Z ve

2. Teil

Prof.ErikaHausenblas

MontanuniversitätLeoben,Österreih

10.Jänner2017

1

Zuverlässigkeit gröÿerer Systeme

Komponenten in Seriegeshaltet

Redundanzoder Komponenten parallel geshaltet

Komplexe Kongurationen

MinimalCutSets undPaths

2

Vershiedenes

Standby Shaltungen (ReserveShaltungen)

3

Modellierung von Abhängigkeiten

Betrahten wirein Systemdasaus

n

E _i

i =

, . . . , n

zusammengeshaltetist.

R _i (t)

Annahme: dieKomponenten funktionierenunabhängig voneinander;

Zuverlässigkeitsfunktion

R S

R _S (t) =

n

Y

i=

R _i (t ).

Angenommen:

λ _i (t )

i

t >

Damit gilt

R _i (t) =

(−λ i (t))

i =

, . . . , n

R _S (t ) =

n

Y

i=

R _i (t) =

−

n

X

i =

λ _i (t)

!

.

Example

Einuss derFunktionstühtigkeiteinzelnerKomponentenaufdasGesamtsystem:

Zuverl.

derKomp. 0.8 0.85 0.9 0.95 0.98 0.99

Anzahl

derKomp.

1 0.8 0.85 0.9 0.95 0.98 0.99

5 0.32768 0.44370 0.59049 0.77378 0.90392 0.95099

10 0.10737 0.19687 0.348678 0.598737 0.817073 0.904382

20 0.0115292 0.0387595 0.12158 0.35849 0.66761 0.81791

50 1.47

·

⁻

·

⁻

·

⁻

Betrahten wirein Systemdasaus

n

E _i

i =

, . . . , n

zusammengeshaltetist.

R _i (t)

Annahme: dieKomponenten funktionierenunabhängig voneinander;

Hier giltfür

F _S

F _S (t) =

n

Y

i=

F _i (t),

woraus folgt

R _S (t) =

− F _S (t) =

−

n

Y

i=

(

− R _i (t)) =

−

n

Y

i=

(

− e ^{− λ i (t)} )

Example

Einuss derFunktionstühtigkeiteinzelnerKomponentenaufdasGesamtsystem:

Anzahl Zuverl.des Anstiegder

derKomp. Systems Zuverl. inProzent

1 0.8

· · ·

2 0.960000 0.160000 20.00

3 0.992000 0.032000 24.00

4 0.998400 0.006400 24.80

5 0.999680 0.001280 24.96

6 0.999936 0.000256 24.99

Example

EinBauteilhateinekonstanteAusfallrate

λ

R S (t)

einBauteil,zweiunddreiBauteileparallelgeshalteteingezeihnet.Mansieht,dass

wenndieZeitwähst,derprozentuelleUntershiedkleinerwird.Dasheiÿt,die

VerbesserungderAusfallratemahtsihvoralleminkurzenZeitspannenbemerkbar,für

grosses

t

R S (t) = e ^−λ

^t + e ^−λ

^t − e ^{− ( λ}

^{+ λ}

^)t .

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R(t)

t

ein Bauteil zwei Bauteile parallel drei Bauteile parallel vier Bauteile parallel

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 50 100 150 200 250 300

Verbesserung in Prozent

t

zwei Bauteile parallel drei Bauteile parallel vier Bauteile parallel

Prof.ErikaHausenblas (Leoben ) Zuverlässigkeit 10.Jänner2017 10/35

Gegeben:

n

Bauteil

j

λ j

Fragen:WielautetdieAusfallratedesGesamtsystems?BerehnensiedieMTFund

dieVerteilungvon

T f

Sei

p j

j

P =

− Q n

i =

(

− p j ).

SetztmandieRealibility Funktionein,erhältman

R(t) =

− Q n

i =

(

− R j (t))

undsomit

R(t) =

− Q n

i=

(

− e ^{−t λ j} ).

RehnetmansihdieMTFaus,erhältman

MTTF

= P n j=

1

λ _j − P n−

j=

P n i=j+

1

λ _i + λ _j

+ P n−

j=

P n−

i =j+

P n k=i +

1

λ _i + λ _j + λ _k − · · · + (−

) ⁿ⁻

^P

λ _j .

DadasSystemausfällt,wennalleKomponentenausfallen, gilt

T f =

{T

, . . . , T n }

T i

i

groÿe

n

T f

High level redundany

⇔

Angenommen, wirhabeneinSystemzuentwerfen,dasszweiOperationenmittels

Baustein

A

B

r A

r B

ZuverlässigkeitdesSystemszuerhöhen,willmanjezweiBauteile

A

B

EskommendabeidiezweimöglihenAnordnungeninBetraht:

WelheobigeAnordnunghatdiehöhereZuverlässigkeit?

EsgiltfürdieAnordnungseriell-parallel

r sp =

− (

− r B )

1

− (

− r A )

undfürdieAnordnungparallel-seriell

r ps =

− (

− r A r B )

.

BerehnetmandieDierenz

r sp − r ps =

r A (

− r A )r B (

− r B ),

sosiehtman,dassdieseDierenzimmerpositivist. DamitistdieAnordnung

seriell-parallel,besseralsparallel-seriell.

High level redundany

⇔

Angenommen, wirhabeneinSystemzuentwerfen,dasszweiOperationenmittels

Baustein

A

B

r A

r B

ZuverlässigkeitdesSystemszuerhöhen,willmanjezweiBauteile

A

B

EskommendabeidiezweimöglihenAnordnungeninBetraht:

WelheobigeAnordnunghatdiehöhereZuverlässigkeit?

SetztmandieWerte

r A =

.

r B =

.

seriell-parallelundparallel-seriell

r sp = (

−

.

)(

−

.

) =

.

, r ps = (

−

.

·

.

) =

.

.

FürdieWerte

r A = r B =

.

parallel-seriell

r sp = (

− (

−

.

)

)

=

.

, r ps = (

−

.

)

=

.

.

Gegeben: vier Propeller

mitBuhstaben

A

B

C

und

D

Flugzeug iegt, wenn

mindestens ein Propel-

ler auf jedem Flügel

funktioniert, führt da-

zu, dass diebeiden Flü-

gelSeriellzubetrahten

- Ausfall der Antriebs-

FunktionaufbeidenFlü-

gelnentsprihtdemSys-

temausfall.

Parallel und Seriellmussniht immermitder geometrishenAnordnung

übereinstimmen. Angenommen manhateinen Stromkreismiteinen

Shalter. Man möhtedie Zuverlässigkeit desShalters(beim unterbrehen

des Stromkreises)erhöhen, indemmaneinen Shalterhinzufügt.Diesen

mussman dannin Serie(physikalish)zushalten,aberin denBerehnung

modelliertmandiese Systemparallel.Umgekehrt,angenommen der

Stromkreisistnormalerweiseunterbrohen undman möhteihnnur im

FalleeinesUnfalls zushalten,mussman die Shalterparallel anbringen,

um die Zuverlässigkeitzu erhöhen.

Ein Systembestehtaus mehrerenSubsystemen,die jeweils vershiedene

Ausfallsraten besitzen. Berehnen Siedie Zuverlässigkeit

R(t)

Abbildung:ReliabilityBlokDiagramm

figure17

SiehabendieAuswahlzwisheneinenteuren,abersehrZuverlässigenBauteil(B1),oder

parallelgeshaltetbilligenBauteilen(B2).

B1kostet779,dieZuverlässigkeitistexponentialverteiltmitParameter0

.

B1kostet249,dieZuverlässigkeitistexponentialverteiltmitParameter0

.

NurBauteil1:

R

(t) =

− e ⁻

^.

^t

ZweiBauteile2:

R

(t) =

−

− e ⁻

^.

^t

=

e ⁻

^.

^t − e ⁻

^.

^t

DreiBauteile2:

R

(t) =

−

− e ⁻

^.

^t

;

VierBauteile2:

R

(t) =

−

− e ⁻

^.

^t

;

0 10 20 30 40 50

0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1

Realibility

Zeit t

kurzes Zeitinterval Bauteil 1 2 Bauteile 2 3 Bauteile 2 4 Bauteile 2

0 50 100 150 200 250 300 350

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

Realibility

Zeit t

langes Zeitinterval

Bauteil 1

2 Bauteile 2

3 Bauteile 2

4 Bauteile 2

Abbildung:ReliabilityBlokDiagramm

ebling-105

DasSystem wirdinzwei Systemezerlegt:

Abbildung:ZerlegtesDiagramm

ebling-105-2

Nah derFormelvon Bayesgiltsomit

R _ges = R _E R _zweitesSys + (

− R _E ) R _drittesSys . .

DasSystem wirdinzwei Systemezerlegt:

Abbildung:ZerlegtesDiagramm

ebling-105-2

Nah derFormelvon Bayesgiltsomit

R _ges = R _E R _zweitesSys + (

− R _E ) R _drittesSys . .

Angenommen

R _A = R _B =

.

R _C = R _D =

.

R _E =

.

Berehnen Sie dieZuverlässigkeit desGesamtsystems.

DasBremssystemin einemAutobesteht auseinemhydraulishen System

(Bremspedal) undaus einemmehanishen System(Handbremse). Beide

Untersysteme müssen ausfallen,damitdas Bremssystemversagt.Das

hydraulishe Systemfälltaus sobaldderHauptbremszylinderausfällt

(Ereignis

M

WC

, . . . , WC

),oderder Bremsbelag fälltaus (Ereignisse

BP

, . . . , BP

Dasmehanishe Bremssystemfälltaus fallsdas Kabelsystemausfällt

(Ereignis

C

Denition

Ein minimalerWeg istein Weg im Blokdiagramm.FallsalleKomponenten

auf diesenWeg funktionieren,so funktioniertdas Gesamtsystem.

Eine minimaleShnittmenge istein ShnittimBlokdiagramm.Fallen alle

Komponenten diesesShnittes aus,so fälltdasGesamtsystem aus.

MittelssolherMengenkann manuntere und obereShranken der

Gesamtzuverlässigkeit einesSystemsangeben. Hierist eswihtigdassdie

Mengen aus disjunktenElementenbestehen,und dieseunabhängig sind.

Denition

Ein minimalerWeg istein Weg im Blokdiagramm.FallsalleKomponenten

auf diesenWeg funktionieren,so funktioniertdas Gesamtsystem.

Eine minimaleShnittmenge istein ShnittimBlokdiagramm.Fallen alle

Komponenten diesesShnittes aus,so fälltdasGesamtsystem aus.

1

Angenommen die MinimalenShnittmengensind

{S _k ^cut : k =

, . . . , K }

R _ges ≤

K

Y

k=

n

1

− Y

i∈S _k ^cut

1

− R _i o .

2

Umgekehrt, seiendie MinimalenWegegegeben durh

{S _k ^path : k =

, . . . , K }

R _ges ≥

−

k ^′

Y

k=

h

1

− Y

path

R _i i

.

1

AngenommendieMinimalenShnittmengensind

{S _k ^cut : k =

, . . . , K}

R ges ≤

K

Y

k=

n

1

− Y

i ∈S _k ^cut

1

− R i

o .

2

Umgekehrt,seiendieMinimalenWegegegebendurh

{S _k ^path : k =

, . . . , K}

Danngilt

R ges ≥

−

k ^′

Y

k=

h

1

− Y

i∈S ^path _k

R i

i .

Aufgabe

Angenommen

R _D = R _A =

.

R _B = R _c = R _E = R _f =

.

untereund obere Abshätzungder ZuverlässigkeitdesGesamtsystemsan.

MinimaleWege:

{A, B} , {A, C } , {D, E } , {D, F }

MinimaleShnittmengen:

{A, D}

{B, C, E , F}

In diesemFallsind die

n

angeshaltet. Fälltdieses aus,kommt dasnähste dran. DasSystemfällt

aus, sobaldauh das

n

SystememitkalterReserve (Cold standby)

Systememitheiÿer Reserve(Hot standby)

Der Bauteilist während der Reserve ausgeshaltet

⇒

kaputtgehen.

Für die Ausfallzeit

T _f ^S

i

Bauteils ist

T _f ⁱ

T _f ^S = P n i=

T _f ⁱ .

In diesemFallgilt

f _T S

f (t) = (f _T ⁱ

f ) ^{(n) ⋆} (t).

Für die MTTFgilt,

MTTF

= − ^d

f ˆ _{T S}

f

ds = _λ ⁿ .

EinSystembestehtaus

n

n

exponentialverteiltmitParameter

λ

f _T i

f (t) = λe ^{−λ t} ,

f ˆ _T i

f (s ) = _s+ ^λ _λ , i =

, . . . n.

DamitgiltfürdieLaplaetransformiertedesGesamtsystems

f ˆ _T S f

folgendes

f ˆ _T S

f = _(s+ ^λ _λ ⁿ ₎ n .

DiesistabergenaudieLaplaetransfomiertederGammaVerteilungundes giltdamit

f _T S

f (t) = ^λ _(n− ^{n t n −}

1

)! e ^{−λ t} .

Da

R (t) =

− R t

0

f _T S

f (s) ds

gilt,ist

R(t)

λt

R(t) = e ^{−λ t} P n−

k=

( λ t) ^k

k! .

EinSystembestehtaus2Bauteilen.AngenommendieLebensdauerderbeidenBauteile

istexponentialverteiltmitParameter

λ

λ

f _T

f (t) = λ

e ^−λ

^t ,

f ˆ _T

f (s) = _s+ ^λ

_λ

1

,

und

f _T

f (t) = λ

e ^−λ

^t ,

f ˆ _T

f (s) = _s+ ^λ

λ

2

,

DamitgiltfürdieLaplaetransformiertedesGesamtsystems

f ˆ _T S f

f ˆ _T S f = _(s+ ^λ

_λ

1

) λ

2

(s+ λ

2

) .

Somit

f _T S

f (t) = _λ ^λ

^λ

1

−λ

2

e ^−λ

^t − e ^−λ

^t .

und

R(t) = ^λ

^{e − λ} λ

^{t −λ}

^{e − λ}

^t

1

−λ

2

und

MTTF

= _λ

1

+ _λ

2

.

BauteilesindwährendsiewartenimStandbymodus,

⇒

BezeihnenwirdieDihteder AusfallwahrsheinlihkeitimStand byModusmit

f ¯ _T ⁱ

f

,soerhaltenwirfür dieAusfallzeitzeit

T _f ^S

T _f ^S =

n

X

i=

T _f ⁱ ,

wobeidieAusfallzeitendes

i

T _f ⁱ

angenommen,dassdieAusfallzeitendereinzelnenBauteileunabhängig

voneinandersind.Indiesem Fallgilt

f _T ^S

f (t ) = (f _T ⁱ

f ) ^{(n) ⋆} (t ).

EinSystembestehtaus

n

k

Bauteilefunktiontühtigsind.

DieWahrsheinlihkeitdasseinBauteilzur Zeit

t

p

Gefragt istdieWahrsheinlihkeit,dasszueinemZeitpunkt

t

funktionieren.

P (

) = n

k

p ^k (

− p) ^n−k .

DamitdasGesamtsystemfunktionstühtigist,müssenmindestens

k

n

Bauteilefunktionieren.Esgiltsomit

P (

) = P k i=

n i

p ⁱ (

− p) ^{n − i} .

Ist

k =

k = n

Serienshaltung.

Commenausefailure

◮

Designormaterialdeieny

◮

Installationerror

◮

Maintenaneerror

◮

harshenvironment(vibration,ontamination,radiation,

. . .

Casading failure(propagationfailure- Dominoeet)

Negative Abhängigkeit: Angenommen manhat zwei Komponenten.

Sei

A i

i

◮

DieKomponentenhaben einepositive Anhängigkeit,falls

P(A

| A

) > P(A

)

P(A

| A

) > P(A

)

◮

DieKomponentenhaben einenegativeAnhängigkeit,falls

P(A

| A

) < P(A

)

P(A

| A

) < P(A

)

Thesquare rootmodel

The

β

Thebinomialfailurerate model;

The

β

Es gibt zwei Typen von Fehlern:

FehlerTyp1:Fehler verursaht durhdie Komponente;

FehlerTyp2:Fehler verursaht durhommonlaw;

Es gibt zwei Ausfallraten:

λ ^{(i )}

i

λ ^(c)

Annahme: EinEintretendesFehlersvon Typ1 undein Eintreten des

FehlersvonTyp2 sindunabhängig.

Commonause fator:

β = _{λ (i} ^λ ₎ ^(c)

+ λ (c) = ^λ _λ ^(c) .

The

β

Gegeben Bauteile

A

, · · · A _n

C

Annahme:

n

λ ⁽ⁱ⁾

gegeben;

EinShok Eregnisverursaht zugleiheinenShaden an mehreren

Komponenten.

DieWartezeitauf das Shokereignisist exponentiellverteilt mit

Parameter

ν

Trittso ein Shokeregnisein,so gilt

P (

A _i

) = p.