TARTU aeaaika ja aiika ii aeaaika eia

(1)

Matemaatika ja statistika instituut

Matemaatika eriala

Margus Lillemäe

Numbriline meetod Caputo

tuletisega diferentsiaalvõrrandi

lahendamiseks

Bakalaureusetöö (9 EAP)

Juhendaja: prof Arvet Pedas

TARTU 2016

(2)

lahendamiseks

Bakalaureusetöö

Margus Lillemäe

Lühikokkuvõte. Bakalaureusetöös esitatakse numbriline meetod Caputo tuleti-

sega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks. Seega alguses tuuakse sisse mõningaid

murrulistetuletistegaseotudomadusi.Pealemeetodikirjeldustrakendatakse mee-

todit konkreetsete näidete korral. Lõpus esitatakse vastavad tabelid ja joonised

vaadeldud meetodilsaadud tulemuste kirjeldamiseks.

CERCS teaduseriala: P130 Funktsioonid, dierentsiaalvõrrandid

Märksõnad:Cauhyülesanded,funktsioonidelähendamine,kollokatsioonimeeto-

did, murdtuletised, splainid.

Numerial method for solving a dierential equation with

the Caputo derivative

Bahelor's thesis

Margus Lillemäe

Abstrat:Theobjetiveofthisbahelor'sthesisistopresentanumerialmethod

tosolveadierentialequationwhihhastheCaputoderivative.Atrstarebrought

some attributes of the frational derivative. After that the method is applied to

onrete examples. At the end are appropriate tables and guresto help desribe

the method's results.

CERCS researh speialisation: P130 Funtions, dierentialequations

Key words. Cauhy problems, approximation of funtions, olloation method,

frationalderivatives, splines.

(3)

Sissejuhatus . . . 4

1 Gammafunktsioon . . . 5

2 RiemannLiouville'i integraal ja murruline tuletis . . . 7

3 Caputo murruline tuletis . . . 12

4 Murrulise tuletisega diferentsiaalvõrrandi lahendamine . . . 16

5 Splain-kollokatsioonimeetodikirjeldus . . . 18

6 Cauhy ülesande lähislahendi leidmine . . . 22

7 Näiteid Caputo tuletisega Cauhy ülesande lahendamisest . . . . 28

Kirjandus . . . 31

Lisa . . . 32

(4)

Käesolev bakalaureusetöö käsitleb mõningaid murruliste tuletistega seotud oma-

dusi ning algtingimusega diferentsiaalvõrrandi ligikaudset lahendamist juhul, kui

võrrandisesinevotsitav funktsioononCaputo

α

^-ndat^järku ^murruline^tuletis,^kus

α ∈ (0, 1)

^. ^Kahe ^konkreetse ^näite ^korral ^saadud numbrilised tulemused näitavad meetodi abilsaadudlähislahendi küllaltsuurt täpsust.

Bakalaureusetööesimesedkolmpeatükkionreferatiivsed,mispõhiliselttugine-

vadtöödele[2℄,[4℄ja[5℄.Peatükisnelitoodudülesandelahendamisegaseotudmee-

todikirjelduspärinebartiklist[6℄.Peatükis5esitatudsplain-kollokatsioonimeetodi

kirjelduselolialuseksmonograaa[1℄.Töönäideteosasolentoonud samadnäited,

mistöös [8℄, et oleksvõimalikvõrrelda erinevate meetodite abilsaadud tulemusi.

EsimesespeatükistoomesissematemaatiliseanalüüsikursustestEulerigamma-

ja beetafunktsiooni omadused.

Teises peatükis esitame Riemann-Liouville'i integraali ja Riemann-Liouville'i

tuletisedenitsioonidkoos mõningate omadustega.

Kolmandas peatükis deneerime Caputomurrulist järkutuletise.

Neljandas peatükis esitame Caputotuletisega diferentsiaalvõrrandija esitame

sellise ülesande numbrilise lahendamise skeemi.

Viiendas peatükis kirjeldame töös rakendatavat splain-kollokatsioonimeetodit.

KuuendaspeatükisarvutameväljalähislahendiCaputotuletisegadiferentsiaal-

võrrandile.

Viimases peatükis rakendame töös kirjeldatud meetodit konkreetsete näidete

korral.Lõpuks meesitamevastavadtabelidjajoonisedvaadeldudmeetodilsaadud

tulemuste kirjeldamiseks.

(5)

Selles peatükis esitame matemaatilise analüüsi kursusest tuntud Euleri gamma-

ja beetafunktsiooni omadusi. Neid läheb vaja käesoleva töö järgnevates osades.

Seejuures tugineme G.Kangro õpikutele[3℄ja [4℄.

Denitsioon 1.1. Parameetrist

α

^sõltuvat ^päratut^integraali

Γ(α) :=

Z ∞ 0

e ^−t t ^α−1

^d

t

nimetatakse gammafunktsiooniks.

Näitame, etpäratu integraal

Z ∞ 0

e ^−t t ^α−1

^d

t

^(1.1)

koondub,kui

α > 0

^.

Olgu

α > 0

^. ^Kirjutame^integraali^(1.1) ^kahe ^integraali^summana:

Z ∞ 0

e ^−t t ^α−1

^d

t = Z 1

0

e ^−t t ^α−1

^d

t + Z ∞

1

e ^−t t ^α−1

^d

t

^. ^(1.2)

Võrduse (1.2) parema poole esimene liidetav on juhul

α < 1

^punkti

0

^ümbruses

tõkestamata. Kuna

e ⁻¹

t ^1−α 6 e ^−t

t ^1−α < 1

t ^1−α , t ∈ (0, 1],

siismatemaatiliseanalüüsikursusesttuntudintegraalidevõrdluslausepõhjalinteg-

raal

Z 1 0

e ^−t t ^α−1

^d

t

koondub.Uurime nüüd võrduse (1.2) parema pooleteist liidetavat

Z ∞ 1

e ^−t t ^α−1

^d

t.

^(1.3)

Paneme tähele, et

t→∞ lim e ^−t t ^α+1 = 0.

Seega leidubparameetrist

α

^sõltuv ^konstant

M

^, ^et^iga

t > 1

^korral

−t α+1

(6)

e ^−t t ^α−1 6 Mt ⁻² .

Sellest võrratusest järeldub integraalide võrdluslause põhjal, et päratu integraal

(1.3) koondub. Kunavõrduse (1.2) paremapoolemõlemadliidetavadkoonduvad,

siiskoondub ka vasak pool.

Järgmisena tuletame gammafunktsiooni taandamisvalemi. Olgu

α > 0

^. ^Ositi

integreerides saame, et

Γ(α + 1) = Z ∞

0

e ^−t t ^α

^d

t = −e ^−t t ^α

∞ 0 + α

Z ∞ 0

e ^−t t ^α−1

^d

t = α Z ∞

0

e ^−t t ^α−1

^d

t

^.

Seega gammafunktsioonidenitsioonipõhjal

Γ(α + 1) = αΓ(α)

^iga

α > 0

^korral. ^(1.4)

Taandamisvalemitkorduvalt rakendades leiame,et kui

n ∈ N

ja

α > n − 1

^,^siis

Γ(α + 1) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)Γ(α − n + 1).

Seega, pidadessilmas võrdust

Γ(1) = Z ∞

0

e ^−t

^d

t = 1,

saame (võttes eelnevastaandamisvalemis

α = n

⁾

Γ(n + 1) = n!

^iga

n ∈ N ₀

korral. (1.5)

Deneerime nüüd beetafunktsiooni.

Denitsioon 1.2. Parameetritest

a, b ∈ (0, ∞)

^sõltuvat^päratut^integraali

B

(a, b) :=

Z 1 0

t ^a−1 (1 − t) ^b−1

^d

t

nimetatakse beetafunktsiooniks.

Gammafunktsioonija beetafunktsioonivahel kehtibseos

B

(a, b) = Γ(a + b)

Γ(a)Γ(b) , a, b > 1,

^(1.6)

milletõestus onesitatud G.Kangro õpikus [4,247249℄.

(7)

tuletis

Caputo murrulise tuletisedeneerimiseks on vaja kõigepealt sisse tuua Riemann-

Liouville'i integraali ja tuletise, millele lisaks toome välja mõned kasulikud oma-

dused. Järgnev esitus tuginebtöödel[2℄, [5℄ja [7℄.

Olgu

D

^operaator, ^mis ^seab ^lõigus

[a, b]

⁽

a, b ∈ R

,

a < b

⁾ diferentseeruvale funktsioonile

f

^vastavusse ^tema ^tuletise

f ^′

^:

(Df )(t) = f ^′ (t), t ∈ [a, b].

^(2.1)

Olgu

J α

^operaator,^mis^teisendab^lõigus

[a, b]

integreeruvafunktsiooni

f

^funktsioo-

niks

(J α f )

^, ^mis ^on^määratud ^valemiga

(J α f )(t) =

Z t a

f (τ)

^d

τ, t ∈ [a, b]

^(2.2)

Iga

n ∈ N

korralhakkame kasutamasümboleid

D ⁿ

^ja

J _a ⁿ

tähistamaksoperaatorite

D

^ja

J a n

^-kordset rakendamist:

D ¹ = D, J _a ¹ = J a ,

D ⁿ = DD ⁿ⁻¹ , J _a ⁿ = J a J _a ⁿ⁻¹ .

Deneerime

D 0 = I

^ja

J _a ⁰ = I

^,^kus

I

^on ühikoperaator,s.o

I(f)(t) = f(t)

^.

Teoreem 2.1 (vt nt [3, lk 367℄). Olgu

f : [a, b] → R

pidev funktsioon ja olgu

F : [a, b] → R

, kus

F (t) = Z t

a

f (τ)

^d

τ, t ∈ [a, b].

Siis funktsioon

F

^on diferentseeruv, kusjuures

F ^′ = f.

Olgu funktsioon

f

^pidev ^lõigus

[a, b]

^. ^Siis^teoreemi ^2.1^põhjal

DJ a f = f,

seega iga

n ∈ N

korral

D ⁿ J _a ⁿ f = D ⁿ⁻¹ DJ a J _a ⁿ⁻¹ f = D ⁿ⁻¹ IJ _a ⁿ⁻¹ f = D ⁿ⁻¹ J _a ⁿ⁻¹ f,

^(2.3)

millest matemaatiliseinduktsioonimeetodiabiljäreldub, et

n n

(8)

seega operaator

D ⁿ

^on^operaatori

J _a ⁿ

vasakpoolne pöördoperaator.

Olgu

a, b ∈ R

,

a < b

^, ^ning ^olgu

n ∈ N

. Tähistamelõigus

[a, b] n

^korda ^pidevalt

diferentseeruvatefunktsioonide hulgasümboliga

C ⁿ [a, b]

^.^Me^kirjutame

C ⁰ [a, b] :=

C[a, b]

^.

Lause 2.2. Olgu

m, n ∈ N

,

m > n

^, ^ja

f ∈ C ⁿ [a, b]

^. ^Siis

(D ⁿ f )(t) = D ^m J _a ^m−n f

(t), t ∈ [a, b].

Tõestus. Valemi(2.4) põhjaliga

t ∈ [a, b]

^korral

f (t) = D ^m−n J _a ^m−n f

(t),

seega

(D ⁿ f) (t) = D ⁿ D ^m−n J _a ^m−n f

(t) = D ^m J _a ^m−n f (t).

Lause 2.3 (vt nt [7,lk 221-224℄). Olgu

f

^lõigus

[a, b]

integreeruv funktsioon. Siis iga

m ∈ N

korral kehtib valem

(J _a ⁿ f)(t) = 1 (n − 1)!

Z t a

(t − τ ) ⁿ⁻¹ f (τ)

^d

τ, t ∈ [a, b].

Märkus 2.1. Eelmist valemit tuntakse Cauhyvalemi nime all.

Järgmine denitsioonionüks viis deneeridaüldistatumat integraali.

Denitsioon 2.1. Olgu

α > 0

^. Operaatorit

RL J _a ^α

^hulgal

C[a, b]

^, ^mis^on^deneeri-

tud võrdusega

( RL J _a ^α f)(t) = 1 Γ(α)

Z t a

(t − τ) ^α−1 f (τ)

^d

τ, t ∈ [a, b],

nimetatakseRiemannLiouville'i

α

^-järkuintegraaloperaatoriks.Funktsiooni

RL J _a ^α f

nimetatakse funktsiooni

f

Riemann-Liouville'i

α

^-järku integraaliks.

Järgnevas deneerime

RL J _a ⁰ = I

^, ^kus

I

^onühikoperaator.

Kui

α ∈ N

, siis seose (1.5) põhjal

RL J _a ^α = J _a ^α

^.

Edaspidises tähistame sümboliga

⌈α⌉

^vähimat ^täisarvu, ^mis ^on ^suurem ^või

võrdne arvuga

α ∈ R

.

Lause 2.4 (vt nt [5, lk 37℄). Olgu

α, β > 0

^ja

f ∈ C[a, b]

^. ^Siis

α β α+β

(9)

Denitsioon 2.2. Olgu

α > 0

^ja

m := ⌈α⌉

^. ^Olgu ^funktsioon

f ∈ C[a, b]

^selline,

et

RL J _a ^m−α f ∈ C ^m [a, b]

^. ^Siisoperaatorit

RL D _a ^α

^,^mis ^on^deneeritud ^valemiga

( RL D _a ^α f) (t) = D ^m RL J _a ^m−a f

(t) (t ∈ [a, b])

nimetatakseRiemann-Liouville'i

α

^-järkudiferentsiaaloperaatoriks.Funktsiooni

RL D _a ^α f

nimetatakse funktsiooni

f

Riemann-Liouville'i

α

^-järku tuletiseks.

RL D _a ⁰ = I

^, ^kus

I

^on ühikoperaator.

Panemetähele, etkui

α ∈ N

, siis

m = ⌈α⌉ = α

^ja

( RL D _a ^α f) (t) = D ^m RL J _a ^m−α f

(t) = D ^m RL J _a ^m−m f (t)

= D ^m RL J _a ⁰ f

(t) = (D ^m If) (t)

= (D ^m f ) (t), t ∈ [a, b].

Teiste sõnadega,

α = m ∈ N

korral operaator

RL D _a ^m

^ühtib ^tavalise

m

^-järku ^dife-

rentsiaaloperaatoriga

D ^m

^.

Lause 2.5. Olgu

α > 0

^,

a, b ∈ R , f ∈ C[a, b]

^. ^Siis

( RL D _a ^α ( RL J _a ^α f)) (t) = f (t), t ∈ [a, b].

Tõestus. Olgu

α > 0, m := ⌈α⌉, a, b ∈ R , f ∈ C[a, b]

^. ^Siis denitsiooni 2.2 põhjal

( RL D _a ^α ( RL J _a ^α f)) (t) = D ^m RL J _a ^m−α ( RL J _a ^α f )

(t), (t ∈ [a, b]).

Lause 2.4ja seose (2.4) abil

( _RL D _a ^α ( _RL J _a ^α f)) (t) = D ^m _RL J _a ^m−α ( _RL J _a ^α f ) (t)

= (D ^m RL J _a ^m f ) (t)

= (If) (t) = f(t), t ∈ [a, b].

Lause 2.6. Olgu

α, β > 0

^,

a, b ∈ R

. Kui

ψ ∈ C[a, b]

^ja

f = RL J _a ^α+β ψ

^, ^siis

RL D _a ^α RL D _a ^β f

(t) = RL D ^α+β _a f

(t), t ∈ [a, b].

^(2.6)

Tõestus. Kui

α = 0

^või

β = 0

^, ^siis^väide^(2.6) ^kehtib. ^Olgu

α, β > 0

^ja

m := ⌈α⌉

ning

n := ⌈β⌉

^.^Kui

ψ ∈ C[a, b]

^ja

f = RL J _a ^α+β ψ

^,^siis denitsiooni2.2põhjal

RL D ^α _a RL D _a ^β f

(t) = RL D ^α _a RL D ^β _{a RL} J _a ^α+β ψ (t)

= D ^m J ^m−α D ⁿ J ^n−β J ^α+β ψ

(t), t ∈ [a, b].

(10)

D ^m RL J _a ^m−α D ⁿ RL J _a ^n−β RL J _a ^α+β ψ

(t) = D ^m RL J _a ^m−α D ⁿ RL J _a ^n+α ψ (t)

= D ^m RL J _a ^m−α (D ⁿ RL J _{a RL} ⁿ J _a ^α ψ) (t)

= D ^m RL J _a ^m−α RL J _a ^α ψ (t)

= (D ^m _RL J _a ^m ψ ) (t)

= (D ^m J _a ^m ψ) (t)

= ψ(t), t ∈ [a, b].

Seega

RL D ^α _a RL D ^β _a f

(t) = ψ(t), t ∈ [a, b].

Kuna

f = RL J _a ^α+β ,

siis

RL D _a ^α+β f = ψ.

Järelikult

RL D _a ^α RL D _a ^β f

(t) = RL D ^α+β _a f

(t), t ∈ [a, b].

Järgnevasnäitesnäemeühtpõhjust,etmiksonRiemann-Liouville'imurrulisele

tuletiselelisaksdeneeritudCaputomurrulinetuletis.Nimeltselgub,etRiemann-

Liouville'imurrulinetuletis konstandist eipruugi alatiolla

0

^.

Näide 2.1. Olgu

a, b ∈ R

,

α > 0

^ja

m := ⌈α⌉

^. ^Olgu

f (t) = c

^, ^kus

t ∈ [a, b]

^ja

c ∈ R

. Leiame selle

α

^-ndat ^järku Riemann-Liouville'ituletise.

Olgu algul

α = m ∈ N

. Siis Riemann-Liouville'i

α

^-ndat ^järku ^tuletise ^denit-

sioonijärel tehtud tähelepaneku tõttu

( _RL D ^α _a f ) (t) = (D ^m f )(t) = 0, t ∈ [a, b].

Olgu nüüd

α 6∈ N

. Siisdenitsioonidest 2.1ja 2.2järeldub, et

( RL D _a ^α f ) (t) = D ^m RL J _a ^m−α f (t)

= D ^m

1 Γ(m − α)

Z t a

(t − τ) ^m−α−1 c

^d

τ

= c

Γ(m − α)(m − α) D ^m (−(t − τ) ^m−α )

τ=t τ=a

!

= c

Γ(m − α)(m − α) D ^m [(t − a) ^m−α ], t ∈ [a, b].

(11)

D ^m [(t − a) ^m−α ] = (m − α)(m − α − 1) · · · (m − α − (m − 1))(t − a) ^m−α−m

= (m − α)(m − α − 1) · · · (1 − α)(t − a) ^−α , t ∈ [a, b],

siisvalemi (1.4)

(m − 1)

^-kordse rakendamise teel saame

Γ(m − α) = (m − α − 1)Γ(m − α − 1)

= . . . .

= (m − α − 1) · · · (1 − α)Γ(1 − α)

Seega saame,et

α 6∈ N

korral

( RL D _a ^α f ) (t) = c(t − a) ^−α

Γ(1 − α) , t ∈ [a, b],

misei olevõrdne nulliga kui

c 6= 0

^.

(12)

Selles peatükis toome sisse Caputo murrulisetuletise. Järgnev esitus tugineb põ-

hiliselt töödel [2℄ ja [5℄.

Olgu

α > 0

^,

m := ⌈α⌉

^,

a, b ∈ R

,

f ∈ C ^m−1 [a, b]

^. ^Tähistame

(m − 1)

^-järku

Taylori polünoomifunktsioonist

f

^sümboliga

T m−1 [f ; a]

^:

(T _m−1 [f ; a]) (t) =

m−1

X

k=0

f ^(k) (a)

k! (t − a) ^k .

^(3.1)

Denitsioon3.1. Olgu

α > 0

^,

m := ⌈α⌉

^,

a, b ∈ R

.Olgufunktsioon

f ∈ C ^m−1 [a, b]

selline, et

RL J _a ^m−α (f − T m−1 [f; a])) ∈ C ^m [a, b]

^. ^Siis operaatorit

C D _a ^α

^, ^mis^on ^de-

neeritud võrdusega

( C D _a ^α f )(t) = ( RL D _a ^α (f − T m−1 [f ; a])) (t) (t ∈ [a, b])

nimetatakse Caputo

α

^-järku diferentsiaaloperaatoriks.Funktsiooni

C D _a ^α f

^nimeta-

takse funktsiooni

f

^Caputo

α

^-järku tuletiseks.

C D ⁰ _a = I

^, ^kus

I

^onühikoperaator.

Paneme tähele, et kui

α = m ∈ N

, siis operaator

C D _a ⁰

^ühtib ^tavalise

m

^-järku

diferentsiaaloperaatoriga

D ^m

^.Tõepoolest, selliseljuhul

( _C D ^α _a f ) (t) = ( _RL D _a ^α (f − T _m−1 [f; a])) (t)

= ( RL D ^α _a (f)(t) − ( RL D _a ^α T m−1 [f ; a])) (t)

= (D ^m f) (t) − D ^m (T m−1 [f, a]) (t)

= (D ^m f) (t), t ∈ [a, b],

sest

m

^-järku^tuletis

(m − 1)

^-järkupolünoomist onnull.

Panemekatähele, et

( C D _{a RL} ^α J _a ^α f )(t) = f (t)

^(3.2)

Tõepoolest, denitsiooni3.1 põhjalsaame

( C D _{a RL} ^α J _a ^α f)(t) = ( RL D _a ^α ( RL J _a ^α f − T m−1 [ RL J _a ^α f; a])) (t)

= ( RL D _a ^α ( RL J _a ^α f)) (t)

− ( RL D _a ^α (T m−1 [ RL J _a ^α f ; a])) (t).

(13)

( RL D _a ^α ( RL J _a ^α f)) (t) = ( RL D _{a RL} ^α J _a ^α f) (t)

= (If ) (t)

= f(t).

Denitsiooni2.1põhjal

( _RL J _a ^α f ) (a) = 1 Γ(α)

Z a a

(a − τ ) ^α−1 f(τ )

^d

τ

= 1

Γ(α) 0

= 0.

Seega

(T m−1 [ RL J _a ^α f ; a]) (t) = 0.

Näitest 2.1järeldub, et

( RL D _a ^α (T m−1 [ RL J _a ^α f ; a])) = 0.

Järgmist lauset kasutatakse kirjanduses tihti denitsioonina.

Lause 3.1. Olgu

α > 0

^,

m := ⌈α⌉

^,

a, b ∈ R

,

f ∈ C ^m [a, b]

^. ^Siis

( C D ^α _a f )(t) = RL J _a ^m−α D ^m f

(t), t ∈ [a, b].

Tõestus. Olgualgul

α = m ∈ N

.SiiseelnevaarutelualuselCaputo

m

^-järku^dife-

rentsiaaloperaatorühtibtavalise

m

^-järkudiferentsiaaloperaatoriga.Lisakseelmise peatüki põhjalsaame, et

I = RL J _a ⁰ = RL J _a ^m−α ,

kus

I

^onühikoperaator.Seegakehtibväideerijuhul

α = m ∈ N

.Olgunüüd

α 6∈ N

. Siis

( _C D ^α _a f )(t) = ( _RL D ^α _a (f − T _m−1 [f; a])) (t)

= D ^m RL J _a ^m−α (f − T m−1 [f; a]) (t)

= d ^m dt ^m

Z t a

(t − τ) ^m−α−1

Γ(m − α) (f (τ ) − T m−1 [f ; a](τ ))

^d

τ.

(14)

u = f (τ) − T m−1 [f ; a](τ),

^d

u = D (f (τ) − T m−1 [f ; a](τ))

^d

τ,

d

v = (t − τ ) ^m−α−1

Γ(m − α)

^d

τ, v = − (t − τ ) ^m−α Γ(m − α + 1) ,

saame

Z t a

(t − τ) ^m−α−1

Γ(m − α) (f (τ) − T _m−1 [f; a](τ ))

^d

τ

= − (t − τ ) ^m−α

Γ(m − α + 1) (f(τ ) − T m−1 [f; a](τ ))

τ=t

τ=a

+ 1

Γ(m − α + 1) Z t

a

(D(f(τ ) − T m−1 [f; a])(τ))(t − τ ) ^m−α

^d

τ

= 1

Γ(m − α + 1) Z t

a

(D(f(τ ) − T m−1 [f ; a])(τ ))(t − τ) ^m−α

^d

τ.

Seega

RL J _a ^m−α (f − T m−1 [f ; a]) = RL J _a ^m−α+1 D(f − T m−1 [f; a]).

Kui integreerida avaldist

RL J _a ^m−α (f − T m−1 [f; a])

^ositi

m

^korda, ^siis

( RL J _a ^m−α (f − T m−1 [f; a]))(t) = ( RL J _a ^2m−α D ^m (f − T m−1 [f ; a]))(t)

= ( RL J _{a RL} ^m J _a ^m−α D ^m (f − T m−1 [f ; a]))(t)

= (J _{a RL} ^m J _a ^m−α D ^m f )(t), t ∈ [a, b].

Järelikult

( _RL D _a ^α (f − T _m−1 [f ; a]))(t) = (D ^m _RL J _a ^m−α (f − T _m−1 [f ; a]))(t)

= (D ^m J _{a RL} ^m J _a ^m−α D ^m f)(t)

= ( RL J _a ^m−α D ^m f )(t), t ∈ [a, b].

Järgnev näidetoobväljaoluliseerinevuseCaputo

a

^-ndat^järku ^murrulise^tule-

tise ja Riemann-Liouville'i

a

^-järku ^murrulise ^tuletise^vahel.

(15)

Näide 3.1. Olgu

a, b ∈ R

,

α > 0

^ja

m := ⌈α⌉

^. ^Olgu

f(t) = c

^, ^kui

t ∈ [a, b]

^ja

c ∈ R

. Denitsiooni3.1ja lause 3.1põhal saame

( _C D ^α _a f )(t) = ( _RL J _a ^m−α D ^m f )(t)

= 1

Γ(m − α) Z t

a

(t − τ ) ^m−α−1 c ^(m) dτ

= 1

Γ(m − α) Z t

a

(t − τ ) ^m−α−1 0

^d

τ

= 1

Γ(m − α) Z t

a

0

^d

τ = 0.

Teisitiõeldes,Caputo

a

^-ndat ^järku ^tuletiskonstandist on null.

(16)

lahendamine

Selles peatükis toodud materjalpärineb artiklist [6℄.

Olgu

α ∈ (0, 1)

^. ^Soovime ^leida ^Caputo ^murrulise ^tuletisega ^lineaarse ^Cauhy

ülesande

(

C D ₀ ^α y(t) + p(t)y(t) = q(t), t ∈ [0, b],

y(0) = y ₀ ,

^(4.1)

lahendit

y = y(t)

^lõigul

[0, b]

^. ^Järgnevas ^tähistame

z = C D ^α ₀ y

^. ^Valemist ^(3.2)

järeldub

y = _RL J ₀ ^α z + c, c ∈ R .

Denitsioonist2.1 saame

( RL J ₀ ^α z) (t) = 1 Γ(α)

Z t 0

(t − s) ^α−1 z(s)

^d

s, t ∈ [0, b].

Kuna

y(0) = y 0

^,^siis

y ₀ = ( _RL J ₀ ^α z) (0) + c

= 0 + c

= c.

Seega

y = RL J ₀ ^α z + y 0 .

^(4.2)

Asetame avaldise (4.2) diferentsiaalvõrrandisse

C D ^α ₀ y + p(t)y = q

^:

C D ^α ₀ RL J ₀ ^α z + y 0

(t) + p(t) ( RL J ₀ ^α z) (t) + y 0

= q(t).

Võrdusest (3.2)ja näite 3.1 tõttujäreldub siit,et

z(t) + p(t) Γ(α)

Z t 0

(t − s) ^α−1 z(s)

^d

s = q(t) − y ₀ p(t),

ehk

z(t) +

Z t p(t)

Γ(α) (t − s) ^α−1 z(s)

^d

s = q(t) − y 0 p(t)

^(4.3)

(17)

K(t, s) = p(t)

Γ(α) (t − s) ^α−1 , g(t) = q(t) − y 0 p(t),

saame võrrandi (4.3) kirjutada kujul

z(t) + Z t

0

K(t, s)z(s)

^d

s = g(t), 0 6 t 6 b.

^(4.4)

Viimane onVolterra tüüpi integraalvõrrand, kusotsitavaks on

z

^. ^Lahendades ^võr-

rand (4.4) saame leida suuruse

z

^võrduses ^(4.2). ^Ülesande ^(4.1) ^lahendi

y

^leida

võrduse (4.2) abil. Antud töös vaatleme ühte ligikaudset meetodit võrrandi (4.4)

lahendamiseks ning seejärel ülesande (4.1) lähislahendi leidmisekskujul (4.2).

(18)

Siin peatükis esitatud splain-kollokatsioonimeetodikirjeldusel on aluseks monog-

raaa [1℄.

VaatlemeVolterra integraalvõrranditkujul

z(x) + Z x

0

K(x, s)z(s)

^d

s = g(x), 0 6 x 6 b,

^(5.1)

kus

K

^ja

g

^on^antudfunktsioonid.Jaotameiga

n ∈ N

korrallõigu

[0, b] n

^osalõiguks

sõlmpunktidega

0 = x ⁽ⁿ⁾ ₀ < x ⁽ⁿ⁾ ₁ < · · · < x ⁽ⁿ⁾ _n = b.

Tähistagu

∆ n

sõlmpunktide hulka,s.t

∆ n = n

x ⁽ⁿ⁾ ₀ , x ⁽ⁿ⁾ ₁ , . . . , x ⁽ⁿ⁾ _n−1 , x ⁽ⁿ⁾ _n o .

Hulka

∆ n

nimetatakse lõigul

[0, b]

^antud ^võrguks.^Võru ^on^ühtlane, ^kui

x ⁽ⁿ⁾ _i = i · h, i = 0, 1, . . . , n, h = b

n .

Võrk

∆ n

^jagab^lõigu

[0, b]

osahulkadeks

σ 0 = [x ⁽ⁿ⁾ ₀ , x ⁽ⁿ⁾ ₁ ], σ j = (x ⁽ⁿ⁾ _j , x ⁽ⁿ⁾ _j+1 ], j = 1, . . . , n − 1.

Valime

m

⁽

m ∈ N

)kollokatsiooniparameetrit

η 1 , . . . , η m

^selliselt,^et

0 6 η ₁ < · · · < η _m 6 1.

Seejärel deneerimekollokatsioonipunktid valemiga

x ⁽ⁿ⁾ _jk = x ⁽ⁿ⁾ _j + η _k h _j ,

^(5.2)

kus

h _j = x ⁽ⁿ⁾ _j+1 − x ⁽ⁿ⁾ _j , j = 0, 1, . . . , n − 1, k = 1, . . . , m.

Võrrandi(5.1)lähislahendit

z n (x)

^otsimepolünomiaalsetesplainide(tükiti

(m−

1)

^-järkupolünoomide) ruumist

S _m−1 ⁽⁻¹⁾ (∆ n ) =

w : [0, b] → R , w(x)

∈ π m−1 , j = 0, 1, . . . , n − 1

,

(19)

kus

π m−1

^on ^kõigi ^ülimalt

(m − 1)

^-järku polünoomide hulk. Paneme tähele, et

w ∈ S _m−1 ⁽⁻¹⁾

^võib ^olla^katkev ^punktides

x ⁽ⁿ⁾ _j

^,

j = 1, . . . , n − 1

^.

Lähislahendi

z n (x)

^leidmiseks ^asetame ^ta algvõrrandisse (5.1) otsitava

z(x)

asemele ning nõuame, et võrrand oleks rahuldatud kollokatsioonipunktides

x ⁽ⁿ⁾ _jk

^,

j = 0, 1, . . . , n − 1

^,

k = 1, . . . , m

^:

z n (x ⁽ⁿ⁾ _jk ) + Z x ⁽ⁿ⁾ _jk

0

K (x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z n (s)

^d

s = g(x ⁽ⁿ⁾ _jk ),

j = 0, 1, . . . , n − 1, k = 1, . . . , m.

(5.3)

Seosed (5.3) võime integraaliaditiivsusetõttu kirjutada kujul

z _n (x ⁽ⁿ⁾ _0k ) + Z x ⁽ⁿ⁾ _0k

x ⁽ⁿ⁾ ₀

K(x ⁽ⁿ⁾ _0k , s)z _n (s)

^d

s = g(x ⁽ⁿ⁾ _0k ), k = 1, . . . , m;

(5.4)

z n (x ⁽ⁿ⁾ _jk ) +

j−1

X

i=0

Z x ⁽ⁿ⁾ _i+1 x ⁽ⁿ⁾ _i

K (x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z n (s)

^d

s + Z x ⁽ⁿ⁾ _jk

x ⁽ⁿ⁾ _j

K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z n (s)

^d

s = g(x ⁽ⁿ⁾ _jk ), j = 1, . . . , n − 1; k = 1, . . . , m.

(5.5)

Järgnevasannamevõrranditele(5.4)ja(5.5)teisekuju.Selleksteemeintegraalides

Z x ⁽ⁿ⁾ _i+1 x ⁽ⁿ⁾ _i

K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z _n (s)

^d

s

ja

Z x ⁽ⁿ⁾ _jk x ⁽ⁿ⁾ _j

K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z n (s)

^d

s

vastavaltmuutujatevahetused

s = x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ

^ja

s = x ⁽ⁿ⁾ _j + h j τ.

^Siis^esimesel^juhul

d

s = h _i

^d

τ

^ja ^teisel ^juhul ^d

s = h _j

^d

τ

^ning ^seega

Z x ⁽ⁿ⁾ _i+1

x ⁽ⁿ⁾ _i

K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z n (s)

^d

s = h i

Z 1 0

K (x ⁽ⁿ⁾ _jk , x i + h i τ)z n (x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ)

^d

τ

ja

Z x ⁽ⁿ⁾ _jk

(n) K (x ⁽ⁿ⁾ _jk , s)z n (s)

^d

s = h j

Z η k

K (x ⁽ⁿ⁾ _jk , x ⁽ⁿ⁾ _j + h j τ )z n (x ⁽ⁿ⁾ _j + h j τ)

^d

τ.

(20)

Toome nüüd sisse

(m − 1)

^-järku ^Lagrange'i fundamentaalpolünoomid

L k (τ )

^, ^mis

vastavad kollokatsiooniparameetritele

0 6 η 1 < · · · < η m 6 1

^:

L k (τ ) =

m

Y

l=1, l6=k

τ − η l

η _k − η _l , τ ∈ [0, 1], k = 0, 1, . . . , m.

^(5.6)

Siis

z n (x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ ) =

m

X

k=1

z n (x ⁽ⁿ⁾ _i + η k h i )L k (τ ), x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ ∈ σ i , i = 0, . . . , n − 1.

(5.7)

Tähistame

Z _jk ⁽ⁿ⁾ = z n (x ⁽ⁿ⁾ _jk ) = z n (x ⁽ⁿ⁾ _j + h j η k ), j = 0, 1, . . . , n − 1, k = 1, . . . , m.

Siissaame seosed (5.4) ja (5.5) esitadakujul

Z _0k ⁽ⁿ⁾ + h ₀ Z η k

0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _0k , x ⁽ⁿ⁾ ₀ + h ₀ τ )

m

X

l=1

Z _0l ⁽ⁿ⁾ L _l (τ))

^d

τ = g(x ⁽ⁿ⁾ _0k ),

Z _jk ⁽ⁿ⁾ +

j−1

X

i=0

h i

Z 1 0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ )

m

X

l=1

Z _il ⁽ⁿ⁾ L l (τ))

^d

τ

+ h _j Z η k

0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , x ⁽ⁿ⁾ _j + h _j τ )

m

X

l=1

Z _jl ⁽ⁿ⁾ L _l (τ))

^d

τ = g(x ⁽ⁿ⁾ _jk ),

kus

j = 1, . . . , n − 1

^;

k = 1, . . . , m

^, ^millest ^saame ^lõpuks ^suuruste

Z _jk ⁽ⁿ⁾

⁽

j = 0, . . . , n − 1, k = 1, . . . , m

⁾ ^suhtes võrrandisüsteemi

Z _0k ⁽ⁿ⁾ + h 0 m

X

l=1

Z η k

0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _0k , x ⁽ⁿ⁾ ₀ + h 0 τ )L l (τ ))

^d

τ

Z _0l ⁽ⁿ⁾ = g(x ⁽ⁿ⁾ _0k ),

^(5.8)

Z _jk ⁽ⁿ⁾ +

j−1

X

i=0

h i m

X

l=1

Z 1 0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _jk , x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ )L l (τ ))

^d

τ

Z _il ⁽ⁿ⁾

+ h j m

X

l=1

Z η k

0

(K (x ⁽ⁿ⁾ _jk , x ⁽ⁿ⁾ _j + h j τ )L l (τ ))

^d

τ

Z _jl ⁽ⁿ⁾ = g(x ⁽ⁿ⁾ _jk ),

(5.9)

kus

j = 1, . . . , n − 1

^;

k = 1, . . . , m

^.

Võrrandisüsteemi (5.9) võime lahendada järgmiselt. Võttes

j = 0

^, ^saame ^li-

neaarvõrrandite süsteemi

Z _0k ⁽ⁿ⁾

⁽

k = 1, . . . , m

⁾ ^suhtes:

Z _0k ⁽ⁿ⁾ + h 0 m

X Z η k

(K(x ⁽ⁿ⁾ _0k , x ⁽ⁿ⁾ ₀ + h 0 τ )L l (τ ))

^d

τ

Z _0l ⁽ⁿ⁾ = g(x ⁽ⁿ⁾ _0k ), k = 1, . . . , m.

(21)

Lahendades selle süsteemileiamesuurused

Z ₀₁ ⁽ⁿ⁾ , . . . , Z _0m ⁽ⁿ⁾

^.^Kasutades ^saadud ^suu-

rusi kirjutame lineaarvõrrandite süsteemi(5.9) välja

j = 1

^korral:

Z _1k ⁽ⁿ⁾ + h ₁

m

X

l=1

Z η k

0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _1k , x ⁽ⁿ⁾ ₁ + h ₁ τ )L _l (τ ))

^d

τ

Z _1l ⁽ⁿ⁾

= g(x ⁽ⁿ⁾ _1k ) − h 0 m

X

l=1

Z 1 0

(K(x ⁽ⁿ⁾ _1k , x ⁽ⁿ⁾ ₀ + h 0 τ )L l (τ ))

^d

τ

Z _0l ⁽ⁿ⁾ , k = 1, . . . , m.

Lahendades selle süsteemi, leiame suurused

Z ₁₁ ⁽ⁿ⁾ , . . . , Z _1m ⁽ⁿ⁾

^. ^Jätkates analoogiliselt leiame

Z ₂₁ ⁽ⁿ⁾ , . . . , Z _2m ⁽ⁿ⁾ , . . . , Z _n−1,1 ⁽ⁿ⁾ , . . . , Z _n−1,m ^(m)

^.^Olles^leidnud^kõik^suurused

Z _jk ⁽ⁿ⁾

⁽

j =

0, . . . , n− 1, k = 1, . . . , m

⁾^saame^võrrandi^(5.1)lähislahendi

z n (x)

^väärtused^kohal

x = x ⁽ⁿ⁾ _i + h i τ

^, ^kus

τ ∈ [0, 1]

^,^leida ^valemi ^(5.7) ^abil.

(22)

Oletame, et olemeleidnud võrrandi

z(t) + Z t

0

K(t, s)z(s)

^d

s = g(t), 0 6 t 6 b.

lähislahendi

z n (t)

^eelmises^peatükiskirjeldatudsplain-kollokatsioonimeetodikaudu

m = 2

^korral, ^s.t ^kasutades ^kahte kollokatsiooniparameetrit

η ₁

^ja

η ₂

^,

0 6 η ₁ <

η 2 6 1

^.^See ^tähendab, ^et^meil^on ^leitud^suurused

Z _jk ⁽ⁿ⁾ = z n (x jk )

^,

j = 0, . . . , n − 1

^,

k = 1, 2

^.^Leiame ^ülesande ^(4.1)^lahendile

y(t) = ( RL J ₀ ^α z) (t) + y 0

lähislahendi kujul

y _n (t) = ( _RL J ₀ ^α z _n ) (t) + y ₀ , t ∈ [0 b], 0 < α < 1.

Riemann-Liouville'i

α

^-ndat ^järku ^integraalidenitsiooni alusel(vt (5.7))

y n (t) = 1 Γ(α)

Z t 0

(t − τ ) ^α−1 z n (τ )

^d

τ + y 0 .

^(6.1)

Oletame, et

t ∈ σ i

⁽

i = 1, . . . , n − 1

^). ^Siis

Z t

0

(t − τ ) ^α−1 z n (τ )

^d

τ =

i−1

X

j=0 2

X

k=1

Z _jk ⁽ⁿ⁾ Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 L k

τ − x j

h j

d

τ +

2

X

k=1

Z _ik ⁽ⁿ⁾ Z t

x i

(t − τ ) ^α−1 L k

τ − x _i h i

d

τ.

(6.2)

Kui

t ∈ σ 0

^, ^siis

Z t 0

(t − τ ) ^α−1 z n (τ )

^d

τ =

2

X

k=1

Z _0k ⁽ⁿ⁾ Z t

x 0

(t − τ) ^α−1 L k

τ − x 0

h ₀

d

τ.

^(6.3)

(23)

täpselt väljaarvutada. Tõepoolest, esiteks leiame, et

Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1 L ₁

τ − x _j h j

d

τ = Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1

τ−x j

h j − η 2

η 1 − η 2

d

τ

= 1

η 1 − η 2

1 h j

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 τ

^d

τ

− x j

h j

Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1

^d

τ

− η 2

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1

^d

τ

= 1

η 1 − η 2

1 h j

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 τ

^d

τ

− x j

h j

+ η 2

· Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1

^d

τ

(6.4)

Integraali

Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

leiame ositiintegreerimiseabil. Olgu

u = τ,

^d

u =

^d

τ,

d

v = (t − τ ) ^α−1

^d

τ, v = − (t − τ) ^α

α ,

siis

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 τ

^d

τ = − τ (t − τ ) ^α α

x j+1

x j

− Z x j+1

x j

− (t − τ) ^α α

d

τ

= − x j+1 (t − x j+1 ) ^α

α + x j (t − x j ) ^α

α − (t − τ) ^α+1 α(α + 1)

x j+1

x j

= x j (t − x j ) ^α − x j+1 (t − x j+1 ) ^α

α + (t − x j ) ^α+1 − (t − x j+1 ) ^α+1

α(α + 1) .

Integraali

R x j+1

x j (t − τ) ^α−1

^d

τ

^puhul

Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1

^d

τ = − (t − τ) ^α α

x j+1

x j

= (t − x j ) ^α − (t − x j+1 ) ^α

.

(24)

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 L ₁

τ − x _j h j

d

τ = 1 η 1 − η 2

1 h j

x _j (t − x _j ) ^α − x _j+1 (t − x _j+1 ) ^α α

+ (t − x j ) ^α+1 − (t − x j+1 ) ^α+1 α(α + 1)

− x _j

h j

+ η 2

· (t − x _j ) ^α − (t − x _j+1 ) ^α α

! .

(6.5)

Teiseks saame,et

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 L 2

τ − x j

h _j

d

τ = Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1

τ−x j

h j − η 1

η ₂ − η ₁

^d

τ

= 1

η 2 − η 1

1 h j

Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

− x _j h j

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1

^d

τ − η ₁ Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1

^d

τ

= 1

η ₂ − η ₁ 1

h _j

Z x j+1

x j

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

− x j

h j

+ η 1

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1

^d

τ

.

(6.6)

Analoogiliseltleiame

Z x j+1

x j

(t − τ) ^α−1 L 2

τ − x j

h j

d

τ = 1 η 2 − η 1

1 h j

x j (t − x j ) ^α − x j+1 (t − x j+1 ) ^α α

+ (t − x _j ) ^α+1 − (t − x _j+1 ) ^α+1 α(α + 1)

− x j

h j

+ η 1

· (t − x j ) ^α − (t − x j+1 ) ^α α

! .

(6.7)

(25)

Z t x i

(t − τ) ^α−1 L 1

τ − x i

h i

d

τ = Z t

x i

(t − τ ) ^α−1

τ−x i

h i − η 2

η 1 − η 2

d

τ

= 1

η 1 − η 2

1 h i

Z t x i

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

− x i

h i

Z t x i

(t − τ) ^α−1

^d

τ − η 2

Z t i

(t − τ) ^α−1

^d

τ

= 1

η 1 − η 2

1 h i

Z t x i

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

− x i

h i

+ η 2

· Z t

i

(t − τ ) ^α−1

^d

τ

.

(6.8)

Integraali

Z t x i

(t − τ) ^α−1 τ

^d

τ

leiame ositiintegreerimiseabil võttes

u = τ,

^d

u =

^d

τ,

d

v = (t − τ ) ^α−1

^d

τ, v = − (t − τ) ^α

α .

Siis

Z t x i

(t − τ) ^α−1 τ

^d

τ = − τ(t − τ) ^α α

t x i

− Z t

x i

− (t − τ) ^α α

d

τ

= x _i (t − x _i ) ^α

α − (t − τ ) ^α+1 α(α + 1)

t

x i

= x _i (t − x _i ) ^α

α + (t − x _i ) ^α+1 α(α + 1) .

Integraali

R t

x i (t − τ ) ^α−1

^d

τ

^korral ^kehtib

Z t

x i

(t − τ) ^α−1

^d

τ = − (t − τ ) ^α α

t x i

= (t − x i ) ^α

α .

(26)

Z t x i

(t − τ ) ^α−1 L ₁

τ − x _i h i

d

τ = 1 η 1 − η 2

1 h i

x _i (t − x _i ) ^α

α + (t − x _i ) ^α+1 α(α + 1)

− x i

h i

+ η 2

· (t − x i ) ^α α

!

^(6.9)

Neljandaks leiame, et

Z t x i

(t − τ) ^α−1 L 2

τ − x i

h i

d

τ = Z t

x i

(t − τ ) ^α−1

τ−x i

h i − η 1

η 2 − η 1

d

τ

= 1

η 2 − η 1

1 h i

Z t x i

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

− x i

h i

Z t x i

(t − τ) ^α−1

^d

τ − η 1

Z t i

(t − τ) ^α−1

^d

τ

= 1

η ₂ − η ₁ 1

h _i Z t

x i

(t − τ ) ^α−1 τ

^d

τ

− x i

h i

+ η 1

Z t i

(t − τ ) ^α−1

^d

τ

(6.10)

Analoogiliseltintegraali (6.8) arvutuskäigule saame

Z t x i

(t − τ) ^α−1 L ₂

τ − x _i h i

d

τ = 1 η 2 − η 1

1 h i

x _i (t − x _i ) ^α

α + (t − x _i ) ^α+1 α(α + 1)

− x i

h _i + η 1

· (t − x i ) ^α α

! .

(6.11)

(27)

y n (t) = 1

(η ₁ − η ₂ )Γ(α + 1)

" _i−1 X

j=0

Z _j1 ⁽ⁿ⁾

x j (t − x j ) ^α − x j+1 (t − x j+1 ) ^α h _j

+ (t − x j ) ^α+1 − (t − x j+1 ) ^α+1 (α + 1)h j

− x j

h j

+ η ₂

· (t − x _j ) ^α − (t − x _j+1 ) ^α

− Z _j2 ⁽ⁿ⁾

x j (t − x j ) ^α − x j+1 (t − x j+1 ) ^α h j

+ (t − x j ) ^α+1 − (t − x j+1 ) ^α+1 (α + 1)h j

− x j

h j

+ η ₁

· (t − x _j ) ^α − (t − x _j+1 ) ^α !

+ Z _i1 ⁽ⁿ⁾

x i (t − x i ) ^α

h _j + (t − x i ) ^α+1 (α + 1)h _j −

x j

h _j + η 2

· (t − x i ) ^α

− Z _i2 ⁽ⁿ⁾

x i (t − x i ) ^α h j

+ (t − x i ) ^α+1 (α + 1)h j

− x j

h j

+ η 1

· (t − x i ) ^α ) #

+ y ₀ ,

(6.12)

mille abil saame arvutada ülesande (4.1) lähislahendi

y n (t)

^väärtuseid

t ∈ [0, b]

korral,kus

t ∈ σ i

^,

i = 1, . . . , n − 1

^.^Kui

i = 0

^,^s.t^kui

t ∈ σ 0

^,^siis^seoste ^(6.1),^(6.3),

(6.8)-(6.11) aluseljõuame lõpuks valemini

y _n (t) = 1

(η 1 − η 2 )Γ(α + 1)

"

Z ₀₁ ⁽ⁿ⁾

x ₀ (t − x ₀ ) ^α h 0

+ (t − x ₀ ) ^α+1 (α + 1)h 0

− x ₀

h 0

+ η ₂

· (t − x ₀ ) ^α

− Z ₀₂ ⁽ⁿ⁾

x 0 (t − x 0 ) ^α h 0

+ (t − x 0 ) ^α+1 (α + 1)h 0

− x 0

h 0

+ η 1

· (t − x 0 ) ^α #

+ y 0 .

(6.13)

(28)

lahendamisest

Selles peatükis lahendame kaks konkreeset Cauhy ülesannet peatükkides 4-6kir-

jeldatud meetodil. Täpsemalt on näidetes arvutatud vaadeldava ülesande lähisla-

hendi

y n

mitmesuguste

n

^väärtuste ^korral,

y n

^erinevust ^täpsest ^lahendist

y

^(viga

y n −y

⁾^ning^vigade^suhteid ^(misiseloomustavadvaadeldavameetodikoonduvuskii- rust). Lisaks vastavates tabelites toodud tulemustele on tulemusi iseloomustatud

kaarvuti pooltjoonestatud graakuteabil.Ülesannete lahendamiselonkasutatud

autori pooltSilabi keskkonnas kirjutatud programme, misonantud lisas.

Näide 7.1. VaatlemeCauhy ülesannet







C D ^0.5 ₀ y(t) + y(t) = t ² + 2

Γ( ⁵ ₂ ) t ³ ² , t ∈ [0, 10], y(0) = 0,

milletäpne lahendon (vt[5℄)

y(t) = t ² , t ∈ [0, 10].

Olgu aluseks ühtlane võrk

∆ _n = {x ⁽ⁿ⁾ ₀ , . . . , x ⁿ _n }

^, ^kus

x ⁽ⁿ⁾ _i = i · h, i = 0, 1, . . . , n, h = 10 n .

Rakendame meetoditkuisõlmpunktide arv on

n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

^,^ja ^ksee-

rime kollokatsiooniparameetrid

η 1

^ja

η 2

järgmiselt:

η 1 = 1

3 , η 2 = 2 3 .

Võrgupunktide

x ⁽ⁿ⁾ _i

⁽

i = 0, . . . , n

⁾^kaudu^deneerime^punktid

X _ij ⁽ⁿ⁾

^,

i = 0, . . . , n−1

^;

j = 0, . . . , 10

^,järgmiselt:

X _ij ⁽ⁿ⁾ = x ⁽ⁿ⁾ _i + j · (x ⁽ⁿ⁾ _i+1 − x ⁽ⁿ⁾ _i )

10 , i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , 10.

Vea

max t∈[0,10] |y n (t) − y(t)|

^lähendit

ǫ n

^arvutamejärgmiselt:

ǫ n = max

i=0,...,n−1 max

j=0,...,10 |y(X _ij ⁽ⁿ⁾ ) − y n (X _ij ⁽ⁿ⁾ )|, i = 0, . . . , n − 1.

(29)

S n = ǫ n

ǫ 2n

.

Järgmine tabel iseloomustab vigaerinevate

n

^korral.

n

ǫ n S n

2 1.9763234 4,152

4 0.4759944 4,111

8 0.1157813 4,064

16 0.0284894 4,022

32 0.0070826 3,993

64 0.0017736 3,978

128 0.0004459

Tabelilnäeme,etmeetodonsuhteliseltkiirekoondumisegaantud näitekorral.

Järgmisena toodud graakud

n = 4, 32, 128

^korral ^lõigus

[0, 1]

^kinnitavad^meetodi

koonduvust.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 32

(30)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

1 0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 128

Järgmine näide, millele merakendamemeetodit, pärineb K.Väljako bakalau-

reusetööst[8℄.

Näide 7.2. VaatlemeCauhy ülesannet







C D ^2/3 ₀ y(t) + t ^1/4 y(t) = t + 5t ^1/4 + Γ(7/4)

Γ(13/12) t ^1/12 , t ∈ [0, 10], y(0) = 5,

milletäpne lahendon (vt[8℄)

y(t) = t ^3/4 + 5, t ∈ [0, 10].

Olgu,nagu eelmisesnäites, ühtlanevõrk

∆ n

^.^Rakendame ^meetodit^kui^sõlmpunk-

tide arv on

n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

^,^ja ^kseerime kollokatsioonipunktid

η 1

^ja

η 2

järgmiselt:

η 1 = 1

3 , η 2 = 2 3 .

Võrgupunktide

x ⁽ⁿ⁾ _i

⁽

i = 0, . . . , n

⁾^kaudu^deneerime^punktid

X _ij ⁽ⁿ⁾

^,

i = 0, . . . , n−1

^;

j = 0, . . . , 10

^,analoogiliselteelmiselenäitele, järgmiselt:

X _ij ⁽ⁿ⁾ = x ⁽ⁿ⁾ _i + j · (x ⁽ⁿ⁾ _i+1 − x ⁽ⁿ⁾ _i )

10 , i = 0, . . . , n − 1, j = 0, . . . , 10.

Samuti analoogiliselt eelmisele näitele arvutame

max _t∈[0,10] |y _n (t) − y(t)|

^lähendit

ǫ n

järgmiselt:

ǫ n = max max |y(X _ij ⁽ⁿ⁾ ) − y n (X _ij ⁽ⁿ⁾ )|, i = 0, . . . , n − 1.

(31)

S n = ǫ n

ǫ 2n

.

Järgminetabel iseloomustabviga erinevate

n

^korral.

n

ǫ n S n

2 0.0473157 1,499

4 0.0315556 1,520

8 0.0207599 1,565

16 0.0132678 1,609

32 0.0082480 1,640

64 0.0050299 1,659

128 0.0030324

Eelmise näitegavõrreldes näeme, et meetod on antud näites aeglasema koon-

duvusega. Järgmisena esitame arvuti joonestatud graakud

n = 4, 32, 128

^korral

lõigus

[0, 0.5]

^.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

5 5.2 5.4

5.1 5.3 5.5

5.05 5.15 5.25 5.35 5.45

n = 4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

5 5.2 5.4

5.1 5.3 5.5

5.05 5.15 5.25 5.35 5.45

n = 32

(32)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 5

5.2 5.4

5.1 5.3 5.5

5.05 5.15 5.25 5.35 5.45

n = 128

Graakud kinnitavadmeetodi koonduvust.

Peatükis vaadatud näidete alusel saame järeldada,et töös kirjeldatud meetod

koondub.

(33)

[1℄ H. Brunner, P. J. vander Houwen, The Numerial Solution of Volterra Equa-

tions, North-Holland, Amsterdamn, 1986.

[2℄ K. Diethelm, The Analysis of Frational Dierential Equations: An

Appliation-Oriented Exposition Using Dierential Operators of Caputo Type,

Springer, London, 2010.

[3℄ G. Kangro, Matemaatiline analüüs I. Teine, parandatud ja täiendatud trükk,

Valgus, Tallinn, 1982.

[4℄ G. Kangro,Matemaatiline Analüüs II osa, Valgus,Tallinn,1968.

[5℄ A. M. Laanemaa, Laplae'i teisenduse kasutamine diferentsiaalvõrrandite la-

hendamisel, Tartu, 2015.

[6℄ A.Pedas,E.Tamme,Splineolloationmethodsforlinearmulti-termfrational

dierentialequations,JournalofComputationalandAppliedMathematis,vol.

236, no. 2,pp. 167176, 2011.

[7℄ A. Pedas, G.Vainikko,Harilikud diferentsiaalvõrrandid: teooria, näiteid, üles-

andeid, Tartu Ülikool,Tartu, 2011.

[8℄ K.Väljako,Murrulisedtuletised jaCaputotuletisega lineaarsediferentsiaalvõr-

randi lahendamine, Tartu Ülikool,Tartu, ilmumas2016.

(34)

Peatükis 7näidete lahendamiselkasutatud Silabi programm:

l //kustutab konsoolis oleva

lear //kustutab eelmised andmed

format(10); //mitu komakohta

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Parameetrid

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Lõik[0,b℄

b=10; //[0,b℄

// Alfa

−

^ndat ^j^ä^r^ku ^Caputo ^t^u^l^e^tⁱ^s

a=0.5; //alfa

//sõlmede arv

n=16;

//Kollokatsiooniparameetrid muutmiseks

Eta=zeros(1,2);

Eta(1)=1/3;

Eta(2)=2/3;

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Näited

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//näide 1

//

//algtingimused y(x0) =y0

x0=0;

y0=0;

a=1/2; //mis järku Caputo tuletis

funtion f=vaba(x)

f=x^2+( 2.*( x.^(3/2) ) )/gamma(5/2);

endfuntion

(35)

p=1;

endfuntion

//lahend

funtion y= lahend(x)

y=x.^2;

endfuntion

//näide 2

////algtingimused y(x0) =y0

//x0=0;

//y0=5;

//a=2/3; //mis järku Caputo tuletis

//

//funtion f=vaba(x)

// f=x ...

// +5*(x^(1/4))+(gamma((7/4))*(x^(1/12)))/gamma((13/12));

//endfuntion

//

//funtion p=kordaja(x)

// p=x^(1/4);

//endfuntion

//

////lahend

//funtion y= lahend(x)

// y=x.^(3/4)+5;

//endfuntion

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Edasi tuleb splain

−

^kô^l^lô^kâ^t^sⁱôôⁿⁱ^mêê^tô^d

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//teoreetiliste arutluste käigus saadud

funtion g=vabauld(x,a)

g=vaba(x)

−

^kôr^dâ^jâ⁽^x⁾^*^y⁰^;

endfuntion

(36)

K= (kordaja(x)*(x

−

^s⁾^{^}⁽^a

−

¹⁾^)/^(gamma(^a⁾⁾^;

endfuntion

//defineerime võrgu

//Võrgu punktide maatriks

vX=zeros(1,n+1);

r=1 //r> = 1, r=1 annab ühtlase võrgu

//A n n a n ette võrgu

for i=0:n

vX(i+1)= b*((i/n)^r);

end

//lõikude pikkused:

pikkused=zeros(1,n);

for i=0:1:(n

−

¹⁾

pikkused(i+1)=vX(i+2)

−

^vX⁽ⁱ⁺¹⁾^;

end

//kollokatsiooniparameetrite kasutamine

X=zeros(2,n); //punktide x_ij maatriks

//määran ära võrgu x_ij

for i=1:2

for j=1:n

X(i ,j) =vX(j) +Eta(i)*pikkused(j );

end

funtion f=Lagrange1(x)

f= ( x

−

^Eta⁽²⁾ ⁾^/⁽ ^Eta⁽¹⁾

−

^Eta⁽²⁾ ⁾

endfuntion

funtion f=Lagrange2(x)

f= ( x

−

^Eta⁽¹⁾ ⁾^/⁽ ^Eta⁽²⁾

−

^Eta⁽¹⁾ ⁾

endfuntion

//arvutame natuke teistmoodi varasemast (nagu töös)

A=zeros(2,2);

(37)

=zeros(2*n,1);

//maatriks A

A(1,1)=pikkused(1)*integrate('t u u m( X(1 ,1) ,...

vX(1)+pikkused(1)*s)*Lagrange1(s)','s' , 0 , Eta(1) );

A=A+ eye(2,2);

//maatriks B

B (1)=vabauld( X(1,1) );

B (2)=vabauld( X(2,1) );

//maatriks C

C=linsolve(A,

−

^B⁾^;

//täidame

(1)=C(1);

(2)=C(2);

//algul lähme ridapidi , siis veerupidi

for r=2:n; //veeru nr on 2v

−

¹

A=zeros (2 ,2);

B=zeros (2 ,1);

for v=1:n //rea nr on 2r

−

¹

if v< r then

B (1)=B(1)

−

^.^.^.

pikkused(v)*integrate('t u u m( X(1,r ) ,...

vX(v) +pikkused(v)*s)*Lagrange1(s)','s ' ,...

0 , 1 )*(2*v

−

¹⁾^;

B (1)=B(1)

−

^.^.^.

0 , 1 )*(2*v);

B (2)=B(2)

−

^.^.^.

0 , 1 )*(2*v

−

¹⁾^;

B (2)=B(2)

−

^.^.^.

TARTU  aeaaika ja aiika ii  aeaaika eia

α

α ∈ (0, 1)

α

Γ(α) :=

Z ∞ 0

e −t t α−1

t

Z ∞ 0

e −t t α−1

t

α > 0

α > 0

Z ∞ 0

e −t t α−1

t = Z 1

0

e −t t α−1

t + Z ∞

1

e −t t α−1

t

α < 1

0

e −1

t 1−α 6 e −t

t 1−α < 1

t 1−α , t ∈ (0, 1],

Z 1 0

e −t t α−1

t

Z ∞ 1

e −t t α−1

t.

t→∞ lim e −t t α+1 = 0.

α

M

t > 1

−t α+1

e −t t α−1 6 Mt −2 .

α > 0

Γ(α + 1) = Z ∞

0

e −t t α

t = −e −t t α

∞ 0 + α

Z ∞ 0

e −t t α−1

t = α Z ∞

0

e −t t α−1

t

Γ(α + 1) = αΓ(α)

α > 0

n ∈ N

α > n − 1

Γ(α + 1) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)Γ(α − n + 1).

Γ(1) = Z ∞

0

e −t

t = 1,

α = n

Γ(n + 1) = n!

n ∈ N 0

a, b ∈ (0, ∞)

(a, b) :=

Z 1 0

t a−1 (1 − t) b−1

t

(a, b) = Γ(a + b)

Γ(a)Γ(b) , a, b > 1,

D

[a, b]

a, b ∈ R

a < b

f

f ′

(Df )(t) = f ′ (t), t ∈ [a, b].

J α

[a, b]

TARTU aeaaika ja aiika ii aeaaika eia

e ^−t t ^α−1

e ^−t t ^α−1

e ^−t t ^α−1

e ^−t t ^α−1

e ^−t t ^α−1

e ⁻¹

t ^1−α 6 e ^−t

t ^1−α < 1

t ^1−α , t ∈ (0, 1],

e ^−t t ^α−1

e ^−t t ^α−1

t→∞ lim e ^−t t ^α+1 = 0.

e ^−t t ^α−1 6 Mt ⁻² .

e ^−t t ^α

t = −e ^−t t ^α

e ^−t t ^α−1

e ^−t t ^α−1

e ^−t

n ∈ N ₀

t ^a−1 (1 − t) ^b−1

f ^′

(Df )(t) = f ^′ (t), t ∈ [a, b].

D ⁿ

J _a ⁿ

D ¹ = D, J _a ¹ = J a ,

D ⁿ = DD ⁿ⁻¹ , J _a ⁿ = J a J _a ⁿ⁻¹ .

J _a ⁰ = I

F ^′ = f.

D ⁿ J _a ⁿ f = D ⁿ⁻¹ DJ a J _a ⁿ⁻¹ f = D ⁿ⁻¹ IJ _a ⁿ⁻¹ f = D ⁿ⁻¹ J _a ⁿ⁻¹ f,

D ⁿ

J _a ⁿ

C ⁿ [a, b]

C ⁰ [a, b] :=

f ∈ C ⁿ [a, b]

(D ⁿ f )(t) = D ^m J _a ^m−n f

f (t) = D ^m−n J _a ^m−n f

(D ⁿ f) (t) = D ⁿ D ^m−n J _a ^m−n f

(t) = D ^m J _a ^m−n f (t).

(J _a ⁿ f)(t) = 1 (n − 1)!

(t − τ ) ⁿ⁻¹ f (τ)

RL J _a ^α

( RL J _a ^α f)(t) = 1 Γ(α)

(t − τ) ^α−1 f (τ)

RL J _a ^α f

RL J _a ⁰ = I