Riikheie 2. Tei

2. Teil

Prof.ErikaHausenblas

MontanuniversitätLeoben,Österreih

25.April 2018

1

Bayes'hesFiltern

Zwei Kategorien vonRisiken:

denobjektivenRisiken:z.B.diePSzahleinesAutos,der Hubraum,das

Gewiht,et..;

unddensubjektivenRisiken(nihtobjektivmessbareRisiken):

Risikobereitshaft,dasKönnen,dasFahrverhaltendesFahrers,

Temperament,diegenaueKilometeranzahl,et....

JederAutofahrer

a

^{hat sein}individuellesRisikoprol,dasdurhden Parameter

ϑ a

^{beshriebenwird.DieserParameterkannWerteaus}

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

^{dieMengeallermöglihenWertefür}

ϑ a

^darstellt.

JederAutofahrer

a

^{hat sein}individuellesRisikoprol,dasdurhden Parameter

ϑ a

^{beshriebenwird.DieserParameterkannWerteaus}

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

^{dieMengeallermöglihenWertefür}

ϑ a

^darstellt.

FüreinenbestimmtenAutofahreristder genaueWert von

ϑ a

^zumeist

unbekannt.Aus StatistikenkannmanaberRükshlüsseauf dieVerteilung

von

ϑ a

^{mahen,sosinddiemeistenAutofahrervorsihtig,allerdingsgibtes}

einigeAusreiÿer,dieimmerwiederUnfälleverursahen.

JederAutofahrer

a

^{hat sein}individuellesRisikoprol,dasdurhden Parameter

ϑ a

^{beshriebenwird.DieserParameterkannWerteaus}

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

^{dieMengeallermöglihenWertefür}

ϑ a

^darstellt.

FüreinenbestimmtenAutofahreristder genaueWert von

ϑ a

^zumeist

unbekannt.Aus StatistikenkannmanaberRükshlüsseauf dieVerteilung

von

ϑ a

^{mahen,sosinddiemeistenAutofahrervorsihtig,allerdingsgibtes}

einigeAusreiÿer,dieimmerwiederUnfälleverursahen.

A'prioriVerteilungdesParameters

ϑ a

JederAutofahrer

a

^{hat sein}individuellesRisikoprol,dasdurhden Parameter

ϑ a

^{beshriebenwird.DieserParameterkannWerteaus}

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

^{dieMengeallermöglihenWertefür}

ϑ a

^darstellt.

FüreinenbestimmtenAutofahreristder genaueWert von

ϑ a

^zumeist

unbekannt.Aus StatistikenkannmanaberRükshlüsseauf dieVerteilung

von

ϑ a

^{mahen,sosinddiemeistenAutofahrervorsihtig,allerdingsgibtes}

einigeAusreiÿer,dieimmerwiederUnfälleverursahen.

A'prioriVerteilungdesParameters

ϑ a

A'prioriistdieRisikobereitshaftimFahrverhaltenbei Abshlusseines

Vertrageshoh.FahrenSiejetzteinigeZeitUnfallfrei,werdendieDaten

miteinbezogenunddieAutohaftpihtversiherungordnetIhre

Risikobereitshaftgeringerein.DieWahrsheinlihkeitimnähstenJahr

einenUnfallzuverursahenist(statistishgesehen)geringerundIhre

Prämiesinkt.

Variablen

JederAutofahrerhateineRisikobereitshaft

Θ

^,dieseRisikobereitshaftist wirdalsZufallsvariableinterpretiert;

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

^{dieForderungeines}VersihertenimJahr

j

^miteiner

Verteilung

F ϑ

^{dievomParameter}

ϑ = Θ

^abhängt.

Variablen

JederAutofahrerhateineRisikobereitshaft

Θ

^,dieseRisikobereitshaftist wirdalsZufallsvariableinterpretiert;

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

^{dieForderungeines}VersihertenimJahr

j

^miteiner

Verteilung

F ϑ

^{dievomParameter}

ϑ = Θ

^abhängt.

GegebenimJahre

n

^:

ForderungvondenletztenJahren,d.h.X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Variablen

JederAutofahrerhateineRisikobereitshaft

Θ

^,dieseRisikobereitshaftist wirdalsZufallsvariableinterpretiert;

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

^{dieForderungeines}VersihertenimJahr

j

^miteiner

Verteilung

F ϑ

^{dievomParameter}

ϑ = Θ

^abhängt.

GegebenimJahre

n

^:

ForderungvondenletztenJahren,d.h.X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Aufgabe:

DieindividuellePrämienfürdasnähsteJahrallerAutofahrerberehnen.

Variablen

JederAutofahrerhateineRisikobereitshaft

Θ

^,dieseRisikobereitshaftist wirdalsZufallsvariableinterpretiert;

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

^{dieForderungeines}VersihertenimJahr

j

^miteiner

Verteilung

F ϑ

^{dievomParameter}

ϑ = Θ

^abhängt.

GegebenimJahre

n

^:

ForderungvondenletztenJahren,d.h.X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Aufgabe:

DieindividuellePrämienfürdasnähsteJahrallerAutofahrerberehnen.

DazuistdieVerteilungvon

X n+

^{1 zushätzen.DaunterderBedingungdass}

ϑ

bekanntist,derTypderVerteilung

F ϑ

^{bekanntist,heiÿtdiesdass derParameter}

ϑ

^{geshätztwerdensoll.Um}

ϑ

^{zushätzen,könnenwirnurauf dieDatenX}

zurükgreifen.

Variablen

JederAutofahrerhateineRisikobereitshaft

Θ

^,dieseRisikobereitshaftist wirdalsZufallsvariableinterpretiert;

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

^{dieForderungeines}VersihertenimJahr

j

^miteiner

Verteilung

F ϑ

^{dievomParameter}

ϑ = Θ

^abhängt.

GegebenimJahre

n

^:

ForderungvondenletztenJahren,d.h.X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Aufgabe:

DieindividuellePrämienfürdasnähsteJahrallerAutofahrerberehnen.

DazuistdieVerteilungvon

X n+

^{zushätzen.DaunterderBedingungdass}

ϑ

UmdasModellmathematishformulierenzukönnenwerdenfolgendeAnnahmen

gemaht:

Ist

Θ = ϑ

^{gegeben,dann sind}

X

1

, X

2

, . . .

unabhängig,identishverteilt und

X

1

∼ F ϑ

^.

Identisheverteiltistgleihzu setztenmitstationärität-damitkannman

aufhistorisheDatenzurükgreifen-InationundandereEinussfaktoren

müssendabei herausgerehnetwerden.

UmdasModellmathematishformulierenzukönnenwerdenfolgendeAnnahmen

gemaht:

Ist

Θ = ϑ

^{gegeben,dann sind}

X

1

, X

2

, . . .

unabhängig,identishverteilt und

X

1

∼ F ϑ

^.

Identisheverteiltistgleihzu setztenmitstationärität-damitkannman

aufhistorisheDatenzurükgreifen-InationundandereEinussfaktoren

müssendabei herausgerehnetwerden.

Θ

^isteineZufallsvariablemitVerteilungsfunktion

U

^undDihtefunktion

u

undVerteilungsfunktion

U

^.Diese VerteilungsfunktionheiÿtStruktur FunktiondesKollektives (struturalfuntionoftheolletive).

Problem:

Gegeben X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

^{,zushätzenistdiePrämiefürdasnähsteJahr.Die}

PrämiehängtvomParameter

ϑ

^{ab, aberdieserParameterhängtvon}

(X , . . . , X n ) ^′ T

Allgemein gibtesbestimmte MöglihkeitenPrämien(oderRüklagen) zu

berehnen. Dabeihat maneineZufallsvariable

X

^{,die denmöglihen}

Verlust (Risiko,Forderungen) bezeihnet.In unserenFall,gilt

X = X _n+

1 ist

die Forderung im Jahre

n +

^1:

Allgemein gibtesbestimmte MöglihkeitenPrämien(oderRüklagen) zu

berehnen. Dabeihat maneineZufallsvariable

X

^{,die denmöglihen}

Verlust (Risiko,Forderungen) bezeihnet.In unserenFall,gilt

X = X _n+

1 ist

die Forderung im Jahre

n +

^1:

Möglihkeiteneine Prämien festzusetzten

X 7→ (

¹

+ α) E X , α >

^{0( expetation priniple )}

X 7→ E X + β

^Std

(X ), β >

^{0( Standard Deviation Priniple)}

X 7→ E X + γ

^Var

(X ), γ >

^{0 ( Variane Priniple)}

X 7→

¹

_δ

^ln

( E e ^{δ X} ), δ >

^{0 (}Exponential Priniple)

Aufgrundder Daten X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

^{,istder Wert}

E [X _n+

¹

| ϑ]

^,bzw.

E [µ(Θ) | Θ| = µ(ϑ)

^{zu Shätzen.}

Denition

DieKorrekte individuellePrämieistgegeben durh

P ^ind = E [X _n+

1

| ϑ] = Z ^∞

0

x dF ϑ (x) =: µ(ϑ).

Denition

DieKollektivePrämieistgegeben durh

P ^coll = Z

D _Θ

µ(ϑ) dU(ϑ) =: µ

0

.

Hier bezeihnet

D _Θ

^{die Menge allerzulässigen (undmöglihen ) Parameter}

Θ

^,i.e.

D _Θ := {ϑ | ϑ

^{istalsParametermöglih}

}

^.

MinimierungderAbweihung:

Sei

L(ϑ, T (

^x

))

^{der Verlust,diesihergibt,falls}

ϑ

^{der rihtigeParameteristund}

T (

^x

)

^{derausderBeobahtungx}

= (x

¹

, . . . , x n ) ∈ R ⁿ

^{geshätzteWert von}

µ(ϑ)

ist.EinemögliheVerlustfunktionwärez.B.diequadratisheFunktion

L(ϑ, T (

^x

)) = (µ(ϑ) − T (

^x

))

²

.

MinimierungderAbweihung:

Sei

L(ϑ, T (

^x

))

^{der Verlust,diesihergibt,falls}

ϑ

^{der rihtigeParameteristund}

T (

^x

)

^{derausderBeobahtungx}

= (x

¹

, . . . , x n ) ∈ R ⁿ

^{geshätzteWert von}

µ(ϑ)

ist.EinemögliheVerlustfunktionwärez.B.diequadratisheFunktion

L(ϑ, T (

^x

)) = (µ(ϑ) − T (

^x

))

²

.

Risikofunktion

R T (ϑ,

^x

) := E ϑ [L(ϑ, T (

^x

))] = L(ϑ, T (

^x

)) dF ϑ (x

¹

) · · · dF ϑ (x n ).

Risikofunktion

R T (ϑ,

^x

) := E ϑ [L(ϑ, T (

^x

))] = L(ϑ, T (

^x

)) dF _ϑ (x

¹

) · · · dF _ϑ (x n ).

Risikofunktion

R T (ϑ,

^x

) := E ϑ [L(ϑ, T (

^x

))] = L(ϑ, T (

^x

)) dF _ϑ (x

¹

) · · · dF _ϑ (x n ).

Denition

Bayes'sher Riskoshätzervon

T

^mitAnfangsverteilung

U (ϑ)

^:

R T (

^x

) := R

D R T (ϑ,

^x

) dU(ϑ).

Risikofunktion

R T (ϑ,

^x

) := E ϑ [L(ϑ, T (

^x

))] = L(ϑ, T (

^x

)) dF _ϑ (x

¹

) · · · dF _ϑ (x n ).

Denition

Bayes'sher Riskoshätzervon

T

^mitAnfangsverteilung

U (ϑ)

^:

R T (

^x

) := R

D R T (ϑ,

^x

) dU(ϑ).

Denition

DerBayes'sherShätzer von

T

^{istgegebendurh}

T (

^x

) :=

^argmin

_{t: R} ⁿ →D R t (

^x

),

T : R ⁿ → R

Verteilungsfunktion:

P (K = k

^imZeitintervall

(

⁰

, t) )

= p(k; (

⁰

, t), λ) = (λt ) ^k

k ! e ^{− kλt} , k =

¹

,

²

, . . . .

DerErwartungswertlautet

EX = λt.

DieVarianzlautet

Var

[X ] = λt .

0 5 10 15 20 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

k

p(k;(0,1),λ)

Poisson Verteilung, λ=0.5

0 5 10 15 20 25

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

k

p(k;(0,1),λ)

Poisson Verteilung, λ=1

0 5 10 15 20 25

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

k

p(k;(0,1),λ)

Poisson Verteilung, λ=2

0 5 10 15 20 25

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

k

p(k;(0,1),λ)

Poisson Verteilung, λ=5

DieDihtefunktioneinerGamma-verteiltenZustandsvariable

X ∼ Γ(k ; λ)

^mit

reellwertigenParametern

k >

^0und

λ >

^0hatfür

x >

^0dieGestalt

f (x) = _Γ(k ^{λ k} ₎ · x ^{k −}

¹

· e ^{− λx} .

Dabei ist

Γ(x) = R ^∞

0

t ^{x −}

¹

e ^{− t} dt

diesogenannteGammaFunktion.

Erwartungswert:

EX = ^k _λ ,

^{dieVarianz:Var}

[X ] = _λ ^k

²

.

DieSummezweierunabhängig

Γ

-verteilterZufallsvariablen

X

1

∼ Γ(k

1

, λ)

^,

X

2

∼ Γ(k

2

, λ) (k

1

, k

2

>

^0)mit

demselbenVerteilungsparameter

λ >

^{0istselbstauh}

Γ

^{verteiltmitParameter}

λ

^undesgilt

X

1

+ X

2

∼ Γ(k

1

+ k

2

, λ)

^.Insbesonderelässtsihfür

k

^{ganzzahligeine}

Γ

^-verteilteZufallsvariableals

k

^faheSumme

von

k

unabhängigenexponentialverteilterZufallsvariableninterpretieren.

1.5 2 2.5

f X(x)

Γ−Verteilung, λ=0.25

k=0.5 k=0 k=1.5 k=2.0

1.5 2 2.5

f X(x)

Γ−Verteilung, λ=0.5

k=0.5 k=0 k=1.5 k=2.0

1.5 2 2.5

f X(x)

Γ−Verteilung, λ=1

k=0.5 k=1 k=1.5 k=2.0

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

f X(x)

Γ−Verteilung, λ=2

k=0.5

k=0

k=1.5

k=2.0

1

GegebenseidasRisikoprol

ϑ

^desAutofahrers.Danngilt

E [X j | Θ = ϑ] = C · E [N j | Θ = ϑ]

wobei

C

^{nurvonder PS-ZahldesAutos abhängtund}

E [N j | Θ = ϑ]

^vom

Fahrer(bzw.dessenRisikobereitshaft)anhängt.

2

Gegebenist

Θ = ϑ

^{,dann sinddie}

{N j : j =

¹

, . . . , n, n +

¹

}

^{unabhängigund}

PoissonverteiltmitParameter

ϑ

^{, i.e.}

f ϑ (N j ) = P (N j = k | Θ = ϑ) = e ^{− ϑ} ϑ ^k k ! .

3

DieZufallsvariable

Θ

^{istGammaverteiltmitParametern}

γ

^und

β

^.Genauer,

dieDihtefunktionlautet

u(ϑ) = ( _β γ

Γ(γ) ϑ ^{γ −}

¹

e ^{− β ϑ} , ϑ >

⁰

,

0 sonst

.

Bemerkung

Esgilt

E[Θ] = γ

β

^{und Var}

[Θ] = γ β

²

.

DurheinekurzeRehnunglässtsihfolgendeszeigen

E[N n+

¹

| Θ = ϑ] =

∞

X

k=

⁰

P(N n+

¹

= k | Θ = ϑ) · k =

∞

X

k =

⁰

e ^{− ϑ} ϑ ^k k ! · k

= ϑe ^{− ϑ}

∞

X

k =

¹

ϑ ^k−

¹

(k −

¹

)! = ϑe ^{− ϑ} e ^ϑ = ϑ.

Proposition

Unterdenobengenannten Annahmengilt

P ^ind = E [N n+

¹

| Θ] = Θ, P ^coll = E[Θ] = γ

β , P ^bayes = γ + P n

j=

¹

N j

β + n = α

N

¯ + (

¹

− α) γ β ,

wobei

α = n/(n + β)

^undN

¯ =

¹

_n P n

j=

¹

N j

^{. Weitersgiltfür dieAbweihungder}

geshätztenPrämiezureigentlihenPrämie

E h

P ^Bayes − Θ

²

i

= (

¹

− α) E h

P ^coll − Θ

²

i

= αE

( ¯ N − Θ)

²

.

k 0 1 2 3 4 5 6 Total

N(k ) = #

^Polizen

mitkForderungen 103704 14075 1766 255 45 6 2 119853

Poisson Negative Binomial

k beobahtete (

λ =

⁰

.

^{1555) (}

γ =

¹

.

⁰⁰¹

, β =

⁶

.

⁴⁵⁸⁾

0 103 704 102 629 103 757

1 14 075 15 922 13 934

2 1 766 1 234 1 871

3 255 64 251

4 45 3 34

4 6 0 5

6 2 0 1