Operaatorite diskreetne ja kompaktne koondumine

Olgu

E

^,

F

^,

E n

^,

F n

⁽

n ∈ N

) Banahi ruumid,

P = (p n ) n∈ N

^{olgu siduvate}

operaa-torite süsteem

E

^ja

E n

^{vahel ja}

Q = (q n ) n∈ N

^siduvate operaatorite süsteem

F

^ja

F n

^vahel. Skemaatiliseltvõime antud situatsioonikirjeldada järgmiselt:

E → ^A F

↓ ^{p n} ↓ ^{q n} E n

A n

→ F n

Denitsioon 1.4. Õeldakse, et operaatorite

A n : E n → F n

^jada

(A n ) P Q

-koondub (koondub diskreetselt) operaatoriks

A : E → F

^,kui

u n

→ P u ⇒ A n u n

→ Q Au.

Edaspidikasutamesel korral tähistust

A n

PQ → A

^.

Lause 1.2. Kui

A ∈ L (E, F )

^,

A n ∈ L (E n , F n )

⁽

n ∈ N

), siis järgmised väited on samaväärsed:

(a)

A n

PL → A (n ∈ N )

^;

(b)

kA n k L (E n ,F n ) 6

^onst

(n ∈ N ), kA n p n u − q n Auk _{F n} → 0 ∀u ∈ E

^;

()

kA n k L (E n ,F n ) 6

^onst

(n ∈ N )

^{, ja leidub kõikjaltihe hulk}

E ^′ ⊂ E

^{selline, et}

kA n p n u ^′ − q n Au ^′ k _{F n} → 0 ∀u ^′ ∈ E ^′ .

Denitsioon 1.5. Õeldakse,etoperaatorite

C n : E n → F n

^jada

(C n ) n∈ N

^koondub

kompaktselt operaatoriks

C : E → F

^{, kui}

C n

PQ → C

^{ja on täidetud järgmine}

kompaktsuse nõue:

u n ∈ E n , ku n k _{E n} 6

^onst

(n ∈ N ) ⇒ (C n u n )

^on

Q −

^kompaktne

.

Olgu

P = (p n ) n∈ N

^siduvateoperaatorite süsteem Banahiruumide

E

^ja

E n

^vahel.

Olgu

T : E → E

^ja

T n : E n → E n

⁽

n ∈ N

) lineaarsed operaatorid. Vaatleme võrrandeid

u = T u + f

^(1.3)

ja

u _n = T _n u _n + f _n (n ∈ N ),

^(1.4)

kus

f ∈ E

^ja

f n ∈ E n

^{on antud elemendid ning}

u ∈ E

^ja

u n ∈ E n

^{on otsitavad.}

Tähistame

ker(I − T ) = {u ∈ E : u = T u},

kus

I : E → E

^onühikoperaator.

Teoreem 1.3. Kehtigu järgmised tingimused:

1.

T ∈ L (E, E)

^ja

ker(I − T ) = {0}

^;

2.

T n ∈ L (E n , E n ) (n ∈ N )

^{on täielikult pidevad;}

3.

f n

→ P f

^;

4.

T n → T

^{kompaktselt, s.t}

T n

−→ PP T

^ja

u n ∈ E n , ku n k _{E n} 6

^onst

(n ∈ N ) ⇒ (T n u n )

^on

P −

^kompaktne

.

^(1.5)

Siis võrrandil (1.3) on ühene lahend

u ^∗ ∈ E

^{ning leidub selline}

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

korralonka võrrandil(1.4)ühene lahend

u ^∗ _n ∈ E n

^{, kusjuures}

u ^∗ _n → ^P u ^∗

^hinnanguga

c 1 η n 6 ku ^∗ _n − p n u ^∗ k _{E n} 6 c 2 η n ,

kus

c ₁

^ja

c ₂

^{on mingid positiivsed} konstandid,mis ei sõltu suurusest

n

^ning

η n = kT n p n u ^∗ − p n T u ^∗ k _{E n} .

hislahend

2.1 Fredholmi integraalvõrrand

Edaspidi tähistagu

C[0, b]

^lõigul

[0, b]

^pidevate funktsioonide

x = x(t)

^Banahi

ruumi normiga

kxk _C[0,b] = max

06t6b |x(t)|.

Vaatlemelineaarset integraalvõrrandit

u(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s + f (t), 0 6 t 6 b, b > 0,

^(2.1)

kus

K : [0, b] × [0, b] → R

ja

f : [0, b] → R

onantud funktsioonid ning

u : [0, b] → R

on otsitav. Võrrandit (2.1) nimetatakse Fredholmi teist liiki integraalvõrrandiks,

funktsiooni

K

nimetatakse integraalvõrrandi tuumaks ning funktsiooni

f

integ-raalvõrrandivabaliikmeks.Võrrandi (2.1) võib kirjutada operaatorkujul

u = T u + f,

kus operaator

T : [0, b] × [0, b] → R

ondeneeritud valemiga

(T u)(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s, 0 6 t 6 b.

^(2.2)

Ilmselt

T : C[0, b] → C[0, b]

^{on lineaarne operaator.}

Tõepoolest,suvaliste

α, β ∈ R

ja

u, v ∈ C[0, b]

^korral

(T (αu + βv))(t) =

Z b 0

K(t, s)(αu(s) + βv(s))

^d

s

= Z b

0

K(t, s)(αu(s))

^d

s + Z b

0

K (t, s)(βv(s))

^d

s

= α Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s + β Z b

0

K(t, s)v(s)

^d

s

= α(T u)(t) + β(T v)(t).

Ilmselton operaator

T : C[0, b] → C[0, b]

^{ka pidev.}

Tõepoolest,iga

u ∈ C[0, b]

^korral

kT uk _E = max

0 6 t 6 b

Z b 0

K(t, s)u(s)

^d

s 6

(t,s)∈[0,b]×[0,b] max |K(t, s)|

b kuk _E .

Seega operaatori

T : E → E

^{on tõkestatud ehkpidev.}

Olgu tuum

K

^{pidev ruudul}

[0, b] × [0, b]

^{. Siisvalemiga (2.2) deneeritud}

ope-raatoronkompaktnelineaarnepidevoperaator(vt[3℄,lk214-215).Seegavõrrandi

(2.1)lahendiolemasolujaühesusenäitamiselsaametuginedajärgmiseleteoreemile

(vt [3℄, lk 223).

Teoreem 2.1. Olgu

E

^{Banahi ruum. Olgu}

T : E → E

^{kompaktne lineaarne}

operaator. Võrrand

u = T u + f

^{on iga}

f ∈ E

^{korral lahenduv parajasti siis, kui}

homogeensel võrrandil

u = T u

^{on ainult triviaalne lahend. Sel juhul on võrrand}

u = T u + f

^iga

f ∈ E

^{korral üheselt lahenduv.}

Integraalvõrrandi (2.1) lahendi olemasolu ja ühesuse kohta kehtib järgmine

teoreem.

Teoreem 2.2. Olgu tuum

K

^{ja vabaliige}

f

^{pidevad vastavalt ruudul}

[0, b] × [0, b]

ja lõigul

[0, b]

^{. Olgu võrrandile (2.1) vastaval}homogeensel võrrandil

u(t) = Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s, 0 6 t 6 b,

^(2.3)

olemas vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Siis võrrand (2.1) on üheselt lahenduv ja}

tema lahend

u

^{on pidev lõigul}

[0, b]

^.

Tõestus. Olgu

E = C[0, b]

^{.Eeldusealuselvabaliige}

f ∈ C[0, b]

^.Kunatuum

K

^on

pidev ruudul

[0, b] × [0, b]

^{, siisvalemiga(2.2) deneeritudoperaator}

T ∈ L (E, E)

onkompaktne. Seega väide järeldubteoreemist 2.1.

Olgu

C ^m [0, b]

⁽

m ∈ N

) lõigul

[0, b] m

^{-korda pidevalt} diferentseeruvate funkt-sioonideBanahiruum.Integraalvõrrandi(2.1)lahendisiledusekohtakehtib

järg-mine teoreem.

Teoreem 2.3. Olgu

K ∈ C ^m ([0, b] × [0, b])

^ja

f ∈ C ^m [0, b]

^{, kus}

m ∈ N

. Olgu võrrandi (2.1) vastaval homogeensel võrrandil (2.3) olemas vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Siis võrrandi (2.1) lahend}

u ∈ C ^m [0, b]

^.

u

^{on pidev lõigul}

[0, b]

^{. Olgu}

m = 1

^{. Siis funktsioon}

f

^{on pidevalt} diferentseeruv lõigul

[0, b]

^{, s.t leidub}

f ^′ ∈ C[0, b]

^{. Kuna}

K

^{on pidevalt} diferentseeruv ruudul

[0, b] × [0, b]

^{, siis leidub pidev osatuletis}

∂K (t, s)

∂t

^ruudul

[0, b] × [0, b]

^{ning kehtib}

võrdus (vt.[2℄, lk 233)

d

d

t Z b

0

K(t, s)u(s)

^d

s = Z b

0

∂K(t, s)

∂t u(s)

^d

s, t ∈ [0, b].

Seejuures integraal

Z b 0

∂K(t, s)

∂t u(s)

^d

s (t ∈ [0, b])

kuimuutuja

t

^{funktsioononpidev lõigul}

[0, b]

^{.Seegavõrrandi(2.1)parempoolon}

pidevaltdiferentseeruvlõigul

[0, b]

^{.Järelikultonpidevalt}diferentseeruvkavõrrandi (2.1) vasak pool, kusjuures kehtib võrdus

u ^′ (t) = Z b

0

∂K(t, s)

∂t u(s)

^d

s + f ^′ (t), t ∈ [0, b].

^(2.4)

Järelikult

u ∈ C ¹ [0, b]

^{. Kui}

m = 2

^{, siissamasuse (2.4) mõlemapoole} diferentseeri-misel saame analoogiliseltjuhuga

m = 1

^{, et}

u ^′′ (t) = Z b

0

∂ ² K (t, s)

∂t ² u(s)

^d

s + f ^′′ (t), t ∈ [0, b],

millest järeldub, et

u ∈ C ² [0, b]

^. Analoogiliseltjätkates saame teoreemiväite

keh-tivuse mistahes

m ∈ N

korral.

2.2 Meetodi kirjeldus

Vaatleme Fredholmi integraalvõrrandit (2.1), kus

K = K (t, s)

^ja

f = f(t)

^on

pidevad funktsioonid vastavaltruudul

[0, b] × [0, b]

^{ja lõigul}

[0, b]

^.

Järgnevas konstrueerime võrrandi (2.1) lahendamiseks meetodi, mis tugineb

võrrandi(2.1) lahendi tükitikonstantsel aproksimatsioonil.

Olgu

n ∈ N

.Lõigu

[0, b]

^jaotame

n

^{osalõiguks punktidega}

t ₀ , t ₁ , . . . , t _n

^:

∆ n = {t 0 , . . . , t n ∈ [0, b] : 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n−1 < t n = b}.

Sellist jaotust nimetatakse lõigul

[0, b]

^{antud võrguks. Tähistagu}

h j = t j − t j−1 (j = 1, . . . , n)

osalõigu

[t j−1 , t j ]

^pikkustja

h = max

j=1,...,n h j

suurima osalõigu pikkust. Kui võrk onühtlane, siis

h 1 = h 2 = · · · = h n = h

^{, kus}

h = b/n

^{. Sel korral}

h → 0

^{, kui}

n → ∞

^{. Kui võrk ei ole ühtlane, siis eeldame,}

et suurimaosalõigu pikkus lähenebnullile, kui

n → ∞

^{. Niisiis, edaspidivaatleme}

vaid selliseidvõrkusid, millekorral

h ^n→∞ −→ 0.

^(2.5)

Integraalvõrrandi (2.1) lähislahenditotsime kujul

u n (t) =

Asetades suuruse

r n (t)

võrdustesse (2.7), saame

Z b

ϕ _jn (t)ϕ _kn (t) =

Seega võrrandid (2.8) võtavad kuju

n

Võrdused (2.9) kujutavad endast lineaarset algebralist võrrandisüsteemi

suu-ruste

c _1n , . . . , c _nn

^suhtes:

2.3 Ruumide valik ja siduvad operaatorid

Olgu

E n = m n

^,kus

m n

^onkõigi

n

-komponendilistevektoriteBanahiruum normi-ga

kxk = max

16k6n |ψ k |, x = (ψ 1 , . . . , ψ n ) ∈ m n , ψ i ∈ R , i = 1, . . . , n.

Olgu

E = C[0, b]

^ja

p n : E → E n

^{operaator,misigale}funktsioonile

f ∈ E

^seab

Ilmselt on operaator

p n

^{lineaarne, sest suvaliste}

α, β ∈ R

ja

f, g ∈ E

^korral

saame iga

k = 1, . . . , n

^{puhul, et}

Tegelikult onlihtnenäha, et mistahes

n ∈ N

puhul

kp n k L (E,E n ) = 1.

Veelsaame, etiga

f ∈ E

^korral

Niisiisolemenäidanud, etseostega (2.11)ja(2.12)määratudoperaatoritehulk

P = (p _n ) _n∈ ^N

^{on siduvate} operaatorite süsteem Banahi ruumide

E = C[0, b]

^ja

E n = m n

^vahel.

2.4 Lähisoperaatorite diskreetne koondumine

Olgu

E _n = m _n

^{ja deneerimeoperaatori}

T _n : E _n → E _n

^{, misigale vektorile}

v n = (v 1n , . . . , v nn ) ^⊤ ∈ E n

seab vastavusse vektori

T n v n = ((T n v n ) 1 , . . . , (T n v n ) n ) ^⊤ ∈ E n ,

^(2.13)

Muutes integreerimise järjekorda (mis on lubatud

K(t, s)

^{pidevuse tõttu ruudul}

[0, b] × [0, b]

^),saame

Ilmselton operaator

T n : E n → E n

^lineaarne.

millest järeldub,et operaator

T n : E n → E n

^{on tõkestatud (ehk pidev). Viimasest}

võrdusest järeldub ka, et operaatorite

T n

^{normid on ühtlaselt tõkestatud suuruse}

n

^{suhtes, s.t etleidub positiivne konstant}

M

^nii,et

kT n k L (E n ,E n ) 6 M ∀n ∈ N .

^(2.15)

Kunalõplikumõõtmelistesnormeeritudruumidestegutsevlineaarnepidev

ope-raatoronkompaktne(vt[3℄,lk213),siiskokkuvõttesolemenäidanud,etoperaator

T _n : E _n → E _n

^{on lineaarne täielikultpidev operaator.}

Järgnevas näitame,et

kp n T u − T n p n uk _{E n} → 0 ∀u ∈ E, n → ∞,

^(2.16)

kus

E = C[0, b]

^,

E n = m n

^,

T

^{on deneeritud valemiga (2.2) ja}

T n

^valemitega

(2.13), (2.14).

Kuna

C ¹ [0, b]

^{onBanahi ruumi}

C[0, b]

^{kõikjal tihe alamruum ja} operaatorite

T n

^{normidonühtlaselt tõkestatudsuuruse}

n

^{suhtes (vt(2.15)),siislause1.2tõttu}

piisab näidatakoonduvuse (2.16) kehtivust, kui

u ∈ E ^′ = C ¹ [0, b]

^.

(p n T u − T n p n u) _k = 1

saameviimase võrduse paremalpoolelnurksulgudes olevaavaldisekirjutada kujul

u(s) − 1

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|,

u ˆ ^′ := max

Kunaiga

j = 1, . . . , n

^puhul

|s − t j/2 | 6 t j − t j−1

^,siis

|s − t j/2 | 6 h

^ja

|τ − t j/2 | 6 h

^,

kus

h = max

j=1,...,n (t j − t j−1 ).

Seega

|(p n T u − T n p n u) _k | 6 K ˆ u ˆ ^′ (bh + bh) = ch, k = 1, . . . , n,

^(2.18)

kus

c = 2 ˆ K u ˆ ^′ b

on suurusest

n

^(suurusest

h

^{) sõltumatu konstant. Kui}

n → ∞

^{, siis eelduse (2.5)}

tõttu

h → 0

^{ja seega iga}

k = 1, . . . , n

^korral

|(p _n T u − T _n p _n u) _k | → 0,

^kui

n → ∞.

Seepärast iga

u ∈ C ¹ [0, 1]

^puhul

kp n T u − T n p n uk _{E n} = max

16k6n |(p n T u − T n p n u) _k | → 0,

kui

n → ∞

^{.Lausest1.2ja} võrratusest (2.15)järeldubnüüd, etiga

u ∈ E = C[0, b]

korral

kp n T u − T n p n uk _{E n} → 0,

^kui

n → ∞,

^(2.19)

s.t operaatorite

T n : E n → E n

^jada

(T n ) n∈ N

^koondub diskreetselt operaatoriks

T : E → E

^{, s.t}

T n

PP → T

^.

Osutub, et

T n → T

kompaktselt. Kuna

T n

PP → T

^{, siis onvaja} kontrollida vaid tingimust (1.5).

Tõepoolest,olgu vektorid

v n = (v 1n , . . . , v nn ) ^⊤ ∈ E n

⁽

n ∈ N

)sellised, et

0 < kv n k _{E n} 6 d ∀n ∈ N ,

^(2.20)

kus

d

^{onmingipositiivne konstant. Vaatlemejada}

(x ⁽ⁿ⁾ ) ^∞ _n=1 ⊂ E = C[0, b]

^{, mison}

deneeritud järgmiselt:

x ⁽ⁿ⁾ (t) =

n

X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s · v jn , n = 1, 2, . . . , t ∈ [0, b].

^(2.21)

Näitame,etvalemi(2.21)abildeneeritudjada

(x ⁽ⁿ⁾ )

^onsuhteliseltkompaktne ruumis

E = C[0, b]

^{. Selleks kasutame järgmist} Arzela-Asoli teoreemi (vt [3℄, lk 45).

Teoreem 2.4. Hulk ruumis

C[a, b]

^on suhteliselt kompaktne parajasti siis, kui ta on ühtlaselt tõkestatud ja võrdpidev.

Kõigepealt näitame,et jada

(x ⁽ⁿ⁾ ) ^∞ _n=1 ⊂ E = C[0, b]

^{on ühtlaseltt} tõkestatud, s.tet leidubpositiivne reaalarv

M

^{nii,et iga}

n ∈ N

korral

|x ⁽ⁿ⁾ (t)| 6 M ∀t ∈ [0, b].

Tõepoolest,kuna

K

^{onpidevruudul}

[0, b] × [0, b]

^,siisiga

t ∈ [0, b]

^korralsaame

võrratuse (2.20) abil, et

|x ⁽ⁿ⁾ (t)| =

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|d

n

|x ⁽ⁿ⁾ (r 1 ) − x ⁽ⁿ⁾ (r 2 )| 6 Z b

0

|K(r 1 , s) − K(r 2 , s)|

^d

s · d

< bǫd bd = ǫ,

kui

r 1 , r 2 ∈ [0, b]

^,

|r 1 − r 2 | < δ

^ja

n ∈ N

.

Järgnevalt panemetähele, etkehtibvõrdus

T n v n = p n x ⁽ⁿ⁾ ,

kus

v n = (v 1n , . . . , v nn ) ^⊤ ∈ E n

⁽

n ∈ N

) on vektorid, mis rahuldavad tingimust (2.20).

Tõepoolest, iga

k = 1, . . . , n

^{korral järeldub} operaatorite

p n

^ja

T n

denitsioo-nidest, et

(p n x ⁽ⁿ⁾ ) k = 1 h k

Z t k

t k−1

" _n X

j=1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s · v jn

#

d

t

=

n

X

j=1

"

1 h k

Z t _k t k−1

Z t j

t j−1

K(t, s)

^d

s

!

d

t

#

v _jn = (T _n v _n ) _k

ehk

T n v n = p n x ⁽ⁿ⁾ .

Kuna jada

(x ⁽ⁿ⁾ ) n∈ N

^on suhteliselt kompaktne ruumis

E = C[0, b]

^{, siis lause}

1.1 põhjal on jada

(p n x ⁽ⁿ⁾ ) n∈ N

^{ja järelikult ka jada}

(T n v n ) n∈ N

diskreetselt kom-paktne. Seega on täidetud kompaktsuse nõue (1.5). Kokkuvõttes oleme saanud,

et operaatorite

T n : E n → E n

^jada

(T n ) n∈ N

^koondub kompaktselt operaatoriks

T : E → E

^.

2.5 Lähislahendite koondumine

Võrrandisüsteemi(2.10)lahenduvustjameetodikoonduvustiseloomustab

järgmi-ne teoreem.

Teoreem 2.5. Olgu

K

^ja

f

^pidevad funktsioonid vastavalt ruudul

[0, b] × [0, b]

ja lõigul

[0, b]

^{. Leidugu} integraalvõrrandile (2.1) vastaval homogeensel võrrandil (2.3) vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Olgu lõigul}

[0, b]

^{antud võrk}

∆ n

^{, mille korral}

on täidetud tingimus (2.5). Siis võrrandil (2.1) on ühene lahend

u ∈ C[0, b]

^ning

leidubselline

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

^{korralonkavõrr}andisüsteemil (2.10)ühene lahend

kus

c 1

^ja

c 2

^{on mingid suurusest}

n

^{ja suurima osalõigu pikkusest}

h

^sõltumatud

positiivsed konstandid ning

δ _k = 1

Tõestus. Integraalvõrrandit(2.1) vaatleme operaatorvõrrandina

u = T u + f,

^(2.25)

Banahi ruumis

E = C[0, b]

^{, kus}

T : E → E

^{on deneeritud valemiga (2.2).}

Olgu

n > 2

^{. Olgu}

∆ _n

^lõigul

[0, b]

^{antud võrk, millekorral kehtib tingimus (2.5).}

Võrranditesüsteemi (2.10)vaatlemeoperaatorvõrrandina

u n = T n u n + p n f,

^(2.26)

Banahi ruumis

E _n = m _n

^{, kus}

u _n = (c _n1 , . . . , c _nn ) ^⊤

^{on otsitav, operaator}

T _n : E n → E n

^{on deneeritud võrdustega (2.14), (2.13) ning}

p n : E → E n

^{on siduvad}

operaatorid, mison deneeritudvalemitega(2.11), (2.12).

Ilmselt

p n f → ^P f

^.

Eeldus, et integraalvõrrandi (2.2) vastaval homogeenselvõrrandil(2.3) on

ole-mas vaid triviaalnelahend

u = 0

^{onsamaväärne võrdusega}

ker(I − T ) = {0}

^.

Punktides 2.1-2.4 saadud tulemuste põhjal leiame, et on täidetud järgmised

tingimused:

1.

T ∈ L (E, E)

^ja

ker(I − T ) = {0}

^;

2.

T n ∈ L (E n , E n ) (n ∈ N )

^{ontäielikult pidevad;}

3.

p n f → ^P f

^;

4.

T n → T

kompaktselt.

Koonduvus (2.22)ja hinnang (2.23)järelduvadnüüd teoreemist 1.3.

Teoreem2.6. Olgu

K

^ja

f

^pidevaltdiferentseeruvadfunktsioonidvastavalt ruudul

[0, b] × [0, b]

^{ja lõigul}

[0, b]

^{. Leidugu} integraalvõrrandile(2.1) vastaval homogeensel võrrandil(2.3)vaidtriviaalnelahend

u = 0

^{. Olgu lõigul}

[0, b]

^antudvõrk

∆ n

^{, mille}

korral on täidetud tingimus (2.5). Siis leidub selline

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

^{korral on}

ka võrrandisüsteemil (2.10) ühene lahend

c _1n , . . . , c _nn

^{ning kehtib hinnang}

16k6n max

c kn − 1 h k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

6 ch,

^(2.27)

kus

h = max

j=1,...,n (t j − t j−1 )

^ja

c

^{on mingi suurustest}

n

^ning

h

^{sõltumatu positiivne}

konstant.

Tõestus. Antud eelduste korral järeldub hinnang (2.27) teoreemidest 2.3 ja 2.5

ning võrratusest (2.18),sest

δ k = (p n T u − T n p n u) k

^,

k = 1, . . . , n

^.

Teoreem 2.7. Olgu

K

^ja

f

^{kaks kordapidevalt} diferentseeruvad funktsioonid vas-tavalt ruudul

[0, b] × [0, b]

^{ja lõigul}

[0, b]

^{. Leidugu} integraalvõrrandile(2.1) vastaval homogeensel võrrandil (2.3) vaid triviaalne lahend

u = 0

^{. Olgu lõigul}

[0, b]

^antud

võrk

∆ n

^{, mille korral on täidetud tingimus (2.5). Siis leidub selline}

n 0 ∈ N

, et

n > n 0

^{korral onka} võrrandisüsteemil(2.10) ühene lahend

c 1n , . . . , c nn

^{ning kehtib}

hinnang

1 max 6 k 6 n

c kn − 1 h k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

6 ch ² ,

^(2.28)

kus

h = max

j=1,...,n (t j − t j−1 )

^ja

c

^{on mingi suurustest}

n

^ning

h

^{sõltumatu positiivne}

konstant.

Tõestus. Teoreemist 2.5 tõttu on vaja näidata vaid hinnangu (2.28) kehtivust.

Teoreemist 2.3 järeldub, et võrrandi (2.1) lahend

u

^{on kaks korda pidevalt}

dife-rentseeruv lõigul

[0, b]

^:

u ∈ C ² [0, b]

^.

Teoreemist 2.5järeldub, et hinnangu (2.28) saamiseks tuleb hinnata valemiga

(2.24) antud suurust

δ k

^suvalise

k = 1, . . . , n

^{korral. Nüüd samasusest}

K(t, s) = K(t, s) − K(t, t j/2 ) + K (t, t j/2 )

järeldub

k = 1, . . . , n

^{korral, et}

saame võrdusest (2.17) ja (2.29),et

δ k = L k1 + L k2 + L k3 , k = 1, . . . , n,

K ˆ := max

(t,s)∈[0,b]×[0,b] |K(t, s)|, K ˆ ^′ := max

Hindame kõigepealt suurust

L k1

⁽

k = 1, . . . , n

^{). Lagrange'i} keskväärtusteoree-mist järeldub, etiga

t ∈ [0, b]

^ja

j = 1, . . . , n

^korral

siiskehtib hinnang

|L k1 | 6 K ˆ ^′ u ˆ ^′ bh ² , k = 1, . . . , n.

^(2.33)

Hindame avaldist

L k2

⁽

k = 1, . . . , n

^{). Arvestades hinnanguid (2.30) ja (2.31)}

ning võrduseid (2.32) ja

1 h j

Z t j

t j−1

d

s = 1, j = 1, . . . , n,

^(2.34)

|L k2 | 6 K ˆ ^′ u ˆ ^′ bh ² (k = 1, . . . , n).

^(2.35)

Kuna

u = u(t)

^{on kaks korda pidevalt}diferentseeruv, siis

u(s) − u(t _j/2 ) = u ^′ (t _j/2 )(s − t _j/2 ) + u ^′′ (ξ _j )

k = 1, . . . , n

^korral

|M k3 | 6 K ˆ u ˆ ^′′ b 2 h ² ,

|N k3 | 6 K ˆ u ˆ ^′′ b 2 h ² .

Seega kehtib hinnang

|L k3 | 6 K ˆ u ˆ ^′′ bh ² (k = 1, . . . , n).

^(2.36)

Hinnangutest (2.33),(2.35) ja (2.36) järeldub,et iga

k = 1, . . . , n

^korral

|δ k | 6 ch ² ,

kus konstant

c = (2 ˆ K ^′ u ˆ ^′ + ˆ K u ˆ ^′′ )b

eisõltu suurusest

n

^{ega suurusest}

h

^{. Seegahinnang (2.28)kehtib.}

Numbriliste tulemuste saamiseks ja graakute koostamiseks on kasutatud autori

pooltkirjutatud Silabiprogrammi, misonantud lisas.

3.1 Näide 1

Vaatlemeintegraalvõrrandit

u(t) − Z 1

0

t ^2.4 s ^2.5 u(s)

^d

s = t ^2.5 − 1

6 t ^2.4 , t ∈ [0, 1].

^(3.1)

Antud võrrand onkujul (2.1), kus

b = 1

^ning

K(t, s) = t ^2.4 s ^2.5 , t ∈ [0, 1]

ja

f (t) = t ^2.5 − 1

6 t ^2.4 , t ∈ [0, 1].

Integraalvõrrandi(3.1) lahendiks on

u(t) = t ^2.5 , t ∈ [0, 1].

^(3.2)

Lahendi (3.2) lähendi

u n (t)

⁽

n ∈ N

) leidmiseks kasutame punktis 2.2 kirjelda-tud meetoditvõttes aluseks ühtlase võrgu

t _i = ih,

kus

i = 0, 1, . . . , n

^ja

h = 1/n

^.

Meetodi vea

ǫ n

^arvutame järgmiselt:

ǫ n = max

16k6n

c kn − 1 h _k

Z t k

t k−1

u(s)

^d

s

,

^(3.3)

kus

h k

^{on lõigu}

[t k−1 , t k ] (k = 1, . . . , n)

^{pikkus ja}

c 1n , . . . , c nn

^{on leitud meetodi}

võrrandisüsteemist (2.10). Saadudnumbrilisedtulemused onesitatudtabelis 1.

n

ǫ n ǫ n /ǫ 2n

2 0.0183998 2.6397808

4 0.0069702 3.339978

8 0.0020869 3.6825481

16 0.0005667 3.8446404

32 0.0001474 3.9202128

64 0.0000376 3.9578947

128 0.0000095 3.9583333

256 0.0000024 4.0000000

512 0.0000006

Tabel1: Võrrandi(3.1) lähislahendite koondumine.

Tabelist näeme, et numbrilised tulemused vastavad teoreemi 2.7 hinnangule

(2.28).

Joonisel 1toodud graakud illustreerivadlähislahendikoonduvust täpseks

la-hendiks.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 32

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 128

Joonis 1: Näite1graakud lõigul

[0, 1]

^{, kui}

n = 32, 128

^.

3.2 Näide 2

Vaatlemeintegraalvõrrandit

u(t) − Z 1

0

s ^0.4 u(s)

^d

s = t ^0.1 − 2

3 , t ∈ [0, 1].

^(3.4)

Antud võrrand onkujul (2.1), kus

b = 1

^ning

K (t, s) = s ^0.4 , t ∈ [0, 1]

ja

f(t) = t ^0.1 − 2

3 , t ∈ [0, 1].

Integraalvõrrandi(3.4) lahendiks on

u(t) = u(t) = t ^0.1 , t ∈ [0, 1].

^(3.5)

Lahendi (3.5) lähendi

u n (t)

⁽

n ∈ N

) leidmiseks kasutame punktis 2.2 kirjelda-tud meetoditvõttes aluseks ühtlase võrgu

t i = ih,

kus

i = 0, 1, . . . , n

^ja

h = 1/n

^.

Meetodivea

ǫ n

^{arvutamevalemiga(3.3),kus}

h k

^onlõigu

[t k−1 , t k ] (k = 1, . . . , n)

pikkus ja

c 1n , . . . , c nn

^{onleitud meetodi}võrrandisüsteemist (2.10).Saadud arvuli-sed tulemused onesitatudtabelis 2.

n

ǫ _n S _n

2 0.0237526 2.6405274

4 0.0089954 2.7005104

8 0.0033310 2.7406615

16 0.0012154 2.7679344

32 0.0004391 2.7861675

64 0.0001576 2.7992895

128 0.0000563 2.8009950

256 0.0000201 2.8309859

512 0.0000071

Tabel2: Võrrandi(3.4) lähislahendite koondumine.

Kuna integraalvõrrandi(3.4) korraleioleteoreemide 2.6ja2.7eeldused

täide-tud,siisteoreetilisedhinnangud(2.27)ja(2.28)eipruugikehtida.Tabelis2saadud

numbrilised tulemused näitavad, et hinnang (2.28) tõepoolest ei kehti, kuid

mee-todikoondumine on isegi natuke kiiremkuiseda näitabhinnang(2.27).

Joonisel 2toodud graakud illustreerivadlähislahendikoonduvust täpseks

la-hendiks.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 32

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

n = 128

Joonis 2: Näite2graakud lõigul

[0, 1]

^{, kui}

n = 32, 128

^.

[1℄ G. Kangro, Matemaatiline analüüs I. Teine, parandatud ja täiendatud trükk,

Valgus, Tallinn, 1982.

[2℄ G. Kangro,Matemaatiline analüüs IIosa, Valgus, Tallinn, 1968.

[3℄ E. Oja,P. Oja,Funktsionaalanalüüs, Tartu Ülikool,Tartu, 1991.

[4℄ G. Vainikko, Approximative methods for nonlinear equations (two approahes

to the onvergene problem), Pegamon Press Ltd, Great Britain,1978.

[5℄ G. Vainikko, Diskretisatsioonimeetodite analüüs, Tartu Ülikool, Tartu, 1976

(vene keeles).

Peatükis 3näidete lahendamiselkasutatud Silabi programm:

lear;

format(10);

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Osalõikude arv

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n=8;

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Näited

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//////Näide 1

//

//b=1; //lõik [0,b℄

//

//funtion g=vabauld(t)

// g=t^2.5

−

^{(1/6)*(t^2.4);}

//endfuntion

//

//funtion K=t u u m(t,s)

// K= (t^2.4)*(s^2.5);

//endfuntion

//

////Teoreetiline lahend

//funtion y= lahend(t)

// y=t^(2.5);

//endfuntion

////Näide 2

b=1; //lõik [0,b℄

funtion g=vabauld(t)

g= t^0.1

−

^2/3

endfuntion

funtion K=t u u m(t,s)

K= s^0.4

endfuntion

funtion y= lahend(t)

y= t^0.1

endfuntion

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Meetod

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Koostan võrgu

vX=zeros(1,n+1);

r=1 //r> = 1, r=1 annab ühtlase võrgu

for i=0:n

vX(i+1)= b*((i/n)^r);

end

//lõikude pikkused:

pikkused=zeros(1,n);

for i=0:1:(n

−

¹⁾

pikkused(i+1)=vX(i+2)

−

^vX(i+1);

end

//vaja kahekordse integraali arvutamiseks

funtion K=integrate_tuum(t,a,b) //a,b on rajapuntid

K=integrate('t u u m(t,s)','s',a,b);

endfuntion

A=zeros(n,n);

B=zeros(n,1);

for k=1:n

B(k) =integrate('vabauld(t)','t',vX(k),vX(k+1));

for j=1:n

if k==j then

A(k,j)=( vX(k+1)

−

^{vX(k) )}

−

^...

integrate ...

('integrate_tuum(t,vX(k),vX(k+1))' ,...

't' ,vX(k),vX(k+1));

else

A(k,j)=(

−

^1)...

('integrate_tuum(t,vX(j),vX(j +1))' ,...

't' ,vX(k),vX(k+1));

end

end

end

C=linsolve(A,

−

^B);

funtion y=lahendyn(t)

y=0;

if ( vX(1) <= t & t <= vX(2) ) then

y=C(1);

end

for i=2:n

if ( vX(i) < t & t <= vX(i+1) ) then

y=C(i );

end

end

//kui on väljaspool me lõiku , siis y =0

if t < vX(1) | t > vX(n+1) then

y=0;

end

endfuntion

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

//Viga ja joonestamine

//

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Xid=zeros(11,n);

for i=1:n

for j=0:10

Xid(j+1,i) =vX(i)+(j/10)*(vX(i+1)

−

^{vX(i ));}

end

end

//ilusti ühes veerus

for j=1:11

JoonistavadXid(j) =Xid(j ,1);

end

for i=2:n

JoonistavadXid(11+(i

−

^2)*10+(j

−

^{1))=Xid(j ,i );}

end

end

for i=1:length(JoonistavadXid)

gr(i) =lahendyn( JoonistavadXid(i) );

end

lf ;

plot(JoonistavadXid , gr, 'blue ');

plot(JoonistavadXid , lahend(JoonistavadXid), 'red ');

F=4;

//legends([ '$\text{lähend} \ y _ n $';...

//'$\text{täpne lahend } y$ '℄ ,...

//[2,5℄ ,opt=2,font_size=F); // Graafiku legend

legends(['$\text{lähend} \ y _ n $';...

'$\text{täpne lahend } y$ '℄ ,...

[2,5℄,opt="lr",font_size=F);

title ('n = ' + string(n),'fontsize ',F); //Graafiku legend

for i=1:n

uusnormiga(i) =C(i)

−

^...

integrate('lahend(s)','s',vX(i),vX(i+1))...

/( vX(i+1)

−

^{vX(i) );}

end

uusnorm=max( abs(uusnormiga) )

üldsusele kättesaadavaks tegemiseks

Mina, Margus Lillemäe,

1. annanTartuÜlikooliletasutaloa(lihtlitsentsi)endaloodudteoseFredholmi

integraalvõrrandi lahendi tükiti konstantne aproksimatsioon , mille

juhen-daja on Arvet Pedas,

1.1. reprodutseerimisekssäilitamisejaüldsuselekättesaadavakstegemise

ees-märgil,sealhulgas digitaalarhiiviDSpae-is lisamise eesmärgilkuni

au-toriõigusekehtivuse tähtaja lõppemiseni;

1.2. üldsuselekättesaadavakstegemiseksTartuÜlikooliveebikeskkonna

kau-du, sealhulgas digitaalarhiivi DSpae´i kaudu kuni autoriõiguse

kehti-vuse tähtaja lõppemiseni.

2. olen teadlik, etpunktis 1 nimetatud õigusedjäävadalles kaautorile.

3. kinnitan,etlihtlitsentsiandmisegaeirikutateisteisikute

intellektuaaloman-diega isikuandmetekaitse seadusest tulenevaidõigusi.

Tartus, 15.05.2018

Im Dokument Ta  (Seite 7-0)