Ta 

Loodus- ja täppisteaduste valdkond

Matemaatika ja statistika instituut

Margus Lillemäe

Fredholmi integraalvõrrandi lahendi

tükiti konstantne aproksimatsioon

Matemaatika ja statistika eriala

Magistritöö (30 EAP)

Juhendaja prof Arvet Pedas

Tartu 2018

aproksimatsioon

Magistritöö

Margus Lillemäe

Lühikokkuvõte.Käesolevasmagistritöösvaadeldakse teistliiki Fredholmiinteg-

raalvõrrandiligikaudsetlahendamistmeetodil,mistuginebvõrrandilahenditükiti

konstantsele aproksimatsioonile. Töö eesmärk on uurida esitatud meetodi koon-

duvust ning koonduvuskiirust.

CERCS teaduseriala: P130 Funktsioonid,dierentsiaalvõrrandid.

Märksõnad:arvutusmatemaatika, integraaloperaatorid,integraalvõrrandid.

Pieewise onstant approximation of the Fredholm integral

equation

Master'sthesis

Margus Lillemäe

Abstrat: In this master's thesis we present a numerial method to solve the

seondkindFredholmintegral equationby using apieewise onstantapproxima-

tion. The purpose of this thesis isto study the method's onvergene and onver-

gene rate.

CERCS researh speialisation: P130 Funtions, dierentialequations.

Key words. omputationalmathematis, integral operators,integral equations.

Sissejuhatus . . . 4

1 Kasutatavad mõisted ja tulemused . . . 5

1.1 Elementide diskreetne koondumine . . . 5

1.2 Diskreetselt kompaktsed jadad . . . 6

1.3 Operaatorite diskreetne ja kompaktnekoondumine . . . 7

1.4 Koonduvusteoreem . . . 8

2 Fredholmi integraalvõrrandi tükiti konstantne lähislahend . . . . 9

2.1 Fredholmiintegraalvõrrand. . . 9

2.2 Meetodi kirjeldus . . . 11

2.3 Ruumidevalik ja siduvad operaatorid . . . 13

2.4 Lähisoperaatorite diskreetne koondumine . . . 15

2.5 Lähislahenditekoondumine . . . 20

3 Numbrilised näited . . . 27

3.1 Näide 1 . . . 27

3.2 Näide 2 . . . 28

Kirjandus . . . 31

Lisa . . . 32

Käesolevasmagistritöösvaadeldakse teist liiki Fredholmiintegraalvõrrandi

u(t) = Z b

0

K (t, s)u(s)

^d

s + f (t) (0 6 t 6 b)

ligikaudset lahendamistmeetodil,mistugineb võrrandilahendi tükitikonstantsel

aproksimatsioonil.Tuuma

K

^{ja vabaliikme}

f

^kohtaeeldatakse, etnad onpidevad funktsioonidvastavaltruudul

[0, b]×[0, b]

^jalõigul

[0, b]

^.Veeleeldatakse,etvastaval homogeenselvõrrandil

u(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)dxs (0 6 t 6 b)

onainulttriviaalnelahend

u = 0

^{.Nendeleeldustel} tõestataksevaadeldudmeetodi koonduvus ja lisaeeldustel leitakse ka lähislahendite veahinnangud. Teoreetiliste

tulemuste illustreerimiseks ontöölõpus esitatudtestülesannete lahendamisel saa-

dud numbrilised tulemused.

Teoreetiliste tulemuste saamisel on tuginetud Gennadi Vainikko poolt sisse

toodud jadade ja operaatorite diskreetse koondumise mõistetele ning selle alusel

väljatöötatudoperaatorvõrranditeligikaudselahendamiseüldiseleteooriale.Lisaks

on kasutatud matemaatilise analüüsi ja funktsionaalanalüüsi kursustest tuntuid

tulemusi.

Esimesespeatükisesitatakseoperaatorvõrranditeligikaudselahendamisegaseo-

tud tulemused.

Teises peatükis käsitletakse Fredholmiteist liiki integraalvõrrandilahendi ole-

masolu,ühesust ja siledust.Seejärel esitatakseintegraalvõrrandilahendusmeetodi

kirjeldusning uuritakse esitatudmeetodikoonduvust ja koonduvuskiirust.

Viimases osas testitakse esitatud meetodi koonduvust konkreetsete näiteüles-

annetelahendamisel.

Töö lisas on toodud autori poolt Silabi keskkonnas kirjutatud programm

numbriliste tulemuste saamiseks.

SellespeatükisesitamemõnedmõistedjatulemusedGennadiVainikkopooltvälja-

töötatud üldisest teooriast operaatorvõrrandite ligikaudseks lahendamiseks. Too-

dud denitsioonid ja tulemused pärinevadtöödest [4℄ ja [5℄.

1.1 Elementide diskreetne koondumine

Edaspidi tähistagu

N

kõigi naturaalarvude hulka ja

R

kõigi reaalarvude hulka.

Tähistagu

L (E, F )

^kõigilineaarsete ja pidevate operaatorite

T : E → F

^Banahi

ruumi normiga

kT k L (E,F) = sup

kuk _E 6 1

kT uk _F ,

kus

E

^ja

F

^{on Banahiruumid.}

Denitsioon 1.1. Olgu

E

^ja

E n

⁽

n ∈ N

) reaalsed Banahi ruumidja olgu

P = (p _n ) _n∈ ^N

lineaarsete ja tõkestatud operaatorite

p _n : E → E _n

⁽

n ∈ N

) süsteem selline, etiga

u ∈ E

^korral

kp n uk _{E n} → kuk _E

^{, kui}

n → ∞.

^(1.1)

Operaatoreid

p _n : E _n → E _n

⁽

n ∈ N

) nimetatakse siduvateks operaatoriteks ning süsteemi

P

nimetatakse siduvate operaatorite süsteemiks Banahi ruumide

E

^ja

E n

⁽

n ∈ N

) vahel.

Denitsioon 1.2. Õeldakse, et jada

(u n )

^{, kus}

u n ∈ E n

⁽

n ∈ N

),

P

-koondub (koondubdiskreetselt) elemendiks

u ∈ E

^{, kui}

n → ∞

^korral

ku n − P n uk _{E n} → 0.

Edaspiditähistame jada

(u n ) n∈ N

diskreetset koondumist elemendiks

u

järgmiselt:

u n

→ P u.

Diskreetsel koondumisel on järgmisedomadused:

1) piirväärtuson ühene,s.t

u n

→ P u

^ja

u n

→ P u ^′ ⇒ u = u ^′ ;

2) piirväärtuson lineaarne, s.t

u n

→ P u, v n

→ P v, a, b ∈ R ⇒ au n + bv n

→ P au + bv;

u n

→ P 0 ⇔ ku n k _{E n} → 0, u n

→ P u ⇒ ku n k _{E n} → kuk _E ;

4) diskreetselt koonduva jadaiga osajadapiirväärtus ühtibkogu jadapiirväär-

tusega,s.t

u n

→ P u (n ∈ N ), N ^′ ⊂ N ⇒ u n

→ P u (n ∈ N ^′ ).

Kuna operaatorid

p _n

⁽

n ∈ N

)on lineaarsed ja tõkestatud, siisühtlase tõkesta- tuse printsiibist ja omadusest (1.1) järeldub,et

kp n k L (E,E n ) 6

^onst

(n ∈ N )

ja seega kehtib järgmine omadus:

u ⁽ⁿ⁾ , u ∈ E,

u ⁽ⁿ⁾ − u

E → 0 ⇒ p _n u ⁽ⁿ⁾ → ^P u.

^(1.2)

Tõepoolest,kui

u ⁽ⁿ⁾ , u ∈ E

⁽

n ∈ N

) nii,et

u ⁽ⁿ⁾ − u E

n→∞ −→ 0,

siis

p n u ⁽ⁿ⁾ − p n u

E n =

p n (u ⁽ⁿ⁾ − u) E n

6 kp n k L (E,E n ) ·

u ⁽ⁿ⁾ − u E

n→∞ −→ 0,

millest järeldubomadus (1.2).

1.2 Diskreetselt kompaktsed jadad

Olgu

E n

⁽

n ∈ N

) Banahi ruumid.Olgu

u n ∈ E n

^.

Denitsioon 1.3. Õeldakse,etjada

(u n ) n∈ N

^on

P

-kompaktne(diskreetselt kom- paktne),kuiigastosajadast

(u n ) n∈N ^′ ⊂ N

^saaberaldadadiskreetseltkoonduvaosaja- da

(u n ) n∈N ^′′ ⊂N ^′

^{.Selliseljuhulkirjutame,et}

(u n ) n∈ N

^on

P

-kompaktne(diskreetselt kompaktne).

Kehtivadjärgmised omadused:

1) u n

→ P u ⇒ (u n )

^ondiskreetselt kompaktne

;

2) (u n )

^,

(v n )

diskreetseltkompaktsed,

a, b ∈ R ⇒ (au n + bv n )

diskreetselt kom- paktne;

3) (u n )

diskreetselt kompaktne

⇒ ku n k _{E n} 6

^onst

(n ∈ N )

^.

Omadusest (1.2) järeldub järgminetulemus.

Lause 1.1. Olgu

E

^{Banahi ruum. Iga} suhteliselt kompaktse jada

(u ⁽ⁿ⁾ ) n∈ N ⊂ E

korral on jada

(p n u ⁽ⁿ⁾ ) n∈ N P

-kompaktne.

1.3 Operaatorite diskreetne ja kompaktne koondumine

Olgu

E

^,

F

^,

E n

^,

F n

⁽

n ∈ N

) Banahi ruumid,

P = (p n ) n∈ N

^{olgu siduvate operaa-}

torite süsteem

E

^ja

E n

^{vahel ja}

Q = (q n ) n∈ N

^siduvate operaatorite süsteem

F

^ja

F n

^vahel. Skemaatiliseltvõime antud situatsioonikirjeldada järgmiselt:

E → ^A F

↓ ^{p n} ↓ ^{q n} E n

A n

→ F n

Denitsioon 1.4. Õeldakse, et operaatorite

A n : E n → F n

^jada

(A n ) P Q

- koondub (koondub diskreetselt) operaatoriks

A : E → F

^,kui

u n

→ P u ⇒ A n u n

→ Q Au.

Edaspidikasutamesel korral tähistust

A n

PQ → A

^.

Lause 1.2. Kui

A ∈ L (E, F )

^,

A n ∈ L (E n , F n )

⁽

n ∈ N

), siis järgmised väited on samaväärsed:

(a)

A n

PL → A (n ∈ N )

^;

(b)

kA n k L (E n ,F n ) 6

^onst

(n ∈ N ), kA n p n u − q n Auk _{F n} → 0 ∀u ∈ E

^;

()

kA n k L (E n ,F n ) 6

^onst

(n ∈ N )

^{, ja leidub kõikjaltihe hulk}

E ^′ ⊂ E

^{selline, et}

kA n p n u ^′ − q n Au ^′ k _{F n} → 0 ∀u ^′ ∈ E ^′ .

Denitsioon 1.5. Õeldakse,etoperaatorite

C n : E n → F n

^jada

(C n ) n∈ N

^koondub

kompaktselt operaatoriks

C : E → F

^{, kui}

C n

PQ → C

^{ja on täidetud järgmine}

kompaktsuse nõue:

u n ∈ E n , ku n k _{E n} 6

^onst

(n ∈ N ) ⇒ (C n u n )

^on

Q −

^kompaktne

.

Olgu

P = (p n ) n∈ N

^siduvateoperaatorite süsteem Banahiruumide

E

^ja

E n

^vahel.

Olgu

T : E → E

^ja

T n : E n → E n

⁽

n ∈ N

) lineaarsed operaatorid. Vaatleme võrrandeid

u = T u + f

^(1.3)

ja

u _n = T _n u _n + f _n (n ∈ N ),

^(1.4)

kus

f ∈ E

^ja

f n ∈ E n

^{on antud elemendid ning}

u ∈ E

^ja

u n ∈ E n

^{on otsitavad.}

Tähistame

ker(I − T ) = {u ∈ E : u = T u},

kus

I : E → E

^onühikoperaator.

Teoreem 1.3. Kehtigu järgmised tingimused:

1.

T ∈ L (E, E)

^ja

ker(I − T ) = {0}

^;

2.

T n ∈ L (E n , E n ) (n ∈ N )

^{on täielikult pidevad;}

3.

f n

→ P f

^;

4.

T n → T

^{kompaktselt, s.t}

T n

−→ PP T

^ja

u n ∈ E n , ku n k _{E n} 6

^onst

(n ∈ N ) ⇒ (T n u n )

^on

P −

^kompaktne

.

^(1.5)

Siis võrrandil (1.3) on ühene lahend

u ^∗ ∈ E

^{ning leidub selline}

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

korralonka võrrandil(1.4)ühene lahend

u ^∗ _n ∈ E n

^{, kusjuures}

u ^∗ _n → ^P u ^∗

^hinnanguga

c 1 η n 6 ku ^∗ _n − p n u ^∗ k _{E n} 6 c 2 η n ,

kus

c ₁

^ja

c ₂

^{on mingid positiivsed} konstandid,mis ei sõltu suurusest

n

^ning

η n = kT n p n u ^∗ − p n T u ^∗ k _{E n} .

hislahend

2.1 Fredholmi integraalvõrrand

Edaspidi tähistagu

C[0, b]

^lõigul

[0, b]

^pidevate funktsioonide

x = x(t)

^Banahi

ruumi normiga

kxk _C[0,b] = max

06t6b |x(t)|.

Vaatlemelineaarset integraalvõrrandit

u(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s + f (t), 0 6 t 6 b, b > 0,

^(2.1)

kus

K : [0, b] × [0, b] → R

ja

f : [0, b] → R

onantud funktsioonid ning

u : [0, b] → R

on otsitav. Võrrandit (2.1) nimetatakse Fredholmi teist liiki integraalvõrrandiks,

funktsiooni

K

nimetatakse integraalvõrrandi tuumaks ning funktsiooni

f

^integ-

raalvõrrandivabaliikmeks.Võrrandi (2.1) võib kirjutada operaatorkujul

u = T u + f,

kus operaator

T : [0, b] × [0, b] → R

ondeneeritud valemiga

(T u)(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s, 0 6 t 6 b.

^(2.2)

Ilmselt

T : C[0, b] → C[0, b]

^{on lineaarne operaator.}

Tõepoolest,suvaliste

α, β ∈ R

ja

u, v ∈ C[0, b]

^korral

(T (αu + βv))(t) =

Z b 0

K(t, s)(αu(s) + βv(s))

^d

s

= Z b

0

K(t, s)(αu(s))

^d

s + Z b

0

K (t, s)(βv(s))

^d

s

= α Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s + β Z b

0

K(t, s)v(s)

^d

s

= α(T u)(t) + β(T v)(t).

Ilmselton operaator

T : C[0, b] → C[0, b]

^{ka pidev.}

Tõepoolest,iga

u ∈ C[0, b]

^korral

kT uk _E = max

0 6 t 6 b

Z b 0

K(t, s)u(s)

^d

s 6

(t,s)∈[0,b]×[0,b] max |K(t, s)|

b kuk _E .

Seega operaatori

T : E → E

^{on tõkestatud ehkpidev.}

Olgu tuum

K

^{pidev ruudul}

[0, b] × [0, b]

^{. Siisvalemiga (2.2) deneeritud ope-}

raatoronkompaktnelineaarnepidevoperaator(vt[3℄,lk214-215).Seegavõrrandi

(2.1)lahendiolemasolujaühesusenäitamiselsaametuginedajärgmiseleteoreemile

(vt [3℄, lk 223).

Teoreem 2.1. Olgu

E

^{Banahi ruum. Olgu}

T : E → E

^{kompaktne lineaarne}

operaator. Võrrand

u = T u + f

^{on iga}

f ∈ E

^{korral lahenduv parajasti siis, kui}

homogeensel võrrandil

u = T u

^{on ainult triviaalne lahend. Sel juhul on võrrand}

u = T u + f

^iga

f ∈ E

^{korral üheselt lahenduv.}

Integraalvõrrandi (2.1) lahendi olemasolu ja ühesuse kohta kehtib järgmine

teoreem.

Teoreem 2.2. Olgu tuum

K

^{ja vabaliige}

f

^{pidevad vastavalt ruudul}

[0, b] × [0, b]

ja lõigul

[0, b]

^{. Olgu võrrandile (2.1) vastaval}homogeensel võrrandil

u(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s, 0 6 t 6 b,

^(2.3)

olemas vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Siis võrrand (2.1) on üheselt lahenduv ja}

tema lahend

u

^{on pidev lõigul}

[0, b]

^.

Tõestus. Olgu

E = C[0, b]

^{.Eeldusealuselvabaliige}

f ∈ C[0, b]

^.Kunatuum

K

^on

pidev ruudul

[0, b] × [0, b]

^{, siisvalemiga(2.2) deneeritudoperaator}

T ∈ L (E, E)

onkompaktne. Seega väide järeldubteoreemist 2.1.

Olgu

C ^m [0, b]

⁽

m ∈ N

) lõigul

[0, b] m

^{-korda pidevalt} diferentseeruvate funkt- sioonideBanahiruum.Integraalvõrrandi(2.1)lahendisiledusekohtakehtibjärg-

mine teoreem.

Teoreem 2.3. Olgu

K ∈ C ^m ([0, b] × [0, b])

^ja

f ∈ C ^m [0, b]

^{, kus}

m ∈ N

. Olgu võrrandi (2.1) vastaval homogeensel võrrandil (2.3) olemas vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Siis võrrandi (2.1) lahend}

u ∈ C ^m [0, b]

^.

u

^{on pidev lõigul}

[0, b]

^{. Olgu}

m = 1

^{. Siis funktsioon}

f

^{on pidevalt} diferentseeruv lõigul

[0, b]

^{, s.t leidub}

f ^′ ∈ C[0, b]

^{. Kuna}

K

^{on pidevalt} diferentseeruv ruudul

[0, b] × [0, b]

^{, siis leidub pidev osatuletis}

∂K (t, s)

∂t

^ruudul

[0, b] × [0, b]

^{ning kehtib}

võrdus (vt.[2℄, lk 233)

d

d

t Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s = Z b

0

∂K(t, s)

∂t u(s)

^d

s, t ∈ [0, b].

Seejuures integraal

Z b 0

∂K(t, s)

∂t u(s)

^d

s (t ∈ [0, b])

kuimuutuja

t

^{funktsioononpidev lõigul}

[0, b]

^{.Seegavõrrandi(2.1)parempoolon}

pidevaltdiferentseeruvlõigul

[0, b]

^{.Järelikultonpidevalt}diferentseeruvkavõrrandi (2.1) vasak pool, kusjuures kehtib võrdus

u ^′ (t) = Z b

0

∂K(t, s)

∂t u(s)

^d

s + f ^′ (t), t ∈ [0, b].

^(2.4)

Järelikult

u ∈ C ¹ [0, b]

^{. Kui}

m = 2

^{, siissamasuse (2.4) mõlemapoole}diferentseeri- misel saame analoogiliseltjuhuga

m = 1

^{, et}

u ^′′ (t) = Z b

0

∂ ² K (t, s)

∂t ² u(s)

^d

s + f ^′′ (t), t ∈ [0, b],

millest järeldub, et

u ∈ C ² [0, b]

^. Analoogiliseltjätkates saame teoreemiväite keh-

tivuse mistahes

m ∈ N

korral.

2.2 Meetodi kirjeldus

Vaatleme Fredholmi integraalvõrrandit (2.1), kus

K = K (t, s)

^ja

f = f(t)

^on

pidevad funktsioonid vastavaltruudul

[0, b] × [0, b]

^{ja lõigul}

[0, b]

^.

Järgnevas konstrueerime võrrandi (2.1) lahendamiseks meetodi, mis tugineb

võrrandi(2.1) lahendi tükitikonstantsel aproksimatsioonil.

Olgu

n ∈ N

.Lõigu

[0, b]

^jaotame

n

^{osalõiguks punktidega}

t ₀ , t ₁ , . . . , t _n

^:

∆ n = {t 0 , . . . , t n ∈ [0, b] : 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n−1 < t n = b}.

Sellist jaotust nimetatakse lõigul

[0, b]

^{antud võrguks. Tähistagu}

h j = t j − t j−1 (j = 1, . . . , n)

osalõigu

[t j−1 , t j ]

^pikkustja

h = max

j=1,...,n h j

suurima osalõigu pikkust. Kui võrk onühtlane, siis

h 1 = h 2 = · · · = h n = h

^{, kus}

h = b/n

^{. Sel korral}

h → 0

^{, kui}

n → ∞

^{. Kui võrk ei ole ühtlane, siis eeldame,}

et suurimaosalõigu pikkus lähenebnullile, kui

n → ∞

^{. Niisiis, edaspidivaatleme}

vaid selliseidvõrkusid, millekorral

h ^n→∞ −→ 0.

^(2.5)

Integraalvõrrandi (2.1) lähislahenditotsime kujul

u n (t) =

n

X

j=1

c jn ϕ jn (t), 0 6 t 6 b,

^(2.6)

kus

n > 2

^,

c j1 , . . . , c jn

^{on otsitavad kordajad ja}

ϕ _1n (t) =

( 1,

^kui

t ∈ [t 0 , t 1 ], 0,

^kui

t 6∈ [t 0 , t 1 ]

ning

ϕ jn (t) =

( 1,

^kui

t ∈ (t j−1 , t j ],

0,

^kui

t 6∈ (t j−1 , t j ], j = 2, 3, . . . , n.

Kordajad

c 1n , . . . , c nn

^leiame tingimustest

Z b 0

r n (t)ϕ kn (t)dt = 0, k = 1, . . . , n,

^(2.7)

kus

r n (t) = u n (t) − Z b

0

K(t, s)u n (s)

^d

s − f (t), 0 6 t 6 b.

Asetades suuruse

r n (t)

võrdustesse (2.7), saame

Z b 0

u n (t) − Z b

0

K (t, s)u n (s)

^d

s − f (t)

ϕ kn (t)dt = 0 (k = 1, 2 . . . , n)

ehk

n

X

j=1

c jn

Z b 0

ϕ jn (t)ϕ kn (t)

^d

t − Z b

0

Z b 0

K(t, s)ϕ jn (s)

^d

s

ϕ kn (t)

^d

t

= Z b

0

f (t)ϕ kn (t)

^d

t, k = 1, . . . , n.

^(2.8)

ϕ _jn (t)ϕ _kn (t) =

( 0,

^kui

j 6= k,

1,

^kui

j = k, t ∈ [0, b].

Ilmselt

k ∈ {1, . . . , n}

^korral

Z b

0

ϕ jn (t)ϕ kn (t)

^d

t = Z t _k

t _k−1

d

t = t k − t k−1 = h k , j = 1, . . . , n, Z b

0

Z b 0

K(t, s)ϕ jn (s)

^d

s

ϕ kn (t)

^d

t = Z t k

t k−1

Z t j

tj−1

K(t, s)

^d

s

d

t, j = 1, . . . , n.

Seega võrrandid (2.8) võtavad kuju

n

X

j=1

c jn

"

h k − Z t k

t k−1

Z t j

tj−1

K (t, s)

^d

s

d

t

#

= Z b

0

f (t)ϕ kn (t)

^d

t, k = 1, . . . , n.

(2.9)

Võrdused (2.9) kujutavad endast lineaarset algebralist võrrandisüsteemi suu-

ruste

c _1n , . . . , c _nn

^suhtes:

c kn −

n

X

j=1

a kj c jn = f n , k = 1, . . . , n,

^(2.10)

kus

a kj = 1 h k

Z t k

t k−1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s

!

d

t (k, j = 1, . . . , n)

ja

f k = 1 h k

Z t k

t _k−1

f (t)

^d

t, k = 1, . . . , n.

2.3 Ruumide valik ja siduvad operaatorid

Olgu

E n = m n

^,kus

m n

^onkõigi

n

-komponendilistevektoriteBanahiruumnormi- ga

kxk = max

16k6n |ψ k |, x = (ψ 1 , . . . , ψ n ) ∈ m n , ψ i ∈ R , i = 1, . . . , n.

Olgu

E = C[0, b]

^ja

p n : E → E n

^{operaator,misigale}funktsioonile

f ∈ E

^seab

vastavusse vektori

p n f =

(p n f ) 1 , . . . , (p n f) n

⊤

=





 (p n f ) 1

.

.

.

(p n f ) n





 ∈ E n

^(2.11)

nii,et

p n f

k = 1 h k

Z t k

t k−1

f(t)

^d

t, k = 1, . . . , n.

^(2.12)

Ilmselt on operaator

p n

^{lineaarne, sest suvaliste}

α, β ∈ R

ja

f, g ∈ E

^korral

saame iga

k = 1, . . . , n

^{puhul, et}

p n (αf + βg)

k = 1 h k

Z t _k t _k−1

(αf (t) + βg(t))

^d

t

= α 1 h _k

Z t k

t k−1

f (t)

^d

t + β 1 h _k

Z t k

t k−1

g(t)

^d

t

= α p n f

k + β p n g

k

ning seega

p _n (αf + βg) = αp _n (f) + βp _n (g).

Operaator

p n : E → E n

^{onpidev, sest iga}

f ∈ E

^korral

kp n f k _{E n} = max

1 6 k 6 n

1 h k

Z t k

t k−1

f(t)

^d

t 6 max

16k6n

1 h k

Z t _k t _k−1

d

t

!

· max

06t6b |f (t)|

= max

06t6b |f (t)| = kf k _E .

Seega

p n ∈ L (E, E n )

^{. Lisaks saame,et}

kp n k L (E,E n ) 6 1, n = 1, 2, . . . .

Tegelikult onlihtnenäha, et mistahes

n ∈ N

puhul

kp n k L (E,E n ) = 1.

Veelsaame, etiga

f ∈ E

^korral

kp n fk _{E n} ^n→∞ −→ kf k _E .

Tõepoolest, kui

f ∈ E = C[0, b]

^{, siis}

f

^{on ka pidev igal osalõigul}

[t k−1 , t k ]

^,

k = 1, . . . , n

^. Matemaatilisestanalüüsist teame(vt [1℄, lk 366), et siis leidub

c _k ∈ [t k−1 , t k ]

⁽

k = 1, . . . , n

^{) selline, et}

Z t k

t k−1

f (t)

^d

t = h k f (c k ).

Seega

kp n fk _{E n} = max

k=1,...,n

1 h k

Z t k

t k−1

f(s)

^d

s

= max

k=1,...,n

h k f(c k ) h k

= max

k=1,...,n |f (c _k )| ^n→∞ −→ max

t∈[0,b] |f (t)|

= kfk _E .

Niisiisolemenäidanud, etseostega (2.11)ja(2.12)määratudoperaatoritehulk

P = (p _n ) _n∈ ^N

^{on siduvate} operaatorite süsteem Banahi ruumide

E = C[0, b]

^ja

E n = m n

^vahel.

2.4 Lähisoperaatorite diskreetne koondumine

Olgu

E _n = m _n

^{ja deneerimeoperaatori}

T _n : E _n → E _n

^{, misigale vektorile}

v n = (v 1n , . . . , v nn ) ^⊤ ∈ E n

seab vastavusse vektori

T n v n = ((T n v n ) 1 , . . . , (T n v n ) n ) ^⊤ ∈ E n ,

^(2.13)

kus

(T n v n ) k =

n

X

j=1

"

1 h _k

Z t k

t k−1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s

!

d

t

#

v jn , k = 1, . . . , n.

^(2.14)

Muutes integreerimise järjekorda (mis on lubatud

K(t, s)

^{pidevuse tõttu ruudul}

[0, b] × [0, b]

^),saame

(T _n v _n ) _k =

n

X

j=1

"

Z t j

t j−1

1 h k

Z t k

t k−1

K (t, s)

^d

t

!

d

s

#

v _jn , k = 1, . . . , n.

Ilmselton operaator

T n : E n → E n

^lineaarne.

Näitame, etoperaator

T n : E n → E n

^on tõkestatud.

Tõepoolest,iga

v _n = (v _1n , . . . , v _nn ) ^⊤ ∈ E _n

^{korral saame}

kT n v n k _{E n} = max

16k6n

n

X

j=1

"

Z t j

t j−1

1 h k

Z t k

t k−1

K(t, s)

^d

t

!

d

s

# v jn

6 max

16k6n n

X

j=1

"

Z t j

t j−1

1 h k

Z t _k t k−1

d

t

!

d

s

#

· max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)| kv n k _{E n} .

Kuna

16k6n max

n

X

j=1

"

Z t j

t j−1

1 h k

Z t k

t k−1

d

t

!

d

s

#

= b,

siis

kT _n v _n k _{E n} 6 b max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K (t, s)| kv _n k _{E n} ,

millest järeldub,et operaator

T n : E n → E n

^{on tõkestatud (ehk pidev). Viimasest}

võrdusest järeldub ka, et operaatorite

T n

^{normid on ühtlaselt tõkestatud suuruse}

n

^{suhtes, s.t etleidub positiivne konstant}

M

^nii,et

kT n k L (E n ,E n ) 6 M ∀n ∈ N .

^(2.15)

Kunalõplikumõõtmelistesnormeeritudruumidestegutsevlineaarnepidevope-

raatoronkompaktne(vt[3℄,lk213),siiskokkuvõttesolemenäidanud,etoperaator

T _n : E _n → E _n

^{on lineaarne täielikultpidev operaator.}

Järgnevas näitame,et

kp n T u − T n p n uk _{E n} → 0 ∀u ∈ E, n → ∞,

^(2.16)

kus

E = C[0, b]

^,

E n = m n

^,

T

^{on deneeritud valemiga (2.2) ja}

T n

^valemitega

(2.13), (2.14).

Kuna

C ¹ [0, b]

^{onBanahi ruumi}

C[0, b]

^{kõikjal tihe alamruum ja} operaatorite

T n

^{normidonühtlaselt tõkestatudsuuruse}

n

^{suhtes (vt(2.15)),siislause1.2tõttu}

piisab näidatakoonduvuse (2.16) kehtivust, kui

u ∈ E ^′ = C ¹ [0, b]

^.

Niisiis,olgu

u ∈ C ¹ [0, b]

^.Siisoperaatorite

p n , T

^ja

T n

⁽

n ∈ N

)denitsioonidest järeldub, etiga

k = 1, . . . , n

^korral

(p n T u − T n p n u) _k = 1 h _k

Z t k

t k−1

" _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)u(s)

^d

s

#

d

t

−

n

X

j=1

"

1 h k

Z t k

t k−1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s

!

d

t

# 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ)

^d

τ

!

(p n T u − T n p n u) _k = 1 h k

Z t k

t k−1

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

"

u(s) − 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ )

^d

τ

#

d

s

!

d

t.

Kasutades osalõigu

[t j−1 , t j ]

⁽

j = 1, . . . , n

^{) keskpunkti}

t _j/2 = t j−1 + t j

2 ,

saameviimase võrduse paremalpoolelnurksulgudes olevaavaldisekirjutada kujul

u(s) − 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ)

^d

τ = u(s) − u(t _j/2 ) + u(t _j/2 ) − 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ)

^d

τ

= Z s

t _j/2

u ^′ (τ)

^d

τ + 1 h _j

Z t j

t j−1

u(t j/2 ) − u(τ )

d

τ

ehk

u(s) − 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ )

^d

τ = Z s

t _j/2

u ^′ (τ )

^d

τ + 1 h j

Z t j

t j−1

Z t _j/2 τ

u ^′ (θ)

^d

θ

d

τ.

^(2.17)

Tähistame

K ˆ := max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|, u ˆ ^′ := max

s∈[0,b] |u ^′ (s)|.

Siisiga

k = 1, . . . , n

^korral

|(p n T u − T n p n u) _k | =

1 h _k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

"

Z s t j/2

u ^′ (τ )

^d

τ

+ 1 h j

Z t j

t j−1

Z t _j/2 τ

u ^′ (θ)

^d

θ

d

τ

#

d

s )

d

t 6 K ˆ u ˆ ^′

"

1 h _k

Z t k

t k−1

n

X

j=1

Z t j

t j−1

|s − t j/2 |

^d

s

!

d

t + 1

h _k Z t _k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

1 h _j

Z t j

t j−1

Z t _j/2 τ

d

θ

d

τ

!

d

s )

d

t

#

.

Kunaiga

j = 1, . . . , n

^puhul

|s − t j/2 | 6 t j − t j−1

^,siis

|s − t j/2 | 6 h

^ja

|τ − t j/2 | 6 h

^,

kus

h = max

j=1,...,n (t j − t j−1 ).

Seega

|(p n T u − T n p n u) _k | 6 K ˆ u ˆ ^′ (bh + bh) = ch, k = 1, . . . , n,

^(2.18)

kus

c = 2 ˆ K u ˆ ^′ b

on suurusest

n

^(suurusest

h

^{) sõltumatu konstant. Kui}

n → ∞

^{, siis eelduse (2.5)}

tõttu

h → 0

^{ja seega iga}

k = 1, . . . , n

^korral

|(p _n T u − T _n p _n u) _k | → 0,

^kui

n → ∞.

Seepärast iga

u ∈ C ¹ [0, 1]

^puhul

kp n T u − T n p n uk _{E n} = max

16k6n |(p n T u − T n p n u) _k | → 0,

kui

n → ∞

^{.Lausest1.2ja} võrratusest (2.15)järeldubnüüd, etiga

u ∈ E = C[0, b]

korral

kp n T u − T n p n uk _{E n} → 0,

^kui

n → ∞,

^(2.19)

s.t operaatorite

T n : E n → E n

^jada

(T n ) n∈ N

^koondub diskreetselt operaatoriks

T : E → E

^{, s.t}

T n

PP → T

^.

Osutub, et

T n → T

kompaktselt. Kuna

T n

PP → T

^{, siis onvaja} kontrollida vaid tingimust (1.5).

Tõepoolest,olgu vektorid

v n = (v 1n , . . . , v nn ) ^⊤ ∈ E n

⁽

n ∈ N

)sellised, et

0 < kv n k _{E n} 6 d ∀n ∈ N ,

^(2.20)

kus

d

^{onmingipositiivne konstant. Vaatlemejada}

(x ⁽ⁿ⁾ ) ^∞ _n=1 ⊂ E = C[0, b]

^{, mison}

deneeritud järgmiselt:

x ⁽ⁿ⁾ (t) =

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s · v jn , n = 1, 2, . . . , t ∈ [0, b].

^(2.21)

Näitame,etvalemi(2.21)abildeneeritudjada

(x ⁽ⁿ⁾ )

^onsuhteliseltkompaktne ruumis

E = C[0, b]

^{. Selleks kasutame järgmist} Arzela-Asoli teoreemi (vt [3℄, lk 45).

Teoreem 2.4. Hulk ruumis

C[a, b]

^on suhteliselt kompaktne parajasti siis, kui ta on ühtlaselt tõkestatud ja võrdpidev.

Kõigepealt näitame,et jada

(x ⁽ⁿ⁾ ) ^∞ _n=1 ⊂ E = C[0, b]

^{on ühtlaseltt} tõkestatud, s.tet leidubpositiivne reaalarv

M

^{nii,et iga}

n ∈ N

korral

|x ⁽ⁿ⁾ (t)| 6 M ∀t ∈ [0, b].

Tõepoolest,kuna

K

^{onpidevruudul}

[0, b] × [0, b]

^,siisiga

t ∈ [0, b]

^korralsaame

võrratuse (2.20) abil, et

|x ⁽ⁿ⁾ (t)| =

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s · v jn

6

n

X

j=1

Z t j

t j−1

|K(t, s)|

^d

s · |v jn |

6 max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|d

n

X

j=1

Z t j

t j−1

d

s = M, n = 1, 2, . . . ,

kus

M = max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|db

^.

Näitame nüüd, et jada

(x ⁽ⁿ⁾ ) ^∞ _n=1 ⊂ E

^{on võrdpidev, s.t et iga}

ǫ > 0

^korral

leidub

δ > 0

^{nii, et}

|x ⁽ⁿ⁾ (r ₁ ) − x ⁽ⁿ⁾ (r ₂ )| < ǫ,

kui

r 1 , r 2 ∈ [0, b]

^,

|r 1 − r 2 | < δ

^ja

n ∈ N

. Tõepoolest,olgu

r 1 , r 2 ∈ [0, b]

^{. Siis}

|x ⁽ⁿ⁾ (r 1 ) − x ⁽ⁿ⁾ (r 2 )| =

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K (r 1 , s)

^d

s · v jn −

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K (r 2 , s)

^d

s · v jn

=

n

X

j=1

Z t j

t j−1

(K (r 1 , s) − K (r 2 , s))

^d

s · v jn

6

Z b 0

|K(r 1 , s) − K(r 2 , s)|

^d

s · d.

Kuna funktsioon

K(t, s)

^{onpidev ruudul}

[0, b] × [0, b]

^{, siista on seal ka ühtlaselt}

pidev, millestjäreldub, etiga

s ∈ [0, b]

^{korral kui}

r 1 , r 2 ∈ [0, b]

^ja

|r 1 − r 2 | < δ

^,siis

|K(r 1 , s) − K(r 2 , s)| < ǫ

bd .

|x ⁽ⁿ⁾ (r 1 ) − x ⁽ⁿ⁾ (r 2 )| 6 Z b

0

|K(r 1 , s) − K(r 2 , s)|

^d

s · d

< bǫd bd = ǫ,

kui

r 1 , r 2 ∈ [0, b]

^,

|r 1 − r 2 | < δ

^ja

n ∈ N

.

Järgnevalt panemetähele, etkehtibvõrdus

T n v n = p n x ⁽ⁿ⁾ ,

kus

v n = (v 1n , . . . , v nn ) ^⊤ ∈ E n

⁽

n ∈ N

) on vektorid, mis rahuldavad tingimust (2.20).

Tõepoolest, iga

k = 1, . . . , n

^{korral järeldub} operaatorite

p n

^ja

T n

^denitsioo-

nidest, et

(p n x ⁽ⁿ⁾ ) k = 1 h k

Z t k

t k−1

" _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s · v jn

#

d

t

=

n

X

j=1

"

1 h k

Z t _k t k−1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s

!

d

t

#

v _jn = (T _n v _n ) _k

ehk

T n v n = p n x ⁽ⁿ⁾ .

Kuna jada

(x ⁽ⁿ⁾ ) n∈ N

^on suhteliselt kompaktne ruumis

E = C[0, b]

^{, siis lause}

1.1 põhjal on jada

(p n x ⁽ⁿ⁾ ) n∈ N

^{ja järelikult ka jada}

(T n v n ) n∈ N

diskreetselt kom- paktne. Seega on täidetud kompaktsuse nõue (1.5). Kokkuvõttes oleme saanud,

et operaatorite

T n : E n → E n

^jada

(T n ) n∈ N

^koondub kompaktselt operaatoriks

T : E → E

^.

2.5 Lähislahendite koondumine

Võrrandisüsteemi(2.10)lahenduvustjameetodikoonduvustiseloomustabjärgmi-

ne teoreem.

Teoreem 2.5. Olgu

K

^ja

f

^pidevad funktsioonid vastavalt ruudul

[0, b] × [0, b]

ja lõigul

[0, b]

^{. Leidugu} integraalvõrrandile (2.1) vastaval homogeensel võrrandil (2.3) vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Olgu lõigul}

[0, b]

^{antud võrk}

∆ n

^{, mille korral}

on täidetud tingimus (2.5). Siis võrrandil (2.1) on ühene lahend

u ∈ C[0, b]

^ning

leidubselline

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

^{korralonkavõrr}andisüsteemil (2.10)ühene lahend

c 1n , . . . , c nn

^{, kusjuures leiab aset koondumine}

16k6n max

c kn − 1 h k

Z t _k t _k−1

u(s)

^d

s

n→∞ −→ 0

^(2.22)

hinnangutega

c 1 max

16k6n |δ k | 6 max

16k6n

c kn − 1 h k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

6 c 2 max

16k6n |δ k | ,

^(2.23)

kus

c 1

^ja

c 2

^{on mingid suurusest}

n

^{ja suurima osalõigu pikkusest}

h

^sõltumatud

positiivsed konstandid ning

δ _k = 1 h k

Z t _k t k−1

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

"

u(s) − 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ )

^d

τ

#

d

s

!

d

t.

^(2.24)

Tõestus. Integraalvõrrandit(2.1) vaatleme operaatorvõrrandina

u = T u + f,

^(2.25)

Banahi ruumis

E = C[0, b]

^{, kus}

T : E → E

^{on deneeritud valemiga (2.2).}

Olgu

n > 2

^{. Olgu}

∆ _n

^lõigul

[0, b]

^{antud võrk, millekorral kehtib tingimus (2.5).}

Võrranditesüsteemi (2.10)vaatlemeoperaatorvõrrandina

u n = T n u n + p n f,

^(2.26)

Banahi ruumis

E _n = m _n

^{, kus}

u _n = (c _n1 , . . . , c _nn ) ^⊤

^{on otsitav, operaator}

T _n : E n → E n

^{on deneeritud võrdustega (2.14), (2.13) ning}

p n : E → E n

^{on siduvad}

operaatorid, mison deneeritudvalemitega(2.11), (2.12).

Ilmselt

p n f → ^P f

^.

Eeldus, et integraalvõrrandi (2.2) vastaval homogeenselvõrrandil(2.3) on ole-

mas vaid triviaalnelahend

u = 0

^{onsamaväärne võrdusega}

ker(I − T ) = {0}

^.

Punktides 2.1-2.4 saadud tulemuste põhjal leiame, et on täidetud järgmised

tingimused:

1.

T ∈ L (E, E)

^ja

ker(I − T ) = {0}

^;

2.

T n ∈ L (E n , E n ) (n ∈ N )

^{ontäielikult pidevad;}

3.

p n f → ^P f

^;

4.

T n → T

kompaktselt.

Koonduvus (2.22)ja hinnang (2.23)järelduvadnüüd teoreemist 1.3.

Teoreem2.6. Olgu

K

^ja

f

^pidevaltdiferentseeruvadfunktsioonidvastavalt ruudul

[0, b] × [0, b]

^{ja lõigul}

[0, b]

^{. Leidugu} integraalvõrrandile(2.1) vastaval homogeensel võrrandil(2.3)vaidtriviaalnelahend

u = 0

^{. Olgu lõigul}

[0, b]

^antudvõrk

∆ n

^{, mille}

korral on täidetud tingimus (2.5). Siis leidub selline

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

^{korral on}

ka võrrandisüsteemil (2.10) ühene lahend

c _1n , . . . , c _nn

^{ning kehtib hinnang}

16k6n max

c kn − 1 h k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

6 ch,

^(2.27)

kus

h = max

j=1,...,n (t j − t j−1 )

^ja

c

^{on mingi suurustest}

n

^ning

h

^{sõltumatu positiivne}

konstant.

Tõestus. Antud eelduste korral järeldub hinnang (2.27) teoreemidest 2.3 ja 2.5

ning võrratusest (2.18),sest

δ k = (p n T u − T n p n u) k

^,

k = 1, . . . , n

^.

Teoreem 2.7. Olgu

K

^ja

f

^{kaks kordapidevalt} diferentseeruvad funktsioonidvas- tavalt ruudul

[0, b] × [0, b]

^{ja lõigul}

[0, b]

^{. Leidugu} integraalvõrrandile(2.1) vastaval homogeensel võrrandil (2.3) vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Olgu lõigul}

[0, b]

^antud

võrk

∆ n

^{, mille korral on täidetud tingimus (2.5). Siis leidub selline}

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

^{korral onka} võrrandisüsteemil(2.10) ühene lahend

c 1n , . . . , c nn

^{ning kehtib}

hinnang

1 max 6 k 6 n

c kn − 1 h k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

6 ch ² ,

^(2.28)

kus

h = max

j=1,...,n (t j − t j−1 )

^ja

c

^{on mingi suurustest}

n

^ning

h

^{sõltumatu positiivne}

konstant.

Tõestus. Teoreemist 2.5 tõttu on vaja näidata vaid hinnangu (2.28) kehtivust.

Teoreemist 2.3 järeldub, et võrrandi (2.1) lahend

u

^{on kaks korda pidevalt dife-}

rentseeruv lõigul

[0, b]

^:

u ∈ C ² [0, b]

^.

Teoreemist 2.5järeldub, et hinnangu (2.28) saamiseks tuleb hinnata valemiga

(2.24) antud suurust

δ k

^suvalise

k = 1, . . . , n

^{korral. Nüüd samasusest}

K(t, s) = K(t, s) − K(t, t j/2 ) + K (t, t j/2 )

järeldub

k = 1, . . . , n

^{korral, et}

δ _k = 1

h k

Z t _k t _k−1

n

X

j=1

Z t j

t j−1

[K (t, s) − K (t, t _j/2 )]

"

u(s)

− 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ)

^d

τ

#

d

s

!

d

t + 1

h k

Z t _k t _k−1

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, t _j/2 )

"

u(s) − 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ )

^d

τ

#

d

s

!

d

t.

^(2.29)

Võttes igalosalõigul

[t j−1 , t j ] (j = 1, . . . , n)

^keskpunkti

t j/2 = t j−1 + t j

2 ,

saame võrdusest (2.17) ja (2.29),et

δ k = L k1 + L k2 + L k3 , k = 1, . . . , n,

kus

L k1 = 1 h _k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s) − K(t, t j/2 )

"

Z s t _j/2

u ^′ (τ )

^d

τ

#

d

s )

d

t, L k2 = 1

h k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

"

K(t, s)

− K(t, t _j/2 )

#"

1 h j

Z t j

t j−1

Z t _j/2 τ

u ^′ (θ)

^d

θ

d

τ

#

d

s )

d

t, L k3 = 1

h _k Z t _k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, t _j/2 )

"

u(s) − u(t _j/2 )

− 1 h j

Z t j

t j−1

u(τ) − u(t j/2 )

d

τ

#

d

s )

d

t.

Kuna

|δ k | = |L k1 + L k2 + L k3 | 6 |L _k1 | + |L _k2 | + |L _k3 |,

siisiga

k = 1, . . . , n

^{korral on vaja hinnataavaldisi}

L k1

^,

L k2

^ja

L k3

^.

K ˆ := max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|, K ˆ ^′ := max

(t,s)∈[0,b]×[0,b]

∂K(t, s)

∂s , u ˆ ^′ := max

s∈[0,b] |u ^′ (s)|, u ˆ ^′′ := max

s∈[0,b] |u ^′′ (s)|.

Hindame kõigepealt suurust

L k1

⁽

k = 1, . . . , n

^{). Lagrange'i} keskväärtusteoree- mist järeldub, etiga

t ∈ [0, b]

^ja

j = 1, . . . , n

^korral

|K(t, s) − K (t, t _j/2 )| 6 K ˆ ^′ |s − t _j/2 |, t j−1 6 s 6 t j .

Kuna iga

j = 1, . . . , n

^puhul

s ∈ [t j−1 , t j ]

^,siis

|s − t _j/2 | 6 h

^(2.30)

ja seepärast

|K(t, s) − K(t, t j/2 )| 6 K ˆ ^′ h, t ∈ [0, b], j = 1, . . . , n.

^(2.31)

Seega

|L k1 | 6 K ˆ ^′ u ˆ ^′ h ² h k

Z t _k t _k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

d

s )

d

t, k = 1, . . . , n.

Kuna

1 h k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

d

s )

d

t = b,

^(2.32)

siiskehtib hinnang

|L k1 | 6 K ˆ ^′ u ˆ ^′ bh ² , k = 1, . . . , n.

^(2.33)

Hindame avaldist

L k2

⁽

k = 1, . . . , n

^{). Arvestades hinnanguid (2.30) ja (2.31)}

ning võrduseid (2.32) ja

1 h j

Z t j

t j−1

d

s = 1, j = 1, . . . , n,

^(2.34)

|L k2 | 6 K ˆ ^′ u ˆ ^′ bh ² (k = 1, . . . , n).

^(2.35)

Hindame avaldist

L k3

⁽

k = 1, . . . , n

^{).Me näeme, et}

|L k3 | 6 |M k3 | + |N k3 |,

kus

M k3 = 1 h k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, t j/2 )

"

u(s) − u(t j/2 )

#

d

s )

d

t, N k3 = 1

h _k Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, t j/2 )

"

1 h _j

Z t j

t j−1

u(τ) − u(t j/2 )

d

τ

#

d

s )

d

t.

Kuna

u = u(t)

^{on kaks korda pidevalt}diferentseeruv, siis

u(s) − u(t _j/2 ) = u ^′ (t _j/2 )(s − t _j/2 ) + u ^′′ (ξ _j )

2 (s − t _j/2 ) ² ,

kus

ξ j

^{onmingi punkt}

s

^ja

t j/2

^{vahel. Paneme tähele, et}

Z t _j t j−1

(s − t j/2 )

^d

s = (s − t j/2 ) ² 2

t j

t j−1

= (t j − t _j/2 ) ²

2 − (t j−1 − t _j/2 ) ² 2

=

t j − ^{t j +t} ₂ ^j−1 2

−

t j−1 − ^{t j +t} ₂ ^j−1 2

2

= t j

2 − ^{t j−1} ₂ 2

−

t j−1

2 − ^t ₂ ^j 2

2

= _t

j

2 − ^{t j−1} ₂ 2

− _t

j

2 − ^{t j−1} ₂ 2

2 = 0, j = 1, . . . , n.

Seega

M k3 = 1 h _k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, t j/2 )

"

u ^′′ (ξ j )

2 (s − t j/2 ) ²

#

d

s )

d

t, N _k3 = 1

h k

Z t k

t k−1

( _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, t _j/2 )

"

1 h j

Z t j

t j−1

u ^′′ (ξ j )

2 (s − t _j/2 ) ²

d

τ

#

d

s )

d

t.

k = 1, . . . , n

^korral

|M k3 | 6 K ˆ u ˆ ^′′ b 2 h ² ,

|N k3 | 6 K ˆ u ˆ ^′′ b 2 h ² .

Seega kehtib hinnang

|L k3 | 6 K ˆ u ˆ ^′′ bh ² (k = 1, . . . , n).

^(2.36)

Hinnangutest (2.33),(2.35) ja (2.36) järeldub,et iga

k = 1, . . . , n

^korral

|δ k | 6 ch ² ,

kus konstant

c = (2 ˆ K ^′ u ˆ ^′ + ˆ K u ˆ ^′′ )b

eisõltu suurusest

n

^{ega suurusest}

h

^{. Seegahinnang (2.28)kehtib.}

Numbriliste tulemuste saamiseks ja graakute koostamiseks on kasutatud autori

pooltkirjutatud Silabiprogrammi, misonantud lisas.

3.1 Näide 1

Vaatlemeintegraalvõrrandit

u(t) − Z 1

0

t ^2.4 s ^2.5 u(s)

^d

s = t ^2.5 − 1

6 t ^2.4 , t ∈ [0, 1].

^(3.1)

Antud võrrand onkujul (2.1), kus

b = 1

^ning

K(t, s) = t ^2.4 s ^2.5 , t ∈ [0, 1]

ja

f (t) = t ^2.5 − 1

6 t ^2.4 , t ∈ [0, 1].

Integraalvõrrandi(3.1) lahendiks on

u(t) = t ^2.5 , t ∈ [0, 1].

^(3.2)

Lahendi (3.2) lähendi

u n (t)

⁽

n ∈ N

) leidmiseks kasutame punktis 2.2 kirjelda- tud meetoditvõttes aluseks ühtlase võrgu

t _i = ih,

kus

i = 0, 1, . . . , n

^ja

h = 1/n

^.

Meetodi vea

ǫ n

^arvutame järgmiselt:

ǫ n = max

16k6n

c kn − 1 h _k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

,

^(3.3)

kus

h k

^{on lõigu}

[t k−1 , t k ] (k = 1, . . . , n)

^{pikkus ja}

c 1n , . . . , c nn

^{on leitud meetodi}

võrrandisüsteemist (2.10). Saadudnumbrilisedtulemused onesitatudtabelis 1.

n

ǫ n ǫ n /ǫ 2n

2 0.0183998 2.6397808

4 0.0069702 3.339978

8 0.0020869 3.6825481

16 0.0005667 3.8446404

32 0.0001474 3.9202128

64 0.0000376 3.9578947

128 0.0000095 3.9583333

256 0.0000024 4.0000000

512 0.0000006

Tabel1: Võrrandi(3.1) lähislahendite koondumine.

Tabelist näeme, et numbrilised tulemused vastavad teoreemi 2.7 hinnangule

(2.28).

Joonisel 1toodud graakud illustreerivadlähislahendikoonduvust täpseks la-

hendiks.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 32

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 128

Joonis 1: Näite1graakud lõigul

[0, 1]

^{, kui}

n = 32, 128

^.

3.2 Näide 2

Vaatlemeintegraalvõrrandit

u(t) − Z 1

0

s ^0.4 u(s)

^d

s = t ^0.1 − 2

3 , t ∈ [0, 1].

^(3.4)

Antud võrrand onkujul (2.1), kus

b = 1

^ning

K (t, s) = s ^0.4 , t ∈ [0, 1]

ja

f(t) = t ^0.1 − 2

3 , t ∈ [0, 1].

Integraalvõrrandi(3.4) lahendiks on

u(t) = u(t) = t ^0.1 , t ∈ [0, 1].

^(3.5)

Lahendi (3.5) lähendi

u n (t)

⁽

n ∈ N

) leidmiseks kasutame punktis 2.2 kirjelda- tud meetoditvõttes aluseks ühtlase võrgu

t i = ih,

kus

i = 0, 1, . . . , n

^ja

h = 1/n

^.

Meetodivea

ǫ n

^{arvutamevalemiga(3.3),kus}

h k

^onlõigu

[t k−1 , t k ] (k = 1, . . . , n)

pikkus ja

c 1n , . . . , c nn

^{onleitud meetodi}võrrandisüsteemist (2.10).Saadud arvuli- sed tulemused onesitatudtabelis 2.

n

ǫ _n S _n

2 0.0237526 2.6405274

4 0.0089954 2.7005104

8 0.0033310 2.7406615

16 0.0012154 2.7679344

32 0.0004391 2.7861675

64 0.0001576 2.7992895

128 0.0000563 2.8009950

256 0.0000201 2.8309859

512 0.0000071

Tabel2: Võrrandi(3.4) lähislahendite koondumine.

Kuna integraalvõrrandi(3.4) korraleioleteoreemide 2.6ja2.7eeldused täide-

tud,siisteoreetilisedhinnangud(2.27)ja(2.28)eipruugikehtida.Tabelis2saadud

numbrilised tulemused näitavad, et hinnang (2.28) tõepoolest ei kehti, kuid mee-

todikoondumine on isegi natuke kiiremkuiseda näitabhinnang(2.27).

Joonisel 2toodud graakud illustreerivadlähislahendikoonduvust täpseks la-

hendiks.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 32

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 128

Joonis 2: Näite2graakud lõigul

[0, 1]

^{, kui}

n = 32, 128

^.

[1℄ G. Kangro, Matemaatiline analüüs I. Teine, parandatud ja täiendatud trükk,

Valgus, Tallinn, 1982.

[2℄ G. Kangro,Matemaatiline analüüs IIosa, Valgus, Tallinn, 1968.

[3℄ E. Oja,P. Oja,Funktsionaalanalüüs, Tartu Ülikool,Tartu, 1991.

[4℄ G. Vainikko, Approximative methods for nonlinear equations (two approahes

to the onvergene problem), Pegamon Press Ltd, Great Britain,1978.

[5℄ G. Vainikko, Diskretisatsioonimeetodite analüüs, Tartu Ülikool, Tartu, 1976

(vene keeles).

Peatükis 3näidete lahendamiselkasutatud Silabi programm:

lear;

format(10);

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Osalõikude arv

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n=8;

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Näited

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//////Näide 1

//

//b=1; //lõik [0,b℄

//

//funtion g=vabauld(t)

// g=t^2.5

−

^{(1/6)*(t^2.4);}

//endfuntion

//

//funtion K=t u u m(t,s)

// K= (t^2.4)*(s^2.5);

//endfuntion

//

////Teoreetiline lahend

//funtion y= lahend(t)

// y=t^(2.5);

//endfuntion

////Näide 2

b=1; //lõik [0,b℄

funtion g=vabauld(t)

g= t^0.1

−

^2/3

endfuntion

funtion K=t u u m(t,s)

K= s^0.4

endfuntion

funtion y= lahend(t)

y= t^0.1

endfuntion

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Meetod

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Koostan võrgu

vX=zeros(1,n+1);

r=1 //r> = 1, r=1 annab ühtlase võrgu

for i=0:n

vX(i+1)= b*((i/n)^r);

end

//lõikude pikkused:

pikkused=zeros(1,n);

for i=0:1:(n

−

¹⁾

pikkused(i+1)=vX(i+2)

−

^vX(i+1);

end

//vaja kahekordse integraali arvutamiseks

funtion K=integrate_tuum(t,a,b) //a,b on rajapuntid

K=integrate('t u u m(t,s)','s',a,b);

endfuntion

A=zeros(n,n);

B=zeros(n,1);

for k=1:n

B(k) =integrate('vabauld(t)','t',vX(k),vX(k+1));

for j=1:n

if k==j then

A(k,j)=( vX(k+1)

−

^{vX(k) )}

−

^...

integrate ...

('integrate_tuum(t,vX(k),vX(k+1))' ,...

't' ,vX(k),vX(k+1));

else

A(k,j)=(

−

^1)...