasium Frankenthal bei

FrauSilkeShneider,anderF-J-L-GesamtshuleHadamarbeiFrauNiederle,ander

Alfred-Delp-ShuleHargesheimbeiHerrnGruner,amFrauenlob-GymnasiumMainz

beiHerrnMattheis,inMannheimbeiHerrnWittekindt,amGymnasiumMarienberg

NeussbeiFrauLangkamp,amGymnasiumOberurselbeiFrauBeitlih,amLeibniz-

Gymnasium Östringen bei Herrn Ronellentsh, am Gymnasium Nonnenwerth in

RemagenbeiHerrnMeixnerundamWilhelm-Erb-GymnasiumWinnweilerbeiHerrn

Kuntz.

DieNamenaller,dierihtigeLösungeneingereihthaben,werden inMONOIDinder

RubrikderLöserundaufderMONOID-HomepageimInternetersheinen.

Wir bitten auh um neue Aufgaben, die Du selbst erstellt hast, um sie zu veröf-

fentlihen.DieseAufgabensollenabernihtausBühernoderAufgabensammlungen

entnommensein,sondern DeinereigenenFantasieentspringen.Würde esDihniht

einmalreizen,eineAufgabezustellen,derenLösungvorerstnurDukennst?

Am Jahresende werden rund50 Preise andie eiÿigstenMitarbeitervergeben. Seit

1993gibtesnoheinenbesonderenPreis: das Goldene M.

AuÿerderMedaillemitdemGoldenenMgibteseinenbeahtlihen

GeldbetragfürdiebesteMitarbeitbeiMONOID,nämlih:Lösungen

zudenNeuen Aufgaben unddenMathespielereien,zuEntdekun-

gen,WerforshtmitundComputerfan,Artikelshreiben,Erstellen

vonneuenAufgaben,et.

UndnunwünshenwirEuhvielErfolgbeiEurerMitarbeit! DieRedaktion

(3)

vonStephan Rosebrok

Wirmöhtenhier eineinteressanteZahlenfolgebetrahten,die1906 vondem

norwegishen Mathematiker Axel Thue zuerst beshrieben wurde. Die Folge

wurde später oft wiederentdekt.Bekannt wurde sie durhMorse,aber sogar

der Shahspieler Euwe nutzte sie 1929 um zu zeigen, dass mehrfahe Zug-

wiederholungenim Shahspielvermiedenwerdenkönnenund unendlihlange

Shahspiele möglihsind. Im Internet (http://reglos.de/musinum/)gibt

essogareinFreeware-Programm,dasdieseFolgenutzt,umMusikzuerzeugen.

Die Zahlenfolge bestehtnur ausNullen und Einsenund wird folgendermaÿen

erzeugt:Wirbeginnenmiteiner0:

T 0 = 0

^.^Dann^ersetzen^wir^die^0,^die^dasteht,

durheine1und shreiben dasErgebnisdahinter:

T 1 = 0 1

^.^Jetzt^ersetze^jede

0 durh eine 1und jede 1 durh eine 0 und shreibe das Ergebnis dahinter:

T 2 = 01 10

^.Êrsetze ^wieder ^jede ⁰^durh êine ¹ûnd ^jede ¹^durh êine ⁰ûnd

shreibe das Ergebnis dahinter:

T 3 = 0110 1001

^,

T 4 = 01101001 10010110

und

T 5 = 0110100110010110 1001011001101001

^.^Wir ^fügen ^also ^immer ^das

Komplement

T i

^von

T i

^an

T i

^an,^um

T i+1

^zu^erhalten,^das^heiÿt

T i+1 = T i T i .

Iteriertmannoheinmal,sofolgtzumBeispiel:

(1)

T i+2 = T i T i T i T i .

Bildet man

T 6 , T 7 , ...

^, êrhält^man êine^Folge ^von ûnendlih ^vielen^Nullen ûnd

Einsen, die Morse-Thue-Folge:

011010011001011010010110011010011001011 0011010010110100110010110 ...

Wirnennensie

T

^.^Man^sieht,^dass

T 2

^und

T 4

^(allgemein

T 2n

⁾^Palindrome^sind,

dasheiÿtdieFolgeistvonvorneundvonhintengelesendieselbe(wiebeidem

Wort Otto).

Wir nennen die

i

^-te ^Zier ^der Morse-Thue-Folge

x _i

^, ^wobei ^wir ^mit ^der ^0-ten

Zier beginnen,also

T = x 0 x 1 x 2 x 3 ...

^und:

x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, ...

Mankommtbeispielsweisevon

T 3

^zu

T 4

^,^indem^man

(2)

x ₈ = 1 − x ₀ , x ₉ = 1 − x ₁ , ... , x ₁₅ = 1 − x ₇

rehnet.

Esgibt aberauheineganzandereMethode,

T

^zu^erzeugen:^Starte ^mit^einer

0.Jetztersetzejede0,diedasteht,durh01(undjede1durh10).Duerhältst

dann01.Wiederersetzejede0,diedasteht,durh01undjede1durh10und

duerhältst0110.ImnähstenShritterhaltenwir

01 10 10 01

^.^Mahen^wir^das

immersoweiter,soentstehtdieselbeFolgewieoben.

WeilwirdieseOperation späternoh brauhen,nennenwir sie

S

^.

S

^ersetzt ⁱⁿ

(4)

01.Alsoetwa

S (0110) = 01 10 10 01

^oder

S(1110) = 10 10 10 01

^.^Wenden^wir

S

âuf ^die ^gesamte, ûnendlih ^lange,^Morse-Thue^Folge ân, ^dann êrhalten ^wir

dieselbeFolgewieder,dasheiÿt

S (T ) = T

^.^Auÿerdem^gilt

S (T n ) = T n+1

^.

Viel verblüender ist aber, dass die Morse-Thue-Folge selbstähnlih ist, das

heiÿtstreihenwirjedezweiteZier,soerhaltenwirdieselbeFolge:

0 6 11 6 01 6 00 6 11 6 00 6 10 6 11 6 01 6 00 6 10 6 11 6 00 6 11 6 01 6 00 6 1 ... = 0110100110010110 ...

Esistnihtsoshwer,zuverstehen,worandasliegt:Wirwissen,esgilt

S (T ) = T

^. ^Jetzt ^greifen ^wirêinmal êin^beliebiges Êlement^heraus, ^zum^Beispiel

x 7 = 1

^. ^Wenn ^wir

S

^auf ^die Morse-Thue-Folge anwenden, wird diese 1 durh 10 ersetztunddavorstehendann14neueZiern

x 0 , ... , x 13

^.^Also^ist

x 7 = x 14

^.^Wir

veranshaulihendas:

T = 0 1 1 0 1 0 0 1 ...

S (T ) = 0110100110010110...

Dasletzte Element der oberen Zeileist

x 7

^,^das ^vorletzte^der ^unteren^Zeile^ist

x 14

^.^Das^stimmt^aber^natürlih^niht^nur^für⁷^und¹⁴^sondern, ^wie^wir^sehen,

ist die Zier in der oberen Reihe immer gleihder Zier, die darunter steht.

Andersgesagt:

(3)

x n = x 2n

für jedeZahl

n ≥ 0

^. ^Die^Zierânêinerûngeraden^Stelle^der ûnteren^Reiheîst

immergeradedasKomplementder Zierdavor,also

(4)

x 2n+1 = 1 − x 2n

^.

Aber

x n = x 2n

^heiÿt^gerade,^dass,^wenn ^wir^jede ^zweite ^Zier ^streihen, ^dann

dieFolgewiederentsteht.WirhabenalsodieSelbstähnlihkeitvon

T

^gezeigt.

EineFolge,beider sih einebestimmteFolge von Ziernimmer wiederholen,

heiÿt periodish. Zum Beispielist die Folge

001001001001001001001 ...

^peri-

odishmitPeriodenlänge3,weil001immerwiedervorkommtund001dieLänge

3hat. Die Folge

T

^hat ^keinerlei^Periode.^Das^sieht ^man^so: ^Wenn ^eine^Folge

a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ...

^periodish^ist^mitPeriodenlänge

n + 1

^, ^dann^muss

a _n = a 2n+1

gelten.Wegender Formeln (3)und (4) ist

x 2n+1

^aber ^immer^vershieden ^von

x _n

^.^Damit^hat

T

^für^kein

n

^diePeriodenlänge

n + 1

^,^ist^also ^niht^periodish.

Man kann sogar noh mehr beweisen:Nie kommt 000 oder 111vor (das ist

nihtshwer,versuhees). AberauhkeineandereFolgevon Nullenund Ein-

senkommtdreiMalhintereinandervor,z.B.

001 001 001

^kann^niht^vorkommen.

WennIhr dieDarstellungvon Zahlen im Binärsystemkennt, dannkönnen wir

noheinedritteMethodebetrahten,mitderwirdieMorse-Thue-Folgebekom-

menkönnen:WirshreibendienatürlihenZahlenaufsteigendim Binärsystem

untereinander und immer wenn die Anzahl der Einsen, also die Quersumme,

(5)

Zahl Zahlim AnzahlEinsen

dezimal Binärsystem gerade/ungerade

0 0 0

1 1 1

2 10 1

3 11 0

4 100 1

5 101 0

6 110 0

7 111 1

8 1000 1

9 1001 0

10 1010 0

... ... ...

Wirsehen,diedritteSpalteergibtwiederdieFolge

T

^.^Das^liegt^daran,^dass^wir

alleBinärzahlenmitgenau

n + 1

^Ziern^aus^allenBinärzahlenmithöhstens

n

Ziernbekommen,indemwireine1undmögliherweiseeinpaarNullendavor

shreiben.WirbetrahtendasamBeispiel

n = 3

^:

höhstens alle

3-stelligeZahl 4-stelligenZahlen

0 1000

1 1001

10 1010

11 1011

100 1100

101 1101

110 1110

111 1111

Die rehte Spalte hat immer eine 1 mehr als die zugehörige Zahl in der lin-

ken Spalte und hat also eine 1 (ungerade viele Einser) da, wo vorne eine 0

(gerade viele Einser) steht und umgekehrt. Deswegen gilt

x 8 = 1 − x 0 , x 9 = 1 − x ₁ , ... , x ₁₅ = 1 − x ₇ .

^Das^entspriht ^gerade ^den ^Gleihungen ^(2),also ^der

erstenMethode zurErzeugungvon

T

^.

DieFormeln(3)und(4)erlaubenuns,in einemCAS

∗

sehr einfahdieMorse-

Thue-Folgezuberehnen.HierzumBeispielin Mathematia:

∗

ComputerAlgebraSystem

(6)

x[n_℄:= x[n/2℄ /; EvenQ[n℄;

x[n_℄:= 1-x[(n-1)/2℄;

Die zweite Zeilebesagt,dass manbei geradem

n

^den^Wert ^von

x n

^bekommt,

indemman

x ⁿ ₂

^nimmt,ûnd^die^dritte^Zeileêrhält^manâus

x 2n+1 = 1 − x n

^. ^Sie

wirddannnurnohfür ungerade

n

^benutzt.

EineletzteinteressanteEigenshaftderMorse-Thue-Folge,diewirhierbehan-

deln wollen, ist ihr Zusammenhang mit Fraktalen. Einen solhenZusammen-

hanghabenwirobenshongesehen,dieMorse-Thue-Folgeistjaselbstähnlih.

Manweiÿaberauÿerdem,dassdieMorse-Thue-Folge,passendinterpretiert,ei-

ne Näherungan dieKohkurve beshreibt(InformationenüberdieKohkurve

ndestduimInternet).IhmöhtehiereineMethodebeshreiben,dieausder

Morse-Thue-Folgedirektdie

n

^-ten^Näherungen^an^die^Koh-Kurve^gemäÿ^geo-

metrisherKonstruktionerzeugt(HartmutWolf,privateMitteilung).

Manzeihnenah folgenderVorshriftbeginnendmit

i = 1

^:

1. geheeinenShrittnahvorne

2. a.)ist

x i 6 = x i − 1

^so^drehe^deine^Rihtung^um

60 ^◦

^gegen^denUhrzeigersinn b.)ist

x i = x i − 1

^so^drehe^deine^Rihtung^um

120 ^◦

^im Uhrzeigersinn

3. BeginnewiedermitShritt1

WennDu dasfür die ersten 4Glieder der Morse-Thue-Folge mahst,also für

0110,erhältstdudieAbbildung.

DiebekannteersteNäherungandieKohkurve.

WennmandieZeihenvorshriftfürdieersten

4 ^k

^Glieder^derMorse-Thue-Folge befolgt,dannerhältmanden

k

^-tenIterationsshrittandieKohkurve.Dasliegt an der Gleihung (1), wieman sihmit etwas Arbeitüberlegen kann.Da wir

diePunktebereitsinMathematiahaben,lassenwirMathematiaauhgleih

dieKurvezeihnen:

dMat = (1/2) * {{1, -Sqrt[3℄}, {Sqrt[3℄, 1}};

drehelinks[l_℄ := dMat.l

(7)

p={0.0,0.0}; v={1.0,0.0}; koh={p}; k=8;

For[i = 1, i <= 4^k, i++,

koh={koh, p = p + v};

If[x[i℄ == x[i - 1℄, v = dreherehts[v℄, v = drehelinks[v℄℄℄;

koh = Partition[Flatten[koh℄, 2℄;

drehelinksdrehtdieRihtungdesVektorsvum

60 ^◦

^gegen^denUhrzeigersinn.

Hier brauht man ein bisshen lineare Algebra. Man wendet die Drehmatrix

dMat alslineare Abbildung an und dreherehts um

120 ^◦

^im Uhrzeigersinn.

Wirstartenim Ursprungpin Rihtungv.DasProgrammwertetdieersten

4 ⁸

ElementederMorse-Thue-Folgeaus.DerBefehl

Show[Graphis[Line[koh℄℄, AspetRatio -> Automati℄;

erzeugtdanndieAbbildung.

ManerhältdieersteAbbildungmitdemselbenCode,manmussnurk=8;durh

k=1;ersetzenundfür andere

k

^-Werteêrhält^manâlleânderen^Stufen.

Die besondere Aufgabe

Der Bretterboden

vonWolfgang J. Bühler

000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111

00000 00000 00000 11111 11111 11111 00 00 00 00

11 11 11 11 00000 00000 11111 11111

0000 0000 0000 1111 1111 00 1111

00 11 11

0 0 0 1 1 1

d

Robert hat auf dem Dahboden ein Paket

Bretter derBreite

d

^gefunden ^und^will^damit

den Boden eines rehtekigen Zimmers mit

Seiten

a

^und

b

^belegen.^Dabei^sollen^die^Seiten

jedeseinzelnenBrettesparallelzudenReht-

eksseiten liegen. DieBretter dürfen beliebig

gekürzt werden, Längsshnitte sind niht er-

laubt. Ein mögliher Anfangwäre rehts ab-

gebildet.

Lässtsihdasimmersomahen,dassdasZimmerohneRestbedektwird?

Lösung:

Diesistnurdannmöglih,wenn

a

^oder

b

^einganzzahligesVielfahesvon

d

^ist.

(8)

beshreiben,welhessihervielevonEuhkennen.VoneinemShahbrettseien

zweidiagonalgegenüberliegendeFelderentfernt.LässtsihderRestdannmit

31

Dominosteinen(derGröÿevonjeweilszweiFeldern)restlosüberdeken?Diesist

deshalbniht möglih,weiljederDominosteinzwei FeldervershiedenerFarbe

hat,dieentferntenFelderabergleihfarbigsind.Wirmüsstenalso30weiÿeund

32shwarzeoder32weiÿeund30shwarzeFelderüberdeken.

DieErinnerunghieranbrahtedenAutorauffolgendeLösungdesBretterboden-

Problems: Ist

a

^oder

b

^ein ganzzahligesVielfahesvon

d

^, ^so ^ist^die ^Belegung

einfah möglih.Wenn niht, so denken wiruns den Boden zunähstshah-

brettartig gemustert, mit Feldern der Seitenlänge

d

2

^beginnend ⁱⁿ ^der ^linken

unterenEkemiteinemweiÿenFeld.AmrehtenundamoberenRand gibtes

dannim AllgemeinenkeinevollständigenQuadrate.

A R

B

Wirgehennurbiszumletztenvollständigenshwar-

zenFeldnahrehtsundweiÿenFeldnahobenund

sehen,dassdasinnereRehtekunddieRandstreifen

A

^und

B

^ohne ^das^Rehtek

R

^gleih^viel ^weiÿ ^wie

shwarzhaben.

Für

R

^gibt^es ^folgendeMöglihkeiten:

a)

u

v u < ^d ₂ , v < ^d ₂ R

^ganz^weiÿ

b)

0 0 0 0 1 1 1 1 u

v _d

2 ≤ u < d, v ≤ ^d 2 R

^mehr^weiÿ^als^shwarz

)

0000 0000 1111 1111

u

v u ≤ ^d 2 , ^d ₂ ≤ v < d R

^mehr^weiÿ^als^shwarz

d)

0 0 0 0 1 1 1 1 000 000 111 111

v

u

d

2 ≤ u, v < d R

^ebenfalls^mehr ^weiÿ

LegenwirabereinBrettderBreite

d

^auf ^dasShahbrettmuster,soüberdekt esimmergleihvielshwarzewieweiÿeFlähen.WirkönnenalsodasRehtek

sonihtüberdeken.

(9)

Lesetipps zur Mathematik

von Martin Mattheis

Vogt,Ulrih: Zahlen,bitte! Ein mathematishesBilderbuh

DasmathematisheBilderbuhZahlen,bitte!istinZusammenarbeitmitdem

HeinzNixdorfMuseumsForumPaderborn,demgröÿtenComputermuseumder

Welt,entstandenundfungiertealsBegleitbuhfürdieimJahrderMathematik

dort präsentierte Sonderausstellungmitdem Titel Zahlen,bitte!Diewunder-

bareWeltvonnullbisunendlih.

DasvorliegendeBuh istin seinerAufmahungetwasvölligUngewohntesund

bestiht auf seinen 256 Seiten vor allem durh die mehr als 1000 Fotos mit

Zahlen in allen Lebenslagen. So ndet man niht nur Bilder zu Zahlen und

demRehnenansih,sondernauhZahlentiere,ZahlenaufHausnummern,im

Sport,in derMode,inderKunst,und, und,und.

Dabei beshränktsihder Fotografund langjährigeMathematik-und Kunst-

lehrer Ulrih Vogt niht nur darauf, Bilder abzudruken, sondern ergänzt die

Fotos durh spannende Hintergrundtexte, bei denen man auh als erfahrener

MathematikerimmerwiederNeuesentdekt.

Auÿer den oben genannten Abbildungen von Zahlen geht es dabei auh um

die klassishen Themen wie Primzahlen, Pi, den Goldenen Shnitt, Fibona-

i und Pentagramme, aber auh umvershiedene Würfel und mathematishe

Zaubereien,diedurhdievielenFotosplastishundanshaulihwerden.Einen

besonderenHöhepunktndetmanmitdemKapitelZahlenmitGeshihte(n)

amEndedesBuhes.DortwerdenFotosderErbauungsdatenvonHäusernaus

den Jahren von 1492bis 2005 mit entsprehenden(mathematik-)historishen

Begebenheitenverknüpft.

Fazit:

Ein wirklihshönes Text- und Bilderbuh,das man immer wieder gerne zur

Hand nehmenundindemmanimmerwiedergerneblätternwird!

Gesamtbeurteilung:sehrgut

,,,

AngabenzumBuh:

Vogt,Ulrih:Zahlen,bitte!-EinmathematishesBilderbuh.UVOVerlag2009,

ISBN978-3-00-027080-2,gebunden256Seiten,27,50

e

ArtdesBuhes: Sah-undBilderbuh

MathematishesNiveau: verständlih

Altersempfehlung: ab11Jahren

(10)

Eine Folgemitganzzahligen Gliedern?

DieZahlenfolge

n 0 , n 1 , n 2 , ...

^seifolgendermaÿendeniert:

n 0 = 1, n 1 = ¹⁺ⁿ ₁ ² ⁰ , n 2 = ¹⁺ⁿ ₂ ² ⁰ ⁺ⁿ ² ¹

undfür

i ≥ 3

^:

n i = ¹⁺ⁿ

2 0 +n ² ₁ +...+n ² _i−1

i

^.

FormalhandeltessihumBruhzahlen;beimAusrehnendererstenzehn(und

mehr) Gliederzeigtsihjedoh,dass diese ganzzahligsind.Untersuhe,ob es

inder FolgewirklihnurganzeZahlengibt. (nahH.F.)

Hinweis:IhrkönntEureLösungenbiszum15.Mai2010einshiken,dennauhhierbeigibt

esPunkte zuergattern.AllerdingsmüsstIhr beiderVerwendungeineseigenenProgramms

diesentsprehend dokumentierendurhEinsendenderProgramm-Datei(amBestengezippt

alsE-Mail-Anhanganmonoidmathematik.uni-main z.d e).

DieLösungenwerdenjeweilsimübernähstenHeftersheinen.

Lösung der Computer-Aufgabe aus MONOID 99

Die Gaukler-Folge

Für einereelle Zahl

r

^bezeihne

⌊ r ⌋

^die ^gröÿte ^ganze^Zahl

≤ r

^. ^Dann ^sei ^für

jedenatürliheZahl

n

^der^Operator

G

^so^deniert:

G : n −→ ^G ⌊ √

n ⌋ ,

^falls

n

^gerade,

⌊ √

n ³ ⌋ ,

^falls

n

^ungerade

.

Eine Folge

n 0 , n 1 , n 2 , ...

^heiÿt Gaukler-Folge (nah ihrem englishen Namen juggler'ssequene),wennsiedurhIterationdesOperators

G

^entsteht,^wenn

also:

n 0 G

−→ n 1 G

−→ n 2 G

−→ ...

^gilt.

Beispiel:

3 −→ ^G 5 −→ ^G 11 −→ ^G 36 −→ ^G 6 −→ ^G 2 −→ ^G 1

^,^kurz:

3 −→ ^G ⁶ 1

^.

Wegen

1 −→ ^G ^m 1

^für

m = 1, 2

^,

3

^,

...

^,^heiÿt

1

^ein^Attraktor ^der Gaukler-Folgemit Startzahl3.

Bestimme die Attraktoren der Gaukler-Folgen, deren Startzahlen

n 0 = 1, 2

^,

3

^,

4, ... , 50

^sind,^sowie^die ^Anzahl^der Iterationen, bis der Attraktorerstmalig erreihtwird.

a) ZuwelherVermutunggelangstdu?

b) Wie verändern sih die Verhältnisse, wenn in der Denition von

G

^die

Rollenvongeradeundungerade vertaushtwerden,wennwiralsoden

Operator

H

^mit

(11)

H : n −→ ^H ⌊ √

n ³ ⌋ ,

^falls

n

^gerade,

⌊ √

n ⌋ ,

^falls

n

^ungerade

,

und seine iterative Wirkung auf die Startzahlen

n 0 = 1, 2

^,

3

^,

4, ... , 50

betrahten? (H.F.)

Ergebnisse:

MitdieserAufgabebefassthabensihLouisRessel(Friedrih-List-Gymnasium,

Reutlingen)undFlorianShweiger(GymnasiumMarktoberdorf).Diesershrieb:

IhhabedieGaukler-FolgemiteinemVisualBasi-Programmuntersuht.Der

einzige Fixpunkt ist oenbar

1

^. ^Bei Startwerten bis

200

^ist

1

^auh ^stets ^der

Attraktor,odereskamzueinemSpeiherüberlauf,weileineZahl

> 2

^Milliarden

vorkam. Die Anzahl der Iterationen, bis es zum Attraktor kam, war immer

wenigerals

30

^.

ÄhnlihesgiltauhfürdievariierteGauklerfolge[Teilb)℄,nurdasseshierzwei

Fixpunkte,

1

^und

2

^,^gibtûnd^beideâuhâlsAttraktoren vorkommen.

Ein shönesBeispielfür eineIterationmitderursprünglihenDenitionist:

175 → 2315 → 111384 → 333 → 6076 → 77 → 675 → 17537 → 2322378 → 1523 → 59436 → 243 → 3787 → 233046 → 482 → 21 → 96 → 9 → 27 → 140 → 11 → 36 → 6 → 2 → 1

^mit

24

^Shritten.

VermutlihsinddiejeweiligenFixpunkteauhimmerdieeinzigenAttraktoren,

es gibtwohlkeinezyklishenAttraktoren.

AuhLouisResselhatmitseinemProgrammin

C#

^für ^alleStartzahlenvon

1

bis

50

^den^Attraktor

1

^für^die^eigentliheGaukler-Folgeausgemaht,wobeidie ZahlderIterationen

14

^nihtübershreitet.

Anmerkung:UnterdenZahlenunterhalb

200

^benötigt^derGaukler-Operatorbei

193

^die^höhste^Zahl^anIterationenbiszumAttraktor

1

^,^nämlih

73

^.

Was wir über den

zehndimensionalen Raum wissen

vonValentin Blomer

Wie vieloder wenigmanmitMathematikamHuthabenmag,fastjedermann

kenntdenSatzvonPythagorasoderhatzumindestshonmalvonihmgehört.

Er klingtja auhso shön grig:

a ² + b ² = c ²

^, ^wobei^man^dabei ^auh^sagen

sollte,was

a

^,

b

^und

c

^sind:^die^Längen^der^beiden^Katheten^und^der^Hypotenuse

ineinemrehtwinklingenDreiek.ZumBeispielsehenwirdamit,dassdieLänge

der StrekezwishenzweigegebenenPunkten

P 1 = (x 1 , y 1 )

^und

P 2 = (x 2 , y 2 )

in der

x, y

^-Ebene^gerade

p

(x 2 − x 1 ) ² + (y 2 − y 1 ) ²

^beträgt.

(12)

Wasist der Abstand zweier Punkte

P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 )

^und

P 2 = (x 2 , y 2 , z 2 )

^im

dreidimensionalenRaum?DazubetrahtenwirdenHilfspunkt

Q = (x 2 , y 2 , z 1 )

^.

In der Ebene

z = z 1

^sehen ^wir, ^dass ^der ^Abstand ^von

P 1

^und

Q

^gerade

p (x 2 − x 1 ) ² + (y 2 − y 1 ) ²

^beträgt. ^Der ^Abstand ^von

Q

^zu

P 2

îst âber ôen-

sihtlih

| z 2 − z 1 |

^. ^Nun ^wenden ^wir ^den ^Satz ^des ^Pythagoras ^auf ^das ^reht-

winklige Dreiek

P 1 QP 2

^an. ^Der ^Abstand ^von

P 1

^zu

P 2

^ist ^dem ^zur ^Folge

p (x 2 − x 1 ) ² + (y 2 − y 1 ) ² + (z 2 − z 1 ) ²

^.

Esistnunklar,wiemanfortfährt. Sindim

n

-dimensionalenRaumzweiPunkte

P 1 = (v 1 , ... , v n )

^und

P 2 = (w 1 , ... , w n )

^gegeben, ^so ^folgt ^durh ^sukzessive

AnwendungdesSatzesvonPythagoras

P 1 P 2 = p

(w 1 − v 1 ) ² + ... + (w n − v n ) ² .

Natürlihtunwirunsfür

n > 3

^mit ^der^Anshauung^hier^ein^bisshen^shwer,

undwieshwerwirunstun,zeigtdasfolgendeBeispiel.

Im

n

-dimensionalen Raum betrahten wireinen Hyperwürfel der Kan-

tenlänge 4, dessen Mittelpunkt im

Ursprung des Koordinatensystems

liegt. Der Hyperwürfel hat also die

2 ⁿ

^Ekpunkte

( ± 2, ± 2, ... , ± 2) ∈ R ⁿ

^und ^ist ^zum ^Beispiel ^für

n = 2

êinfah êin ^Quadrat. În ^jede ^der

2 ⁿ

^Eken ^desHyperwürfelspasstei- ne Hyperkugel vom Radius 1; de-

renMittelpunktesinddie

2 ⁿ

^Punkte

( ± 1, ... , ± 1)

^.

y

x

1

√ 2

Diese Hyperkugeln berührensih gerade, und sieberühren die Auÿen(hyper)-

ähendesHyperwürfels.AusobigerGleihungfolgt,dassderAbstanddesMit-

telpunktseinersolhenHyperkugelzumKoordinatenursprung

√ 1 + 1 + ... + 1

= √

n

^beträgt.

Nun legen wir in die Mitte dieser Figur eine weitere Hyperkugel. DerMittel-

punktistderKoordinatenursprungundderRadiusist

√ n − 1

^.^Auf^diese^Weise

berührtdie innereHyperkugelgeradealle

2 ⁿ

^äuÿerenHyperkugeln.Aberjetzt passiert etwas Merkwürdiges:Was ist der Abstand vom Koordinatenursprung

zum Rand desHyperwürfels? Dadie Kantenlängedes Hyperwürfels 4ist, hat

dieserAbstanddieLänge2.Ist

n ≥ 10

^,^soîst^dieserÂbstand^kürzerâls^der^Ra-

dius

√ n − 1

^der^innerenHyperkugel.MitanderenWorten,dieinnereHyperkugel durhdringtdenRanddesHyperwürfels.Kaumvorstellbar,aberwahr.Wasman

allesmahenkönnte,wennman10Dimensionenzur Verfügunghätte...

(13)

Goodstein-Folgen sind Nullfolgen wirklih?

von Hartwig Fuhs

Ein notwendiger Vorberiht

Seit den Zeiten der altenGriehen sind die Mathematiker damit beshäftigt,

vommathematishBekanntenmitHilfederLogikimmerwiederinsUnbekann-

te,Unerforshtevorzudringen.Siewarendabeiunglaubliherfolgreih.Undjede

neueErkenntnisdienteihnenalsBestätigungdafür, dasssieaufdemrihtigen

Wege waren; niemand stellte den mathematishen Fortshritt in Frage bis

gegenEndedes19.Jahrhunderts.

DamalsbegannensihZweifelzuregen,wohlauhdeshalb,weilBertrandRus-

sel 1

indemvonGottlobFrege 2

1879veröentlihtenwihtigenBuhBegris-

shrift,welhesdievonihmentwikelteundheuteverbindliheLogikenthält,

einen WiderspruhentdekteeineKatastropheauhfür dieMathematik.

Als daher die Mathematikerihren Blik zurük auf dieGrundlagen ihrer Wis-

senshaft rihteten,begannensiesihzu fragen:

IstdasFundament,aufdemdasgewaltigeGebäudederMathematikruht,tat-

sählihsosiher,wiesiebisherstillshweigendangenommenhatten?

Zwei Fakten beunruhigten sie: Von den ersten Grundannahmen (Axiomen),

von denenaus jede mathematisheTheorie ihrenAusgang nimmt, warweder

gesihert, dass sie keine Widersprühe produzieren, das heiÿt: Dass man mit

ihnen niht eineAussage undzugleih deren Negationableitenkann (Wider-

spruhsfreiheit) noh war bekannt, ob mit ihnen jede wahre Aussage der

betrahtetenTheoriebeweisbarist(Vollständigkeit).

DamitwurdedieForderunglaut,esmüssedieMathematikinsgesamtaufeiner

unbezweifelbarenBasisneuaufgebautwerden.

DenfolgenreihstenVorshlag,dereineErfüllungdieserForderungenversprah,

mahteDavidHilbert 3

mitseinerBeweistheorie,diejedesmathematisheGe-

bieteinerzweifahenProzedurunterwerfensollte:FormalisierungundAxioma-

tisierung.Damitistgemeint:

JedeTheoriemüssegänzlihineinerFormelspraheformuliertsein,damit

sodieUnklarheiten,MehrdeutigkeitenundÄhnlihesvermiedenwerden,die

sih beim Gebrauh der Umgangssprahe unbemerkt einshleihen konn-

ten;sodannsolltesiealleinauseinemvorgegebenenBestandvonallgemein

unbestrittenenAxiomenmitnitenlogishenShlussregelnentwikeltwer-

den.

1

BertrandRussel,1872-1970:EnglisherPhilosoph,LogikerundMathematiker

2

GottlobFrege,1848-1925:BedeutenderLogikerdermodernenZeit

3

DavidHilbert:1862-1943einerderuniversellstenMathematikerseinerZeit

(14)

endlihdergesamtenMathematikbegündenzukönnen.

DietreibendeKraftbeiderVerwirklihungseinesProgrammswarHilbertselbst.

Aber es gelang ihm auh, einige der besten Mathematiker und Logiker seiner

Zeit für eine Mitabeit zu gewinnen darunter den extrem begabten jungen

ÖsterreiherKurtGödel 4

.

EinSatz vonGödel

Einen ersten vielversprehenden Beitrag zu Hilberts Programm leisteteGödel

mitseinerDissertation(1930),indererdieVollständigkeiteineswihtigenTeils

der Logikbewies.Aberbereits imnähsten Jahrmahteermit einerweiteren

Arbeit jedeHonungzunihte, dass dasZiel der Beweistheorieerreihbar sei.

DennerzeigtemitseinemErstenUnvollständigkeitsatz:

AuseinemwiderspruhsfreienAxiomensystemderArithmetik 5

sindniemals

alleimBereihder natürlihenZahlenwahrenAussagenbeweisbar.

Mit seinem Unvollständigkeitssatz konnte er für eine solhe Arithmetik sogar

herleiten,dassihreWiderspruhsfreiheitzudeninihrnihtbeweisbarenAussa-

genzählt(zweiter Unvollständigkeitssatz).

Die Goodstein-Folgen

Manwirdsihfragen,wiedennwohleinewahreaberunbeweisbare arithme-

tisheAussageaussieht,derenExistenzdurhGödelsSatzgesihertist.Gödel

selbstkonstruierteeine solheAussageaber dafür benutzteer einekomple-

xe,sogarmanhenProabshrekendemathematisheHohtehnologie.Auh

Beispiele,dievonanderenangegebenwurden,sindspitzndigundnihtimmer

einfahnahvollziehbar.

WirwollendeshalbnuneineelementarearithmetisheAussagebeshreiben,die

dieGödel-Eigenshaftwahrabernihtbeweisbar besitzt.

Vorweg:Jede natürlihe Zahl

m ≥ 0

^hat ⁱⁿ ^der ^Basis

10

^eineDarstellungder Form

m = a 1 10 ^b ¹ +a 2 10 ^b ² +...+a r 10 ^b ^r

^,^wobei

0 ≤ a _i < 10

^und

b 1 > b 2 > ... >

b _r , r ≥ 1

^gilt.^Wenn^wir^hier^nun^jeden^Exponenten

b _i

^durh^seine^Normalform

zurBasis

10

êrsetzenûndⁱⁿâll'^diesenNormalformenerneutjedenExponenten inder Basis

10

^shreiben

...

ûnd^so^weiter,^dann^werden^wirⁱⁿêinerêndlihen

AnzahlWiederholungendieserProzedureinenAusdrukfürvon

m

^erhalten^(die

4

KurtGödel:1906-1978bedeutenderLogikerdes20.Jahrhunderts

5

DieamhäugstenbenutzteAxiomatisierungderArithmetikstammtvonGiuseppePeano

(1858-1939):

n ∈

^N^bedeutet:

n

^ist^eine^natürlihe^Zahl;

n ⁺

^sei^der^Nahfolger^von

n

^.

(1)

0 ∈

^N ⁽²⁾

n ∈

^N

⇒ n ⁺ ∈

^N ⁽³⁾

n,m ∈

^N ^und

n ⁺ = m ⁺ ⇒ n = m

(4)Esgibtkein

n ∈

^N^mit

n ⁺ = 0

(5)EsgiltdasInduktions-

prinzip

MitHilfevon(5)werdendieAdditionunddieMultiplikationnatürliherZahlendeniert

(15)

vollständigeNormalformzurBasis

10

^genannt),ⁱⁿ ^dem^keine^Zahl

> 10

^mehr

vorkommt. Soetwahat

m = 12 · 10 ⁵⁰⁸ + 5 · 18 ²

^die vollständigeNormalform zur Basis

10

^:

m = 10 ⁵ ^· ¹⁰ ² ⁺⁹ + 2 · 10 ⁵ ^· ¹⁰ ² ⁺⁸ + 10 ³ + 6 · 10 ² + 2 · 10 ¹

^.

Ganz entsprehend wird die Normalform einer Zahl

m

^zur ^Basis

n

^,

n ≥ 2

^,

erklärt.Danahhat

m = 1219

^die^Normalform

1219 = 3 ² ^· ³ + 2 · 3 ³⁺² + 3 + 1

zur Basis

3

^,^weil

1219 = 3 ⁶ + 2 · 3 ⁵ + 3 + 1

^ist.

DamitlassensihnundievonGoodstein 6

entdektenFolgen 7

denieren:

Denition derGoodstein-Folgen

g 1 (m) = m

^und

g n+1 (m) = 0,

^falls

g n (m) = 0

^ist.Im ^Falle

g n (m) 6 = 0

^erhält

man

g n+1 (m)

^so: ^Shreibe

g n (m)

ⁱⁿ ^die ^Normalform ^zur ^Basis

n + 1

^; ^ersetze

dann jedesVorkommenvon

n + 1

^durh

n + 2

^undsubtrahierezuletzt

1

^.

Beispiele:

G 3 :

g 1 (3) = 3 = 2 + 1 g 2 (3) = 3 + 1 − 1 = 3 g 3 (3) = 4 − 1 = 3 g 4 (3) = 3 − 1 = 2 g 5 (3) = 2 − 1 = 1 g 6 (3) = 1 − 1 = 0 g 7 (3) = 0

.. .

Bereits für

m = 4

^bekommen ^wir ^es ^wegen

g 1 (4) = 2 ²

^und

g 2 (4) = 3 ³ − 1

und so weiter,mitTürmen der Form

(n + 1) ^e ^e

. . . 2 1

zu tun,diefür

g _N (m) = 0

sukzessive abgebaut werden müssen.Wer dies ein mal konkretdurhrehnet,

stelltfest,dassderAbbaudeserstenderdreiTürme

3 ² + 3 ² + 3 ² (= g 2 (4) + 1)

von

g 3

^bis

g 24 − 2

^dauert ^der ^des^zweiten^dann ^bis

g ₂₄ _· ₂ ²⁴ ₋ ₂

^und ^shlieÿlih^der

desdrittenTurmesbis

g N

^,^wobei

N = 24 · 2 ²⁴ · 2 ²⁴ ^· ² ²⁴ − 2 ≈ 6, 9 · 10 ^121210694

^;

also eine

121210695

^-stellige ^Zahl!^(Man ^berehne ^den

10

^er Logarithmus von

N + 2

⁾

Für

m = 20

^entstehen^Türme ^noh ^gröÿerer^Höhe:

6

ReubenLouisGoodstein:1912-1985englisherLogiker

7

Ontherestritedordinaltheorem;J.Symb.Logi9,p.33-47(1944)

(16)

G 20 :

g 1 (20) = 2 ² ² + 2 ² = 20 g 2 (20) = 3 ³ ³ + 3 ³ − 1 ≈ 8 · 10 ¹² g 3 (20) = 4 ⁴ ⁴ + 2 · 4 ² + 2 · 4 + 2 − 1 ≈ 10 ¹⁵⁴ g 4 (20) = 5 ⁵ ⁵ + 2 · 5 ² + 2 · 5 + 1 − 1 ≈ 10 ²¹⁸⁴ g 5 (20) = 6 ⁶ ⁶ + 2 · 6 ² + 2 · 6 − 1 ≈ 10 ³⁶³⁰⁵ g 6 (20) = 7 ⁷ ⁷ + 2 · 7 ² + 7 + 5 − 1 ≈ 10 ⁶⁹⁵⁹⁷⁴ g 7 (20) = 8 ⁸ ⁸ + 2 · 8 ² + 8 + 4 − 1 ≈ 10 ^15151336

.. .

ErgänztmandieobigeAuistungvonGliedernderFolgebishinzu

g 22 (20)

^,^so

ndetman:

g 21 (20) = 22 ²² ²² + 2 · 22 ²

^undⁱⁿ

g 21 (20)

^kommt^kein^linearer^T^erm

mehrvor.

Weiterist

g 22 (20) = 23 ²³ ²³ + 2 · 23 ² − 1 = ... + 23 ² + (23 ² − 1) = ... + 23 ² + 22 · 23 + 22

^. ^Es^gibt ^dann ^ein^Folgeglied

g _k− 1 (20) = k ^k ^k + k ²

^ohne^linearen

Term. Dann aber enthält

g _k (20) = ... + (k + 1) ² − 1 = ... + k (k + 1) + k

keinen quadratishen Term

(k + 1) ²

^mehr,dafür^nun ^lineare. ^Und^so ^wird^das

Anknabbern eines nähsthöheren Turmes jeweils neueTürme erzeugen, die

sihdurhdieRehenoperationenzuBurgenausTürmengruppieren,undman

dieÜbersihtverliert,obwohlsihfürmoderateZahlenmitvielFleiÿjeweilsein

N

^mit

g N (m) = 0

^ndet.Ôb^diesâberîmmer^soîst?

GenaudashatGoodsteinbeantwortet:

Satz vonGoodstein(1944)

Injeder Goodstein-Folge

G _m

^gibt ^es ^ein^Glied

g _N (m)

^mit

g _N (m) = 0

^, ^so ^dass

auh

g N+i (m) = 0

^ist,^für ^jedes

i ≥ 1

^.

DerSatz vonGoodsteinmahtdieFolgen

G m

^zu^ganzbemerkenswertenarith- metishenObjekten.

•

^Da ^ist ^einmal ^der ⁱⁿ ^jedem ^Glied

g n (m), n ≥ 2

^, ^einer ^jeden ^Folge

G m

vorkommende,völligharmlos,jaunbedeutendersheinendeTerm

− 1

^,^der

eineselbstdemerfahrenstenZahlenjongleurunvorstellbargewaltigeMaht

ausübt,denn er vermag letztendlih jede noh so hohePotenzauszulö-

shen.

•

^Ein^zweiter^Aspekt,^der^die^Folge

G m

^noh^vielinteressantermaht,ergibt sihausdemFolgenden:

GoodsteinkonnteseinenSatz nurdadurhbeweisen,dasserdasGebietder

Arithmetikverlassend ein mähtigeres Werkzeug dieOrdinalzahlen ver-

wendete.

(17)

terten stets. Den Grund dafür fanden Laurie Kirby und Je Paris. Sie zeig-

ten1982:GoodsteinsSatzkannnihtinder allgemeinüblihen axiomatishen

Peano-Arithmetik(vergleihe Fuÿnote 5) bewiesen werden. Nun ist aber der

Satz von Goodstein siher eineAussage ausden Peano-Axiomen zudemist

siewahr,abernihtbeweisbarinnerhalbder Peano-Axiome.

DieGoodstein-Folgen

G m

^bilden^somit^die^Basis^für^dieKonstruktioneinerGö- delaussagemitderEigenshaftwahraberunbeweisbar,vondenenimErsten

Unvollständigkeitssatz vonGödel 8

dieRedeist!

Lösungen der Mathespielereien

aus MONOID 100

Für die jüngeren Shüler/innen derKlassen 57

BeweisohneWorte

1 = 1 ²

1 + 2 + 1 = 2 ²

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3 ² 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 ²

...

Die neben angedeuteten un-

endlih vielen Gleihungen sind

sämtlih rihtig. Zeige dies mit

Hilfe der untenstehenden Figur.

(H.F.)

Lösung:

BeweisohneWortefürdieGleihung

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5 ² .

Bruhstrihe

Füge zwishen den folgenden sehs Zeilen jeweils einen Bruhstrih (erster,

zweiter,dritter,... Ordnung)sohinzu,dass derentstandeneBruh

1 3

^ergibt.

7 5 · 7 7 ² 3 · 7 5 7

Was geshieht, wenn man in jeder Zeile die Zahl 7

durheineVariable

a 6 = 0

^ersetzt?

(Shaima'aDoma,Kairo)

8

Aessible independena resultsinPeano Artithmeti, Bull.LondonMath.So. 14,p.

285-293(1982)

(18)

7 35

49 21 5

7 = 1 3 =

a 5a

a ²

3a 5

a

für

a 6 = 0.

EinZiernproblem

WelhesistdieEiner-Zierder Zahl

1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + ... + 2009 ²

^? ^(H.F.)

Lösung:

Mit

[n]

^bezeihnen^wir^die^Einerzier ^der^natürlihen^Zahl

n

^.^Damit^ist

[1 ² + 2 ² + 3 ² + ... + 10 ² ] = [11 ² + 12 ² + 13 ² + ... + 20 ² ] = ...

= [1991 ² + 1992 ² + 1993 ² + ... + 2000 ² ]

= [2001 ² + 2002 ² + ... + 2009 ² ]

= 5

undsomitist

[1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + ... + 2009 ² ] = [201 · 5] = 5.

AlternativergibtsihmitderFormel

1 ² +2 ² +3 ² +4 ² +...+n ² = ¹ ₆ n(n+1)(2n+1)

für

n = 2009

^:

2001 ² + 2002 ² + ... + 2009 ²

= 1

6 · 2009 · 2010 · 4019

= [2009 · 335 · 4019]

= 5.

ImÜbrigenist

1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + ... + 2009 ² = 2 704 847 285

^.

Winkel, Streken,Punkte

A 2 α C

B A ^∗

α

Gegeben ist ein gleihshenkliges Dreiek

△ ABC

^mit

| AB | = | AC |

^und ^dem ^Innenwin-

kel

2α

^bei

A

^.^Auf^derVerlängerungvon

AB

^sei

derPunkt

A ^∗

^sofestgelegt,dass

| ∢AA ^∗ C | = α

ist.Zeige:

a) DerWinkel

∢A ^∗ CB

^ist

90 ^◦

^groÿ.

b) DieStreken

AB

^und

AA ^∗

^sind^gleih^lang.

) DerPunkt

A

^istMittelpunktdesUmkrei- sesvomDreiek

△ A ^∗ BC

^.

(H.F.)

(19)

α γ 2 α β

A ^∗ A B

δ β C

a) Im gleihshenkligen Dreiek

△ ABC

^sind ^die Innenwinkel bei

B

^und

C

gleihgroÿsieseien

β

^.^Also^ist

(1)

2α + 2β = 180 ^◦

^oder

α + β = 90 ^◦

^.

ImDreiek

△ A ^∗ AC

^gilt^für^den^Winkel

γ

^bei

A

^:

2α + γ = 180 ^◦

^,^sodass

(2)

γ = 2β

^wegen⁽¹⁾^ist.

Fernerist,wenn

δ

^derInnenwinkeldesDreieks

△ A ^∗ AC

^bei

C

^ist,

α +δ + γ = (α + δ) + 2β = 180 ^◦

^. ^Mit⁽¹⁾ ^folgt^dann,^dass

α + δ = 2α

^ist,^also

dass

(3)

δ = α

^gilt.

FürdenWinkel

δ +β

^bei

C

^gilt^daher^mit⁽³⁾^und^mit^(1):

δ+β = α+β = 90 ^◦

b) Aus(3)folgt,dassdasDreiek

△ A ^∗ AC

gleihshenkligmit

| A ^∗ A | = | AC |

ist;wegen

| AC | = | AB |

^ist^also

| A ^∗ A | = | AB |

^.

) Aus b) folgt, dass die Punkte

A ^∗

^,

B

^und

C

^gleih ^weit ^vom ^Punkt

A

entfernt sind. Damit ist

A

^der Mittelpunkt des Umkreises vom Dreiek

△ A ^∗ BC

^.

Würfelverdopplung?

Von den beiden Würfeln

W 1

^und

W 2

^hat ^der ^grö-

ÿere

W 1

^die Kantenlänge 5 und der kleinere

W 2

^die

Kantenlänge4vergleihedieFigur,welhedieGrö-

ÿenverhältnissevon

W 1

^und

W 2

verkleinertzeigt.

Ist dasVolumen des Würfels

W 1

^ungefähr

1,3

^- ^oder

1,6

^-^oder

2

^-mal^so^groÿ^wie^das^Volumen^des^Würfels

W 2

^? ^(H.F.) ⁵

W 1

4

W ₂

Lösung:

DasVolumen

V 1

^von

W 1

^ist

5 ³ = 125

^;^das^Volumen

V 2

^von

W 2

^ist

4 ³ = 64

^.

Daher gilt:

V 1 = 1,953125 ... · V 2

^. ^Also^ist

V 1 ≈ 2 · V 2

^.

(20)

Esseien

m

^und

n

^ganze^Zahlen ^und

2m + 3n

^sei^ein ^Vielfahes ^von

17

^.^Zum

Beispielfür

m = 20

^und

n = − 2

^ist

2 · 20 + 3 · ( − 2) = 2 · 17

^.

Behauptung:UnterdengenanntenVoraussetzungenistauh

9m + 5n

^ein^Viel-

fahesvon

17

^.^Stimmt^das? ^(H.F.)

Lösung:

Esgilt

9m + 5n = 17m − 8m + 17n − 12n = 17(m + n) − 4 · (2m + 3n)

^.

NahVoraussetzungist

2m + 3n

^ein^Vielfahes^von

17

^,^also^auh^die^Dierenz

auf derrehtenSeiteundsomitauh

9m + 5n

^.

EthnographishesRätsel

IneinerabgelegenenUrwaldregionlebendieStämme

der At, der Bo,der Cmer, der Dio, der Ela und der

Fu in jeweils einem Gebiet, dessen Grenzverlauf die

nebenstehendeLandkartewiedergibt.

Ein in der Gegend forshender Ethnograph (Völker-

kundler)fragtseineneinheimishenBegleiter,welher

StamminwelhemGebietlebt.DiesereinGeheim-

niskrämerinformiertihnso:

a) DieAt unddieBosindkeineNahbarn.

b) DieCmerhabenwenigerNahbarnalsdieBo.

) DiebenahbartenDioundAt habengleihviele

Nahbarn.

d) DieFuhabenmehrNahbarnalsdieEla.

Zwei Stämme heiÿenbenahbart,wenn ihre Stammesgebieteine gemeinsame

Grenze besitzen.

InwelhenGebietenlebenalsodieAt,Bo,Cmer,Dio,ElaundFu? (H.F.)

Lösung:

G 1

G ₂

G 3

G ₄ G 5

2

2 3

4

G ₆

1

4

Der EthnographbezeihnetzunähstdieGebietemit

G 1 , G 2 , ... , G 6

^. ^Daⁱⁿ ^b) ^bis^d)^die ^Anzahl^von ^Nah-

barneineRollespielt,trägterinjedesGebietdieAn-

zahl seiner angrenzendenNahbargebiete ein (Nah-

barshaftszahlen)undbezeihnetmit

[

^At

]

^die^Anzahl

der Nahbarnder At undsoweiter.

Nunüberlegterso:

Da

G 2

^und

G 6

^die^einzigenbenahbartenGebietemit dergleihenNahbarshaftszahlsind(

G 1

^und

G 3

^sind

nihtbenahbart),giltwegen):

At

∈ G 2 ,

^Dio

∈ G 6

^oder ^At

∈ G 6 ,

^Dio

∈ G 2 .

Falls At

∈ G 2

^,^dann ^wäre^Bo

∈ G 5

^wegen^a). ^Folglih^wäre

[

^Bo

] = 1

^im ^Wider-

spruhzub).AlsoistAt

∈ / G 2

^.

(21)

Seialso jetzt At

∈ G 6

^und ^damit ^Dio

∈ G 2

^. Âus â) êrgibt^sih: ^Bo

∈ G 3

^. ^Dann

aberist Cmer

∈ G 5

^wegen^b).^Aus

[

^Fu

] > [

^Ela

]

^wegen ^d)^folgt^daher ^Fu

∈ G 4

undEla

∈ G 1

^und^damit^ist^dasethnographisheProblemgelöst.

Jede Aufgabe, die ih löste, wurde zu einer Regel,

die später zur Lösung anderer Aufgaben diente.

RenéDesartes

∗

Neue Mathespielereien

Für die jüngeren Shüler/innen derKlassen 57

Wahr oderfalsh?

Essei

Z

^das^Produkt^der ^ersten^fünf Primzahlen.Dann ist

1 5 Z

^die^Anzahl^der

natürlihen Zahlen, die

≤ 2010

^sind^und ^die ^mindestens^eine ^Zier

0

ⁱⁿ ^ihrer

Dezimaldarstellunghaben.Tritdaszu? (H.F.)

Ein Streihholz-Problem

KannstDudieneunStreihhölzerderFigurso

anordnen,dassDudreiVierekeerhältst?(ge-

fundenH.F.)

Eine vollbefriedigendeErklärung?

Erih Bisho, der Erforsher der Kabbalah

∗

, hat im Vorwort seines Buhes

MystikundMagieder Zahlengeshrieben:Ihwenigstenskennekeinevollbe-

friedigende Erklärung dafür, warum jede ungerade Zahl (von 3 ab), mit sih

selbstmultipliziert,stetseinVielfahesvon8mit1alsRestergibt.

StimmtdieserSahverhaltüberhaupt?Dannlieferebitteeinevollbefriedigende

Erklärung inFormeinesBeweisesdafür,sonstgibeinGegenbeispielan.(MG)

∗

RenéDesartes:1596-1650französisherPhilosoph,MathematikerundNaturwissen-

shaftler.

∗

DieKabbalah(auhKabbala)istdiemystisheTraditiondesJudentums,begründeta.

1.Jahrhundertn.Chr.

(22)

DietersUhrhateineDigitalanzeige(24Stunden).Sie

geht

2 ₂ ¹

^-mal^so ^shnell^wie^sie ^sollte.^Wann^zeigt^sie

zumerstenMalwiederdiekorrekteUhrzeit,wennsie

jetztum0.00Uhrexakt gestelltwird? (WJB)

Bennies Büher

BenniestehtvordemShaufenstereiner

Buhhandlung. Er überlegt: Wenn ih

diesesBuh zweimalkaufe,brauheih

genau so viele Euro dafür wieCent für

einBuh unddoppeltsoviele Centwie

Eurofür einBuh.

WievielkostetdasBuh? (WJB)

Gleihseitige Dreiekeim Trapez

60 ^◦

A B

C D

S

Im gleihshenkligen Trapez

ABCD

^mit

AB k DC

^sei

S

^der Diagonalenshnittpunkt;

fernersei

| ∢BAC | = 60 ^◦

^.^Dann ^sind ^die^Drei-

eke

△ ABS

^und

△ CDS

^beidegleihseitig.Du siehst es kannst Du es auh begründen?

(H.F.)

Hinweis:

| ∢BAC |

^bezeihnet ^die ^Gröÿe ^des

Winkels

∢BAC

^.

Wiederherstellungeiner Division

RekonstruieredieDivision,indemDu

in der Figur jedenStern

∗

^durh^ei-

neZiersoersetzt,dasseinerihtige

Divisionentsteht,bei derkeinefüh-

rendeZiereineNullist. (H.F.)

∗ ∗ ∗ ∗ : ∗ ∗ = ∗ ∗

− ∗ ∗

2 ∗

− ∗ ∗

2

(23)

Klassen 813

Aufgabe987

LösedieGleihung

p (x + 2009) + (x − 2009) + x · 2009 + x : 2009 = 2010

(H.F.)

Aufgabe988:Umfänge

Ein Kreis

K 1

^mit^dem^Radius

r 1

^berührt^einen

zweiten Kreis

K 2

^mit ^dem ^Radius

r 2

^von ^au-

ÿen.DieVereinigungsgur

K 1 ∪ K 2

^berühre^den

Kreis

K 3

^von înnen.Ês ^hat ^den Ânshein, âls

sei der Umfang der Figur

K 1 ∪ K 2

^kleiner ^als

der UmfangdesKreises

K 3

^.

Stimmt das? (H.F.)

r ₁ r ₂

K ₃ K ₁ K ₂

Aufgabe989:Fundsahe

FolgenderDialogstammtauseinemInternethat:

∗

(15:12:00) Flo: Auf einerWanderkarte im Maÿstab 1:25000haben

zweibenahbarte

20

-m-HöhenlinieneinenAbstandvon

6

^mm. ^Wenn

iheinrehtwinkligesDreiekzeihne,umdenAnstiegswinkelzube-

rehnen,welheSeiteistdann diemitden

6

^mm^Abstand?

(15:12:16)Frankie:?

(15:12:57) Flo: War heute in Mathematik zur Diskussionund unser

Lehrerwussteesniht,alsodahteih,du wüsstestes vielleiht.

(15:13:16)Frankie:Der Mathematiklehrerwusstees niht?!OMG!

(15:14:45)Frankie:Wie kannmanso was nihtwissen? Als Mathe-

matiklehrer?

(15:15:20)Flo:Der weiÿauh dieFormel fürdasVolumeneinerPy-

ramidenihtausdemKopf,sondernguktinsTafelwerk.

(15:15:41)Frankie:OMG!

Traurige Zustände aberfür MONOID-Löser siher kein Problem.Deshalb die

folgendenAufgaben,umFlound seinemLehrerzuhelfen:

a) BerehnedenSteigungswinkelsowiedieSteigunginProzent.

b) WelheStrekelegt einWandererauf demWegtatsählihzurük? (MG)

∗

Esisttraurigaberwahr!SolheMathematiklehrersindallerdingssiherdieAusnahme.

(24)

Drei 1-

e

-Münzenwerden geworfen. Wie groÿ istdie Wahrsheinlihkeit, dass nah dem Wurf dreigleihe Bilderalso dreimalAdler oder dreimalZahl

obenliegen?

Da nah dem Wurf stets zwei oder drei Münzendasgleihe Bild zeigen,ent-

sheidetdie dritteMünze,ob dreigleihe Bilderzu sehensind oderniht. Da

es für das oben liegendeBild der drittenMünze nurzweiMöglihkeiten gibt,

istalsodieWahrsheinlihkeit

1

2

^dafür,^dass ^bei^der ^dritten^Münze^das^gleihe

Bildobenliegtwiebeidenbeiden anderen.Also:Mitder Wahrsheinlihkeit

1 2

zeigenalledreiMünzendasgleiheBild.

Stimmtdas? (H.F.)

Aufgabe991: EinsymmetrishesGleihungssystem

BestimmeallereellenLösungen

(x, y, z)

^desGleihungssystems:

x + y + ¹ _z = 3 y + z + _x ¹ = 3

z + x + ¹ _y = 3

^(M.^Mettler)

Aufgabe992: Shranken fürZahlenfolge

Essei

(S n )

^eine^Folge,^mit

S _n = _n+1 ¹ + _n+2 ¹ + ... + _3n+1 ¹ , n = 1, 2, 3, ...

Zeige, dass

(S n )

^eine ^monoton ^steigende Zahlenfolge ist (das heiÿt, es gilt

S n > S n − 1

^für^alle

n

^),^für^die

1 < S n < 2

^,^mit

n = 1, 2, 3, ...

^gilt. ^(H.F.)

Aufgabe993: Tagungslogo

Im März2010 ndet in Mün-

hen die gemeinsameTagung

der DeutshenMathematiker-

Vereinigung und der Gesell-

shaft für Didaktik der Ma-

thematikstatt. DasLogodie-

serTagungkannstDuaufdem

Bild sehen. In diesem Logo

kannst Du eine Gerade und

eine Parabel erkennen, deren

Symmetrieahse in guter Nä-

herungsenkrehtsteht.

a) Stelle die Funktionsgleihungen

f (x)

^der ^Parabel ^und

g (x)

^der ^Geraden

aufundbestimmedarausdenShnittpunktbeiderGraphen.Wählehierzu

aufdenAhsendenMaÿstab1LE=1m.

b) Bei dem Gebäude, welhes im Logo angedeutet ist, beträgt der Höhen-

(25)

jeweilsetwa98,5mhoh.WiehohwäredieParabel,wennsiewirklihso

überdasGebäudegebautwürde?

) Zusatzfrage: KennstDuauh dasGebäude, welhesim Logo angedeutet

ist?

Mainzer Mathematik-Akademie

26. August 29. August 2010

Das Institut für Mathematikder Universität Mainz veranstaltet vom 26. Au-

gust bis zum 29. August 2010 einen Workshop der besonderen Art für alle

Mathematik-Fansder Jahrgangsstufen1013.

InFahvorträgen,Gruppen- undProjektarbeitmitanshlieÿenderPräsentation

sollenThemenausdenBereihen(wahlweise)

•

^Theorie^der^Knoten

•

^Platonishe^Körperⁱⁿ^höherenDimensionen

•

^(Thema^wird^noh^bekannt^gegeben)

mitProfessorender UniversitätMainzbearbeitetwerden.

Der Workshop ndet im Institut für Mathematik statt; wohnen werden wir

im Don Boso Haus, mittags essenwir in der Mensa. Für die Unterbringung

(Übernahtung, Frühstük,Abendessen) wirdeine Eigenleistungvon 40 Euro

erhoben, den Restbetrag trägt der Verein der Freunde der Mathematik der

UniversitätMainz.AnreiseistamDonnerstagabend,AbreiseamSonntagmittag.

FallszurBeurlaubungvomUnterrihteinepersönliheEinladungbenötigtwird,

könnenwireinesolhegernezusenden.

Im nähsten Heft gibt es genauere Informationen zur Mainzer Mathematik-

Akademie unddenLinkzumAnmeldeformular;Rükfragenunter:

freundemathematik.uni-mainz.de.

Gelöste Aufgaben aus MONOID 100

Klassen 813

Aufgabe981:Wahr oderfalsh?

Überprüfe,obfürjedepositiveZahl

n

^die^Gleihungen

(1)

(8n + 1) ² − (8n + 2) ² − (8n + 3) ² + (8n + 4) ² = 4

(2)

(8n + 1) ² − (8n + 2) ² − (8n + 3) ² + (8n + 4) ² − (8n + 5) ² + (8n + 6) ² +

(8n + 7) ² − (8n + 8) ² = 0

(26)

Lösung:

AusmultiplizierenderKlammernergibt:

(1)

(8n + 1) ² − (8n + 2) ² − (8n + 3) ² + (8n + 4) ² = 64n ² + 16n + 1 − 64n ² − 32n − 4 − 64n ² − 48n − 9 + 64n ² + 64n + 16 = 4

(2)

(8n + 1) ² − (8n + 2) ² − (8n + 3) ² + (8n + 4) ² − (8n + 5) ² + (8n + 6) ² + (8n + 7) ² − (8n + 8) ² = 4 − 64n ² − 80n − 25 + 64n ² + 96n + 36 + 64n ² + 112n + 49 − 64n ² − 128n − 64 = 0

AlsotreendieGleihungenfür jedeganzeZahl

n

^zu.

Aufgabe982: Falshe Freunde (wiesiher istdie PIN?)

Fred, Harald und Julian haben ihrer Freundin Lydia die EC-Karte gestohlen

und wollen damit an einemBankautomaten Geld abheben. Die Karte ist mit

einervierstelligen personalidentiationnumber (PIN)gesihert. Nah drei

Versuhen mit einer falshen PIN wird die Karte entzogen. Die drei wählen

unabhängig voneinander je eine Kombination aus vier Ziern, mit der sie es

versuhenwollen.

a) MitwelherWahrsheinlihkeit

P

^kommen^sie^an^Geld?

Wie groÿ wird ihre Erfolgswahrsheinlihkeit, wenn sie folgende Information

überLydiasPINhabenund berüksihtigen,nämlihdieKenntnis,

b) dassdiePINnurdreivershiedeneZiernenthält?

) dassjezweiZierndoppeltvorkommen?

d) dasseineZierdreimalund eineZiereinmalvorkommt?

e) dassallevierZierngleihsind?

Wir nehmen dabei an, dass alle Ziern gleihberehtigt sind (auh die

0

^).

(WJB)

Lösung:

DieKartewirdeingezogen,wennalledreigewähltenZierkombinationenfalsh

sind.Ist

q

^dieWahrsheinlihkeit,diePINnihtrihtigzuraten,soistalsodie WahrsheinlihkeitfüreinenErfolg gleih

P = 1 − q ³

^.

a) Esgibt

10 ⁴

^möglihe^PINs,^also^ist

q = ¹⁰ ₁₀ ⁴ ⁻ 4 ¹ = 1 − 10 ⁻ ⁴

^und^somit

P = 1 − (1 − 10 ⁻ ⁴ ) ³ = 3 · 10 ⁻ ⁴ − 3 · (10 ⁻ ⁸ )+ 10 ⁻ ¹²

^,^also^etwa

3 · 10 ⁻ ⁴ = 0,0003

^.

b) Für diedoppeltvorkommendeZier habenwir

10

Möglihkeiten,danah für das weitere Paar

9 · ⁸ ₂

Möglihkeiten und

4 · 3

Möglihkeiten, dann die Ziern anzuordnen, um eine PIN zu erzeugen. Also gilt jetzt

q = 1 − ₁₀ _· ₉ ¹ _· ₈ _· ₄ _· ₃ = 1 − ₈₆₄₀ ¹

^und

P = 1 − (1 − ₈₆₄₀ ¹ ) ³

^ist^ungefähr

₈₆₄₀ ³ ≈ 0,00035

^.

) Entsprehend haben wir hier

10 · 9 · 6 = 540

Möglihkeiten und somit

q = 1 − 540 ¹

^undnäherungsweise

P ≈ 540 ³ = ₁₈₀ ¹ = 0,0556.

d) Hiergibtes

10 · 9 · 4

Möglihkeiten,also

P

^ungefähr

₂₇₀ ³ ≈ 0,0111

(27)

e) Mitnur

10

^möglihen^PIN^haben^wir

P = 1 − ₁₀ ⁹ 3

= 1 − 0,729 = 0,271

^.

AuÿerbeisehrgroÿerVorkenntnisüberdiePINistsiealsoziemlihsiher.

Aufgabe983:Vielfahe von 3?

Essei

p

^eine^beliebige^Primzahl

> 3

^.^Mathis^behauptet:^Die^Zahl

p ² + 2009

^ist

stetseinVielfahesvon

3

^. ^(nah^H.F.)

Lösung:

p ² + 2009 = p ² − 1 + 2010 = p ² − 1 + 3 · 670

^.^Nun^ist

p ² − 1 = (p − 1)(p + 1)

^ein

Vielfahes von

3

^, ^weil^stets^eine^der^drei ^Zahlen

p − 1

^,

p

^,

p + 1

^ein^Vielfahes

von

3

^ist;^aber^wegen

p > 3

^ist^es ^niht

p

^sondern^entweder

p − 1

^oder

p + 1

^.

Insgesamtistauh

p ² − 1 + 2010

^ein^Vielfahes^von

3

^,^die^Aussage^also^wahr.

Aufgabe984:Spareinlage

Wirnehmenan,Gaius IuliusCaesar

∗

hätteam1.Januar81v.Chr.,alsonah

seiner Volljährigkeit,einen Betrag von 1 Cent angelegt.Für Langzeitanlagen

gewährtdieBanadiRomaeinenZinssatzvon

3 %

^.^Caesar^zahlt^später^nihts

mehr ein.

a) Auf welhenBetrag wäre dasKapitalbis heute (nahder Verzinsung für

2009)theoretishangewahsen?WieheiÿtdasZahlwort?

b) InwelhemJahrwäreder InhaberdesSparbuhesMillionärgeworden?

) Warumhätteertatsählihimmernohnur1CentaufdemSparbuh?(MG)

Lösung:

a) Nahder Verzinsungfür 2009beträgtdasGuthaben

0,01 e · 1,03 ^2009+81 = 0,01 e · 1,03 ²⁰⁹⁰ ≈ 6,758 · 10 ²⁴ e .

Dassindfast6,8QuadrillionEuro (oder 6,8Yotta-Euro).

b) ZumZeitpunkt, daCaesar Millionär wird,gilt

0,01 e · 1,03 ⁿ⁺⁸¹ = 10 ⁶ e

, resp.

10 ⁸ = _0,01 ¹⁰ ⁶ ^e _e = 1,03 ⁿ⁺⁸¹

^.

Nah dem Übergang zum Logarithmus folgt

lg 10 ⁸

= lg 1,03 ⁿ⁺⁸¹

= (n + 81) · lg (1,03)

^.

Damitist

n = ^lg ( ¹⁰ ⁸ )

lg(1,03) − 81 ≈ 623,2 − 81 = 542,2

^und^nah^der^Verzinsung

am31.Dezember543wäreCaesarMillionär.

) AbgesehenvonWährungsreformen,Inationundder Tatsahe,dasseszu

Caesars Zeit noh niht den Euro gab: Die Zinsgutshriften werden von

den Banken gerundet, dasheiÿt nah der ersten Verzinsung ergäbe sih

zwartheoretisheinKapitalvon

0,01 e · 1,03 = 0,0103 e

,aberwegender Rundung würde es bei

0,01 e

bleiben und das setzt sih ewig so fort.

(MG)

∗

deutsh:JuliusCäsar,*13.07.100v.Chr.inRom,

†

^15.03.44^v.^Chr.ⁱⁿ^Rom;^römisher

Staatsmann,FeldherrundAutor.

ahgag30

T 0 = 0

T 1 = 0 1

T 2 = 01 10

T 3 = 0110 1001

T 4 = 01101001 10010110

T 5 = 0110100110010110 1001011001101001

T i

T i

T i

T i+1

T i+1 = T i T i .

T i+2 = T i T i T i T i .

T 6 , T 7 , ...

011010011001011010010110011010011001011 0011010010110100110010110 ...

T

T 2

T 4

T 2n

i

x i

T = x 0 x 1 x 2 x 3 ...

x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, ...

T 3

T 4

x 8 = 1 − x 0 , x 9 = 1 − x 1 , ... , x 15 = 1 − x 7

T

01 10 10 01

S

S

S (0110) = 01 10 10 01

S(1110) = 10 10 10 01

S

S (T ) = T

S (T n ) = T n+1

0 6 11 6 01 6 00 6 11 6 00 6 10 6 11 6 01 6 00 6 10 6 11 6 00 6 11 6 01 6 00 6 1 ... = 0110100110010110 ...

S (T ) = T

x 7 = 1

S

x 0 , ... , x 13

x 7 = x 14

T = 0 1 1 0 1 0 0 1 ...

S (T ) = 0110100110010110...

x 7

x 14

x n = x 2n

n ≥ 0

x 2n+1 = 1 − x 2n

x n = x 2n

T

001001001001001001001 ...

T

a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ...

n + 1

a n = a 2n+1

x 2n+1

x n

T

n

n + 1

001 001 001

T

n + 1

n

n = 3

x 8 = 1 − x 0 , x 9 = 1 − x 1 , ... , x 15 = 1 − x 7 .

T

∗

∗

n

x n

x n 2

x 2n+1 = 1 − x n

n

n

i = 1

x i 6 = x i − 1

60 ◦

x i = x i − 1

120 ◦

ahgag30

x _i

x ₈ = 1 − x ₀ , x ₉ = 1 − x ₁ , ... , x ₁₅ = 1 − x ₇

a _n = a 2n+1

x _n

x 8 = 1 − x 0 , x 9 = 1 − x ₁ , ... , x ₁₅ = 1 − x ₇ .

x ⁿ ₂

60 ^◦

120 ^◦

4 ^k

60 ^◦

120 ^◦

4 ⁸

v u < ^d ₂ , v < ^d ₂ R

v _d

2 ≤ u < d, v ≤ ^d 2 R

v u ≤ ^d 2 , ^d ₂ ≤ v < d R

n 0 = 1, n 1 = ¹⁺ⁿ ₁ ² ⁰ , n 2 = ¹⁺ⁿ ₂ ² ⁰ ⁺ⁿ ² ¹

n i = ¹⁺ⁿ

0 +n ² ₁ +...+n ² _i−1

G : n −→ ^G ⌊ √

n ³ ⌋ ,