Z ve

(1)

0. Teil

Prof.ErikaHausenblas

MontanuniversitätLeoben,Österreih

10.Jänner2017

(2)

1

Der Wahrsheinlihkeitsraum

2

DieVerteilungsfunktion undIhre Dihte

3

Unabhängigkeit

4

Bedingte Wahrsheinlihkeit und dieFormel von Bayes

(3)

Die Grundmenge

Ω

^und Elementarereignisse

Ω

Grundmenge,

ω

^Element

ω ∈ Ω

^:

ω

^ist^Element^von

Ω

Example

Werfen einesWürfels:

Ω = {

¹

,

²

,

³

,

⁴

,

⁵

,

⁶

}

^.

Example

Lebensdauer einesBauteiles:

Ω = [

⁰

, ∞ )

^.

Example

Überprüfungvon

n

^Bauteilenôb^diese^defekt ⁽⁼¹⁾ôderîntakt ⁽⁼⁰⁾^sind.

Ω = (ω

¹

, ω

²

, . . . , ω n ) : ω i =

⁰

,

¹

, i =

¹

, . . . , n }

^.

(4)

Example

Werfen eines Würfels:

Ω =

^I^N;

A = {

²

;

⁴

;

⁶

} = { n ∈ Ω : n

^ist^durh²

teilbar

}

^.

Example

Lebensdauer eines Bauteiles:

Ω = [

⁰

, ∞ ); A = {

^das ^Bauteil^ist

innerhalbder Garantiezeitvoneinen halben Jahrkaputtgegangen

}

^;

A = {

^Das^Bauteil^blieb^ein ^ganzes^Jahr ^intakt

}

^.

Example

Überprüfung von

n

^Bauteilen ôb ^diese ^defekt⁽⁼¹⁾ ôder întakt ⁽⁼⁰⁾

sind.

Ω = (ω

1

, ω

2

, . . . , ω _n ) : ω _i =

⁰

,

¹

, i =

¹

, . . . , n }

^.

A = { (

¹

,

⁰

,

⁰

,

¹

, · · · ,

⁰

), (

⁰

,

⁰

,

⁰

, . . . ,

⁰

) }

^,

A = { ω ∈ Ω : P n

j =

¹

ω j ≤

³

}

^.

(5)

1

A

1

⊂ A

2

bedeutet,

A

1

istTeilmenge von

A

2

,d.h.,aus

ω ∈ A

1

folgt

ω ∈ A

2

;

2

A

¹

⊃ A

² ^bedeutet,

A

² ^ist^T^eilmenge ^von

A

¹^,^d.h.,^aus

ω ∈ A

²^folgt

ω ∈ A

¹^;

3

A

¹

= A

² ^,^falls

A

¹

⊂ A

² ^und

A

¹

⊃ A

²^;

Example

Der Würfel::

{ Ω = {

¹

,

²

,

³

,

⁴

,

⁵

,

⁶

}

^;ElementarEreignisse

{

¹

} , {

²

} , · · · , {

⁶

}

^.^Das

Ereignis

A

¹

= {

²

}

^tritt^genau^dann ^ein,^wenn^die^Zahl²^gewürfelt ^wird.^Das

Ereignis

A

2

= {

²

,

⁴

,

⁶

}

^tritt^genau^dann^ein,^wenn^eine^gerade^Zahl^gewürfelt

wird.Alsogilt:

A

1

⊂ A

2

,d.h.,wenn

A

1

eintritt,danntrittauh

A

2 ein.

Example

Lebensdauer einesBauteiles:

{ Ω = [

⁰

, ∞ )

^;ElementarEreignisse

P ([

⁰

, ∞ ) =

allemöglihenTeilmengendiemittels denIntervalgebildetwerdenkönnen.Z.B.

[

⁰

,

¹

2

), (

¹⁰⁰

,

²⁰⁰⁰

) ∪ [

⁵⁰⁰

,

³⁰⁰⁰

), . . .

^.^Das^Ereignis

A

1

= [

⁰

,

³⁰⁰

)

^tritt^genau^dann

einfallsdasBauteilwenigerals300Stundengearbeitethat, DasEreignis

A

²

= [

⁵⁰⁰

, ∞ )

^falls^das^Bauteil^nah⁵⁰⁰^noh ^intakt^war.

(6)

Seien

A, B, C ⊂ Ω

^beliebigeTeilmengen.Dann gelten

Eindeutigkeitsgesetze:

A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅ ; A ∪ Ω = Ω; A ∩ Ω = A

(allgemein:falls

A ⊂ B

^,^dann ^gilt

A ∩ B = A; A ∪ B = B

^);

de MorgansheGesetze:

(A ∪ B) ^c = A ^c ∩ B ^c ; (A ∩ B ) ^c = A ^c ∪ B ^c

^;

AssoziativGesetze:

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C ; A (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C

^;

DistributivGesetze:

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ); A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

^.

(7)

Denition

Gegeben seiein Maÿraum

(Ω, F )

^.^DasWahrsheinlihkeitsmaÿ isteine Abbildung

P : F −→ [

⁰

,

¹

], A 7→ P (A).

Für

A ∈ F

^heiÿt

P (A)

Wahrsheinlihkeit desEreignisses

A ∈ F

^.

Example

Der Würfel:Sei

Ω = {

¹

,

²

,

³

,

⁴

,

⁵

,

⁶

}

^und

F

^sei^die ^Menge ^aller^möglihen

Teilmengenvon

Ω

^,^d.h.

F = { Ω, {

¹

,

²

,

³

,

⁴

,

⁵

} , {

¹

,

²

,

³

,

⁴

,

⁶

} , {

¹

,

²

,

³

,

⁵

,

⁶

} , . . . , {

¹

} , {

²

}

^,

{

³

}

^,

{

⁴

} , {

⁵

} , {

⁶

} , ∅}

^. ^Das Wahrsheinlihkeitsmaÿ

denierenwirfolgendermaÿen:

Sei

A ∈ F

^.^Dann ^setzen^wir

P (A) = | A | /

^6.

(8)

Denition

Gegeben seiein Maÿraum

(Ω, F )

^.^DasWahrsheinlihkeitsmaÿ isteine Abbildung

P : F −→ [

⁰

,

¹

], A 7→ P (A).

Für

A ∈ F

^heiÿt

P (A)

Wahrsheinlihkeit desEreignisses

A ∈ F

^.

Lebensdauer von Bauteilen:

Sei

Ω = [

⁰

, ∞ ) }

^und

F

^sei ^die ^Menge^aller ^möglihen^durh^Intervalle

erzeugten Teilmengen von

Ω

^;^DasWahrsheinlihkeitsmaÿ denierenwir folgendermaÿen: Sei

f (x) = λ

^exp

( − λx)

^,

I = [a, b)

^.^Sei

T

^die ^Zeitpunkt^zu

den einbestimmtesBauteildefektwurde.Dann setzen wir

Prob

(T ∈ I ) = P (I ) = Z b

a

f (x) dx.

(9)

EineZufallsvariableisteineAbbildungvon

Ω

ⁱⁿ^die^reellen^Zahlen.

Example

Sei

Ω

^die^Menge^aller^möglihenUnfallverläufeeinesAuahrtsunfall,und

F

^die

MengeallermöglihenTeilmengenvon

Ω

^.^Sei

X : Ω → R

ω 7→ X(ω) =

^Kosten^die^ein^Unfall^mitUnfallverlauf

ω

^verursaht.

Example

Sei

Ω

^die^Menge^aller^möglihenWetterverläufe einesTagesund

F

^die^Menge

allermöglihenTeilmengenvon

Ω

^.^Sei

X : Ω → R

ω 7→ X (ω) =

WassermengediesihineinenGefässmiteinen

QuadratzentimeterGrundähebei Wetterverlauf

ω

angesammelthat.

(10)

Example

Sei

Ω

^die^Menge^aller^möglihenUnfallverläufeeinesAuahrtunfalls,und

F

^die

MengeallermöglihenTeilmengenvon

Ω

^.^Sei

X : Ω → R

X (ω) 7→

^Kosten^die^ein^Unfall^mitUnfallverlauf

ω

^verursaht.

Für dieVersiherungistderUnfallverlauf uninteressant,wihtigsinddieKosten

dieeinUnfallverursaht.BevoreinUnfallgeshieht,kannmandiese aberniht

vorhersagen,mankannaberausden ErfahrungswertendieKostenvorhersagen.

DieskannmanmiteinerVerteilungsfunktionmodellieren.

DieWahrsheinlihkeit,dassdieKostenim Interval

[a, b]

^liegen^ist

P([a, b]) := P ( { ω ∈ Ω : X (ω) ∈ (a, b) } ) .

DieFunktion

x 7→ P ( { ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x } )

istdieVerteilungsfunktionvon

X

^.

Sei

x >

^0.^DieWahrsheinlihkeitdass dieKostendesUnfallsmehrals

x

^Euro

betragen, kanndurhdieVerteilungsfunktion diedurh auf induziertwird,

berehnetwerden.DamitistdieVerteilungsfunktion 1

ausBeispiel14gegeben

durh

1

ImSkriptumbezeihnenwirdieVerteilungsfunktioneinergegebenenZufallsvariable

Prof.ErikaHausenblas (Leoben ) Zuverlässigkeit 10.Jänner2017 10/17

(11)

Sei

X

^eineZufallsvariableüber

(Ω, F , P)

^und

F X

^die^zugehörige

Verteilungsfunktion,d.h.,

F (x) := P (X ≤ x) , x ∈ R.

Bemerkung:

Mankannzeigen,dass

F X : R → R

^folgendeEigenshaftenbesitzt:

1

F X : R → [

⁰

,

¹

]

^;

2

lim

x→−∞ F X (x ) =

⁰^und^lim

x→∞ F X (x) =

^1;

3

F X (x) ≤ F X (y)

^für

x ≤ y

⁽

F X

^ist^monoton^steigend).

(12)

Umgekehrt,isteineFunktion

F

^stetig,^so^besitzt^diese^Funktion^eine^Dihte.^Dass

heiÿt,esgibteinenihtnegativeFunktion

f : R → R

^,^sodass ^gilt

F(x) =

Z x

−∞

f (y) dy, −∞ < a < ∞ .

⁽¹⁾

Umgekehrt,isteinenihtnegativeFunktion

f

^die^Ableitung^von

F

^,^d.h.

f (x ) =

^lim

∆ x →

0

F(x + ∆x) − F (x )

∆x

=

^d

F (x )

d

x

und

R ^∞

−∞ f (x ) dx =

^1,^dann^ist

F

^deniert^durh⁽¹⁾^eineVerteilungsfunktion.

(13)

Denition

EineZufallsvariableheiÿtstetig verteiltmitDihte

f

^,^falls^sih^ihre

Verteilungsfunktion

F : R → R

ⁱⁿ^folgender^Weise^shreiben ^lässt:

F(x) = Z x

−∞

f (y ) dy, x ∈ R.

(14)

Gegeben:Zufallsvariable

X

^mitDihtefunktion

f X

^,Verteilungsfunktion

F X

^:

WihtigeKennwertevon Verteilungsfunktionen:

Erwartungswert:

m X = EX = R ^∞

−∞ xf X (x ) dx

^;

Varianz:

v X = E (X − EX )

²

= R ^∞

−∞ (x − m X )

²

f X (x) dx

^;

Standardabweihung:

σ X = √ v X

^;

Shiefe:

v (X ) := E

X −m x

σ _X

²

3

.

Median:

P (X ≥

^median

) =

⁰

.

^5;

α

^Quantile:

F ⁻

¹

(α)

^;

Modalwert: Modus

x D

ôder^Modalwertîst^bei êinerêmpirishen

HäugkeitsverteilungderhäugstvorkommendeWert.

(15)

Denition

ZweiZufallsvariable

X

^und

Y

^auf^einemWahrsheinlihkeitsraum

(Ω; F ; P)

heiÿenunabhängig,wennfür beliebigeMengen

A

^und

B ∈ F

^gilt

P( { ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A

^und

X (ω) ∈ B } )

= P( { ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A } ) · P( { ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B } ).

Beispiel Würfel:

A = {

^Es^wurde ^eine³^gewürfelt

}

^,

B = {

^Die^Zahl^war^ungerade

}

^.

Example

A = {

^erstes^Bauteilexplodierte

}

^,

B = {

^dasdanebenliegendeBauteilnahm Shaden

}

^.

(16)

diebedingteWahrsheinlihkeitdesEreignisses

A

^unter^der^Bedingung

B

^:

P (A | B) = P (A ∩ B)

P(B) .

⁽²⁾

Beispiel Würfel:

A = {

^die^gewürfelte^Zahl^ist³

}

^,

B = {

^die^gewürfelte^Zahl^ist^ungerade

}

^.

(17)

VorIhnenStehendreiShahteln,eineistmitOrangengefüllt,einemitÄpfeln

gefülltundeinezurHälftemitÄpfelnundzur HälftemitOrangengefüllt.

SiegehenzurerstenShahtelundnehmen einenApfelheraus. Wiegrossistdie

WahrsheinlihkeitdassdiesdieShahtelistdieganzmitÄpfelngefülltistoder

zur HälftemitÄpfelnund zurHälftemitOrangengefülltist.

Satz dertotalenWahrsheinlihkeit:

Sei

{ B i : i =

¹

, . . . , n }

^eine^Partition^von

Ω

^,^d.h.

B i

^und

B j

^sind^disjunkt^für

i 6 = j

und

∪ ⁿ i =

¹

B i = Ω

^.^Dann ^gilt

P(A) =

n

X

i =

¹

P(A | B i )P(B i ).

Z ve

Ω

Ω

ω

ω ∈ Ω

ω

Ω

Ω = {

,

,

,

,

,

}

Ω = [

, ∞ )

n

Ω = (ω

, ω

, . . . , ω n ) : ω i =

,

, i =

, . . . , n }

Ω =

A = {

;

;

} = { n ∈ Ω : n

}

Ω = [

, ∞ ); A = {

}

A = {

}

n

Ω = (ω

, ω

, . . . , ω n ) : ω i =

,

, i =

, . . . , n }

A = { (

,

,

,

, · · · ,

), (

,

,

, . . . ,

) }

A = { ω ∈ Ω : P n

j =

ω j ≤

}

A

⊂ A

A

A

ω ∈ A

ω ∈ A

A

⊃ A

A

A

ω ∈ A

ω ∈ A

A

= A

A

⊂ A

A

⊃ A

{ Ω = {

,

,

,

,

,

}

Z ve

, . . . , ω _n ) : ω _i =

(A ∪ B) ^c = A ^c ∩ B ^c ; (A ∩ B ) ^c = A ^c ∪ B ^c