Ta 2017 Baka

(1)

Loodus- ja täppisteaduste valdkond

Matemaatika ja statistika instituut

Matemaatika eriala

Kristiina Mähar

p

^-aadilised ^arvud

Bakalaureusetöö (9 EAP)

Juhendaja: Lauri Tart

Tartu 2017

(2)

p

^-aadilised ^arvud

Bakalaureusetöö

Kristiina Mähar

Lühikokkuvõte.Käesolevabakalaureusetööeesmärgiksonandaülevaade

p

-aadilistest arvudestja nendeomadustest.Töösonkäsitletudnormeeritud korpusi ja ultrameetrilisi

ruume,

p

^-aadiliste^arvude ^korpust^ning^sellealgebralisi,topoloogilisijaanalüütilisi omadusi,

p

^-aadilist aritmeetikat, ratsionaalarvude

p

^-aadilist reaksarendust ning

p

^-aadiliste

polünoomide juuri. Muuhulgas vaadeldakse erinevaidratsionaalarvudekorpuseldenee-

ritudnormejanendeekvivalentsustningtehaksesissejuhatus

p

^-aadilistekompleksarvude ja

g

^-aadiliste ^arvudevaldkondadesse(kordarvulise

g

^jaoks).

CERCSteaduseriala:P120Arvuteooria,väljateooria,algebralinegeomeetria,algeb-

ra,rühmateooria.

Märksõnad.

p

^-aadilised^arvud,

p

^-aadiline ^analüüs,^ühejuured, normeeritud korpused

p

^-adi ^numbers

Bahelor'sthesis

Kristiina Mähar

Abstrat.Thepurposeofthisbahelor'sthesisistoonsider

p

^-adi^numbers^and^their

properties.Topisoveredinludenormedeldsandultrametrispaes,theeldof

p

^-adi

numbersanditsalgebrai,topologialandanalytialproperties,

p

^-adi^arithmeti,^the

p

^-

adiexpansionofrationalnumbersandrootsof

p

^-adipolynomials.Additionally,wewill take alookatthe equivaleneof normsoverrationalnumbers andmakeanintrodution

tothetopisof

p

^-adi^omplex^numbers^and

g

^-adi ^numbers^(for^a^omposite^number

g

^).

CERCS researh speialisation: P120 Numbertheory,eld theory,algebrai geo-

metry, algebra,grouptheory.

Keywords.

p

^-adi ^numbers,

p

^-adi ânalysis, ^rootsôf ûnity^,^normed êlds

(3)

Sissejuhatus 4

1 Normeeritud korpused 6

1.1 Normidja jadad . . . 6

1.2 Normide ekvivalentsus . . . 8

1.3 Normeeritudkorpusetäielikustamine . . . 10

2 Ultrameetrilised ruumid 12 3

p

^-aadiliste ^arvude ^korpus ¹⁴ 4

p

^-aadiliste ^arvude aritmeetika 19 4.1 Liitmineja lahutamine . . . 19

4.2 Korrutamine . . . 21

4.3 Jagamine . . . 22

5 Ratsionaalarvude

p

^-aadilinereaksarendus 24 6 Henseli lemma ja

p

^-aadiliste^arvude kongruentsus 29 7

p

^-aadiliste ^arvude ^omadused ³⁵ 7.1 Topoloogilised omadused . . . 35

7.2 Jadad ja readkorpuses

Q _p

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³⁹

7.3 Algebralised omadused . . . 41

7.4

p

^-aadiliste kompleksarvudekorpus

C p

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁴⁵

8 Ekvivalentsed normidkorpusel

Q

⁴⁶

9 Hulgad

Q g

^, ^kus

g

êiôle âlgarv ⁴⁹

Kasutatud kirjandus 54

(4)

Käesolevabakalaureusetööeesmärgiksonanda ülevaade

p

-aadilistestarvudestningnen- de omadustest. Esimesena kirjeldas

p

^-aadilisi ^arve ^Kurt ^Hensel ^19.^sajandi^lõpul. ^Kuigi

kohealgusesneilepraktilistrakendusteileitudjaneidkäsitletikuieksootilistosapuhtast

matemaatikast, siis tänapäeval on

p

-aadilistel arvudel matemaatikas oluline koht. Seda näiteks arvuteoorias, kus

p

^-aadilised ^arvud ^võimaldav^ad ^kasutada matemaatilise ana- lüüsi meetodeid erinevate probleemide lahendamiseks, astmeridadega seotud tehnikate

arvuteooriasse sissetoomine oligiüks

p

^-aadiliste ^arvude ^esimesi matemaatikasiseseid ra- kendusalasid.Kõigetuntuimaks

p

^-aadilisi^arvuderakendusteksonilmseltAndrewWiles'i Fermat'suureteoreemitõestus.

p

^-aadiliteârvude^põhjalônîsegi^välja^töötatud^terve^ma-

temaatikavaldkond,midakutsutaks

p

-aadilisteksanalüüsiks,ningmispakubalternatiivi klassikalisele matemaatilisele analüüsile.

p

-aadilistelarvudelleidub mitmeidkasutusalasidkaväljaspoolmatemaatikat. Näiteks leidub neil olulisirakendusi füüsikas, kus teatud mudeleid on kasulikum kirjeldada just

p

^-aadiliste ^arvude ^abil. ^Samuti kasutatakse

p

^-aadilisi ^arve ^näiteks arvutiteaduses pseu- dojuhuslike arvudegenereerimiseks, bioloogias keerulistesüsteemidekirjeldamiseksning

veel paljudes teistes valdkondades. Huvitatud lugejal on

p

^-aadiliste ^arvude ^ning ^nende

rakendustega võimalikpõhjalikumattutvuda artikli[8℄ abil.

SiinesitatudmaterjaltäiendabToivoLeigeripooltkoostatudmittearhimeedilisefunkt-

sionaalanalüüsi loengukonspektile [9℄, mis on praktiliselt ainus põgusam sellealane ees-

tikeelne käsitlus. Seetõttu on edasipidi eelnimetatud loengukonspektis juba tõestatud

tulemustele ületõestamistest loobutud ning vastavate konspekti [9 ℄ osadele viidatud..

Käesolev bakalaureusetöö on referatiivne ning selle kirjutamisel oli peamiseks allikaks

Svetlana Katoki poolt kirjutatud õpik [7℄. Lisaks sellele kasutati töö kirjapanekul raa-

matuid [3 ℄,[4℄,[1 ℄,elektroonilisimärkmeid [5℄,[6 ℄ jaloengukonspekte [9℄,[2 ℄.

Esimeses, sissejuhatavas peatükis on ära toodud meetriliste ruumide ja normeeritud

korpustegaseotudpõhimõistedningnendeomadused,midatööshiljemvajaläheb.Lisaks

antakse ülevaade normeeritud korpuse täielikustamise protsessist.

Teisespeatükistuuaksesissemittearhimeedilisenormijaultrameetriliseruumimõisted

ning vaadeldakse nende omadusi. Samuti näidatakse erinevust arhimeediliste ning mit-

tearhimeedilistenormidevahelningkirjeldatakse mõningaidolulisemaidultrameetriliste

ruumideomadusi.

Kolmandaspeatükisdeneeritakse

p

^-aadiline^norm^jakonstrueeritakse

p

^-aadiliste^arvu-

dekorpus.Näidatakse, et

p

-aadilistelarvudelonühenenn.kanoonilineesitus,jatehakse sellestmõned järeldused.

Järgmises ehkneljandas peatükis vaadatakselähemalt

p

^-aadilisteârvude âritmeetikât

nii abstraktselt, kui ka konkreetsete näidet abil. Kirjeldataksetäisarvu mõistet laienda-

vaid

p

^-aadilisi^täisarve ^ning^nende pööratavust.Tulebvälja,etleidub

p

^-aadilisi^täisarve,

mille pöördelemendidon samuti

p

^-aadilised^täisarvud.

Viiendas peatükis onesitatudmeetodratsionaalarvudearendamiseks

p

-aadilisteksarvudeks ning esitatud tingimus

p

^-aadilise ^arvu ratsionaalarvuks olemise jaoks. On näi- datud, kuidas seda teha mitmetel erijuhtudel ning toodud selle kohta ka konkreetseid

näited.

(5)

leidmiseks

p

^-aadiliste^arvude ^korpuses^(Henseli ^lemma).^Viimasest tuletataksekriteeriu- midjuurtekuulumiseks

p

^-aadiliste^täisarvude^hulka^ja^ruutjuurteleidumiseks

p

^-aadiliste

arvude korpuses.

Seitsmendas peatükis on eraldi vaatluse all

p

^-aadiliste ^arvude analüütilised, topoloogilised ning algebralised omadused. Kirjeldatakse näiteks kerasid ning nende vahekordi

korpuses

Q _p

^,

p

^-aadiliste ^täisarvude täielikkust,

p

^-aadiliste ^ridade ^koonduvust ^ja ^abso-

luutselt koonduvust,

p

^-aadilisi ^ühejuuri ^ning näidatakse, et

p

^-aadilised ^täisarvude ^hulk

on

p

^-aadiliste ârvude ^korpuse ^kõikjal ^tihe âlamhulk. ^Tûleb ^välja, êt

p

-aadilistel arvudel on reaalarvudega sarnaseid omadusi, aga ka selliseid huvitavaidomadusi, mida reaalar-

vude hulgal ei ole, näiteks koonduvad read parajasti siis, kui rea üldliige hääbub, kõik

kerad

p

^-aadiliste^arvude^ruumis^onⁿⁱⁱ^kinnised^kui^lahtised ^hulgad^ning^neil ^pole^kindlat

keskpunkti ja

√ − 1 ∈ Q p

^parajasti ^siis, ^kui

p ≡ 1 (

^mod

4)

^. ^Peatükki ^lõpus ^on ^tehtud

sissejuhatus

p

^-aadilistekompleksarvude valdkonda.

Kaheksandas peatükis sõnastatakse ning tõestatakse Ostrowski teoreem, mis näitab,

etkõik mittetriviaalsed normid ratsionaalarvudekorpusel onekvivalentsed kasabsoluut

väärtusegavõiühega

p

-aadilistestnormidest.Sellestjäreldub,etratsionaalarvudekorpuse ainsatekstäielditekson reaalarvude korpus ning

p

^-aadiliste ^arvude ^korpused.

Üheksandas ehk viimases peatükis antakse lühike ülevaade

g

-aadilistest normidest ja arvudestehksellest,misjuhtubsiis,kuiproovidadeneerida

p

-aadiliselenormilesarnane

g

^-aadiline ^norm, ^kus

g

^on^kordarv.

(6)

Selles peatükis tuletame meelde vajalikud funktsionaalanalüüsi mõisted ja deneerime

normeeritud korpused,kirjeldame,mida kujutabendastnormideekvivalentsus ningkui-

dasnormeeritud korpuseid onvõimalik täielikustada.

1.1 Normid ja jadad

Tuletame esiteksmeeldemeetrika jasellejärgi koonduvusegaseotudmõisted ningvaat-

leme neidnormeeritud korpuste kontekstis.

Denitsioon 1.1. Meetriline ruum on selline hulk

M

^,^millel ^on ^määratud ^kujutus

d : M × M → R

^,^midanimetatakse meetrikaks ning millelon järgmisedomadused:

(a)

d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(b)

d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ M,

()

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ M.

^(kauguse ^kolmnurga ^võrratus)

Arvu

d(x, y)

nimetatakse punktide

x, y

^vaheliseks^kauguseks.

Enne järgmisedenitsioonijuurdeminekut,teeme kõigepealtvaikimisieelduse, etselles

tööson kõikkorpused kommutatiivsed.

Denitsioon1.2. Olgu

(K, +, · )

^korpus.^Norm^korpused

K

^on^kujutus

k·k : K → [0, ∞ )

^,

millelon järgmised omadused:

(A1)

k x k = 0

^ainult ^siis, ^kui

x = 0,

(A2)

k xy k = k x k k y k ∀ x, y ∈ K,

(A3)

k x + y k ≤ k x k + k y k , ∀ x, y ∈ K

^(normi^kolmnurga ^võrratus).

Normiga varustatud korpust

K = (K, k·k )

nimetatakse normeeritud korpuseks ningo omadusi (A1)-(A3) normi aksioomideks. Normi kutsutakse triviaalseks, kui

k 0 k = 0

^ja

k x k = 1

^iga

0 6 = x ∈ K

^korral. ^Olgu ¹ ^korpuse

K

ühikelement ja -1 ühikelemendi vastandelement.Paneme tähele,etiga

n ∈ N

^korral

n · 1 = 1 + ... + 1

| {z }

n

^liidetavat

∈ K.

Edaspiditähistame sellist elementilihtsaltnaturaalarvuga

n

^.

Lause 1.3 ([9 ,lause 2.1℄). Mis tahes

x, y ∈ K

^korral ^kehtivad ^järgmised ^omadused:

(a)

k 1 k = k− 1 k = 1,

(b)

k x k = k− x k ,

(7)

()

k x ± y k ≥ |k x k − k y k| ,

(d)

k x − y k ≤ k x k + k y k ,

(e)

^x y

= ^k _k ^x _y ^k _k ,

(f)

k n k ≤ n ∀ n ∈ N.

Olgu

d(x, y) = k x − y k

^. ^Normi denitsioonist ning selle omadustest järeldub, et

d

^on

meetrika. Tõepoolest,

d(x, y) = 0

^siis ^ja ^ainult ^siis, ^kui

x = y

^; ^omadusest ^(b) ^järeldub,

et

d(x, y) = d(y, x)

^ning ^omadusest ^(d) ^järeldub ^kolmnurga ^võrratuse ^kehtimine. ^Seega

on

(K, k·k )

^meetriline^ruum ^ning^sellisel^juhul^öeldakse,^et^see^meetrika ^onindutseeritud normi

k·k

^poolt.

Denitsioon 1.4. Öeldakse, etjada

(x n )

^,^kus

x n ∈ K

(a)on tõkestatud,kui leidub selline reaalarv

C > 0

^,^et

k a n k < C ∀ n ∈ N;

(b)on hääbuv ehk nulljada,kui

n lim →∞ k a n k = 0

ehk iga

ε > 0

^korral ^leidub ^selline

N (ε) ∈ N

^, ^et ^iga naturaalarvu

n > N

^korral

k a n k < ε

^;

()on Cauhy jada,kui

n,m lim →∞ k a n − a m k = 0

ehk iga

ε > 0

N (ε) ∈ N

^, ^et ^kõigi naturaalarvude

n, m > N

korral

k a _n − a _m k < ε

^;

(d)koondub arvuks

a ∈ K

^ehk

lim

n →∞ a _n = a

^,^kui

n lim →∞ k a − a n k = 0

ehk iga

ε > 0

N ∈ N

^, ^et ^iga naturaalarvu

n > N

^korral

k a n − a k < ε

^.

Sellestdenitsioonistjäreldub,etigahääbuvjadakoondubnulliks.Kolmnurgavõrratust

kasutadesnäemeka,etigakoonduvjada on Cauhyjada.Tõepoolest,olgu

lim

n →∞ a _n = a

ningkseerime vabalt

ε > 0.

^Kuinaturaalarvud

n, m > N ^ε ₂

∈ N

^,^siis

k a n − a m k = k a n + a − a − a m k ≤ k a n − a k + k a m − a k < ε

2 + ε

2 = ε.

(8)

Denitsioon 1.5. Meetrilise ruumi

M

^alamhulka

A

nimetatakse lahtisekshulgaks, kui igal sellehulga elemendilleidub selline ümbrus, mis kuulubtäielikult hulka

A

^.

Denitsioon1.6. Meetrilise ruumi

M

^alamhulka

A

nimetataksekinniseks hulgaks, kui seesisaldab kõikiomarajapunkte,stkõiki selliseidpunkte

a ∈ M

^, ^et

B (a, ε) = { x ∈ M |k x − a k < ε } ∩ A 6 =

^Ø ^ja

B (a, ε) ∩ (M \ A) 6 =

^Ø

∀ ε > 0.

1.2 Normide ekvivalentsus

Kirjeldame siinkohalvõimalike seoseidkorpuse

K

^normid ^vahel..

Denitsioon 1.7. Norme

k·k 1

^ja

k·k 2

^korpuses

K

nimetatakse ekvivalentseteks, neil on samad Cauhyjadad ehk

lim m,n k a n − a m k 1 = 0 ⇔ lim

m,n k a n − a m k 2 = 0,

Viimastsituatsioonitähistatakse

k·k 1 ∼ k·k 2

^.

Järgmisekstõestame ühelihtsaaga väga kasuliku lause.

Lause 1.8. Olgu

x ∈ K

^. ^Sellisel ^juhul

k x k < 1

^parajasti^siis, ^kui

lim

n →∞ k x ⁿ k = 0

^.

Tõestus. Olgu

x

^korpuse

K

^element ^ning ^kehtigu

k x k < 1

^. ^Kuna

k x ⁿ k = k x k ⁿ

^, ^siis

saame,et

n lim →∞ k x ⁿ k = lim

n →∞ k x k ⁿ = 0.

Teisipidi, kui

k x k ≥ 1

^, ^siis ^iganaturaalarvu

n

^korral

k x ⁿ k ≥ 1

^ning ^seega

lim

n →∞ k x ⁿ k 6 = 0

^.

Lause 1.9. Olgu

k·k 1

^ja

k·k 2

^normid^korpusel

K.

^Kui

k·k 1

^on ^triviaalne ^norm^ja

k·k 1 ∼ k·k ₂

^siis ^on ^ka

k·k ₂

^triviaalne ^norm.

Tõestus. Olgu

k·k ₁

^triviaalne ^norm ^üle ^korpuse

K

^ning

k·k ₁ ∼ k·k ₂

^. ^Eeldame ^vastu

väiteliselt,et

k·k 2

^ei^ole triviaalne.Siis leidubselline

a ∈ K

^nii,^et

0 < k a k 2 < 1

^ja ^seega

n lim →∞ k a ⁿ k 2 = 0

^. ^Kuid ^tänu ^sellele, ^et ^normid

k·k 1

^ja

k·k 2

^on ^omavahel ekvivalentsed, kehtib ka

lim

n →∞ k a ⁿ k 1 = 0

^, ^mis ôn âga ^vastuolus êeldusega, êt

k·k 1

^on triviaalne, kuna eeldasime, et

a 6 = 0

^ning ^järelikult

lim

n →∞ k a ⁿ k ₁ = lim

n →∞ 1 ⁿ 6 = 0

^.^Järelikult ^on ^norm

k·k ₂

samuti trviaalne

Lause 1.10. Kaks normi

k·k 1

^ja

k·k 2

^korpusel

K

^on ekvivalentsed parajasti siis, kui leidub sellinepositiivne reaalarv

a

^,^et

k x k 1 = k x k ^a 2 ∀ x ∈ K.

^(1.1)

(9)

Tõestus. Tarvilikus. Olgu

k·k 1 ∼ k·k 2

^. ^Oletame ^vastuväiteliselt, et võrdus (1.1) ei kehtiehkleiduvad sellised

x, y ∈ K

^,^mille ^korral

a(x) = ln k x k 2

ln k x k 1 6 = ln k y k 2

ln k y k 1

= a(y).

Selliseljuhulonvektorid

a = (ln k x k 1 , ln k x k 2 )

^ja

b = (ln k y k 1 , ln k y k 2 )

lineaarseltsõltu- matudningmoodustavadvektorruumi

R ²

^baasi.^Olgu

k·k

^ruumi

ℓ ² ₂

^norm^ehkeukleidiline kaugusruumis

R ²

^.^Iga ^vektor

v ∈ R ²

^on ^võimalik^kirja^panna ^kujul

v = v ₁ a + v ₂ b

^.^De-

neerime

w = ⌊ v ₁ ⌋ a + ⌊ v ₂ ⌋ b

^,^kus

⌊·⌋

^on^alumise ^täisosa funktsioon.Siis

k v − w k = k v 1 a − ⌊ v 1 ⌋ a + v 2 b − ⌊ v 2 ⌋ b k

≤ k a k k v ₁ − ⌊ v ₁ ⌋k + k b k k v ₂ − ⌊ v ₂ ⌋k

≤ k a k + k b k =: R.,

st, etkõik ruumi

R ²

^vektorid ^on^mingi ^raadiuse

R

^kaugusel ^mõnesttäisarvulisest vek- torist. Muuhulgas on igaskeras

B ¯ (R, a)

^mõnitäisarvuline vektor.Leiame need järjest keradest,misonpandudnnristkülikutesse

[2kR, 2(k+1)R] × ( −∞ , − kR]

^.^See^tähendab,

etonvõimalikleida jada

(v _k,1 , v _k,2 )

^,^nii,^et^iga

k = 1, 2, . . .

v _k,1 a + v _k,2 b ∈ [2kR, 2(k + 1)R] × ( −∞ , − kR].

Seeomakorda tähendab,et

2kR ≤ v _k,1 ln k x k ₁ · v _k,2 ln k y k ₁ ≤ 2 (k + 1) R

^ja

v _k,1 ln k x k ₂ + v _2,1 ln k y k 2 ≤ − kR

^.

Olgu jada

z _k = x ^v ^k,1 y ^v ^k,2 ∈ K

^.^Siis

k z _k k 2 = k x k ^v 2 ^k,1 k y k ^v 2 ^k,2 = k x k

lnkyk 2

lnkxk 2 v k,2 +v k,1

2 ≤ k x k

−kR lnkxk 2

2 = e ⁻ ^kR .

Kui

k → ∞

^,^siis

k z k k 2 → 0

^ehk

z k

^on ^normi

k·k 2

^järgi ^hääbuv^jada ^ning ^seega ^Cauhy^.

Samas

k z _k k ₁ = k x k ^v 1 ^k,1 k y k ^v 1 ^k,2 = k x k

lnkyk1

lnkxk 1 v k,2 +v k,1

1 ∈ h

e ^2uR , e ^2(u+1)R i .

Kui

u − l ≥ 2

^,^siis

k z _u − z _l k ₁ ≥ k z _u k ₁ − k z _l k ₁ ≥ e ^2uR − e ^2(l+1)R ≥ e ^2(u+2)R − e ^2(l+1)R ≥ e ^2R − 1 > 0.

Järelikult

(z _n )

^ei^ole^Cauhy^jada^normi

k·k 1

^suhtes.^Seeônâga^vâstuolus^meieêeldusega,

etnormid

k·k ₁

^ja

k·k ₂

^on ekvivalentsed.

Piisavus.Oletame,et leidubselline positiivnereaalarv

a

^,^et

k x k ₁ = k x k ^a ₂ , ∀ x ∈ K.

On lihtne näha, et siis on nendel normidel samad Cauhy jadad. Tõepoolest, kui jada

(a n )

^on ^Cauhy^jada ^normi

k·k 1

^ehk ^iga

ε > 0

^jaoks ^leidub ^selline ^indeks

N > 0,

^et ^kõigi

(10)

m, n ≥ N 1

^korral

k a n − a m k 1 = k a n − a m k ^a 2 < ε,

siismingiindeks

N ₂

^korral^ilmselt

k a n − a m k 2 < ε,

kui

n, m > N ₂

^.

Järgmisena kirjeldame kõiki norme ratsionaalarvude korpusel, mis on ekvivalentsed

absoluutväärtusega.

Lause 1.11. Kujutus

k x k = | x | ^a , 0 < a ∈ R

^, ^on ^normratsionaalarvude hulgal

Q

^siis ^ja

ainultsiis, kui

a ≤ 1

^. ^Kõik ^sellised ^normid^on ekvivalentsed absoluutväärtusega

|·|

^.

Tõestus. Olgu

a ≤ 1

^. ^Kahe êsimese ^normi âksioomi ^kehtimine ôn îlmne, ^peame ^kont-

rollima vaidkolmnurga võrratuse kehtivust. Oletame lihtsue mõttes, et

| y | ≤ | x |

^, ^juhul

| y | > | x |

^on ^tõestus ^sarnane.^Siis

| x + y | â ≤ ( | x | + | y | ) â = | x | â

1 + | y |

| x | a

≤ | x | ^a

1 + | y |

| x |

≤ | x | ^a

1 + | y |

| x | a

= | x | ^a + | y | ^a .

Võrratus

| x | ^a 1 + ^| ^y ^|

| x |

a

≤ | x | ^a 1 + ^| ^y ^|

| x |

järeldubsellest,et

1 + ^| ^y ^|

| x |

a

= t ^a ≤ t

^,^kui

t > 1

ja

a ≤ 1

^,^ning^järgmine^võrratus^asjaolust,^et

^| _| _x ^y ^| _| < 1

^ehk

t ^a ≥ t

^,^kui

0 ≤ t ≤ 1

^ja

a ≤ 1

^.

Kui aga

a > 1

^,^siis^kolmnurga^võrratus ^ei^kehti. ^Näiteks

| 1 + 1 | â = 2 â > | 1 | â + | 1 | â = 2

^.

See, et

|·| ^a ∼ |·|

^,^järeldub ^otseselt^eelmisest ^lausest.

1.3 Normeeritud korpuse täielikustamine

Antudalapeatükisannameülevaatesellest,kuidassuvalisenormeeritudkorpuse

K

^jaoks

konstrueerida sedasisaldavtäielik normeeritud korpus

K

^.

Denitsioon1.12. Normeeritudkorpust

K

nimetataksetäielikuks,kuiigaCauhyjada selles korpuseskoondub.

Denitsioon1.13. Meetrilisiruume

K

^ja

L

^koos^oma^kaugustega

d ₁

^ja

d ₂

nimetatakse isomeetriliseks,kuileidubsellinesürjektsioon

ϕ : K → L

^,^mis^säilitab^elementide^vahelise

kauguse, st

d ₁ (ϕ(x), ϕ(y)) = d ₂ (x, y),

kus

x, y ∈ K

^.

(11)

Denitsioon1.14. Meetriliseruumi

K

^täieldiks nimetatakse sellisttäielikkumeetrilist ruumi

L

^,^mille ^puhul^on

M

^on isomeetriline ruumi

L

^kõikjal^tiheda alamruumiga.

Lause 1.15 ([9 ,peatükk 2.3℄). Kui

(a _n )

^ja

(b _n )

^on ^Cauhy ^jadad, ^siis ^seda^on ^ka ^jadad

(a n + b n ) , (a n − b n )

^ja

(a n b n )

^.

Olgu

(K, k·k )

normeeritudkorpus,millelondeneeritudliitmis-jakorrutamistehe,ning olgu

C(K)

^kõigi ^selle^korpuse ^Cauhy^jadade ^hulk.^Kuna

K

^onkommutatiivne ningeel- miselausepõhjalon

C(K)

^kinnine^liitmise ^jakorrutamisesuhtes, siison

C (K)

^kommu-

tatiivnering. Selle nullelemendiks on jada

¯ 0 = (0, 0, 0, . . .)

jaühikelemendiks jada

¯ 1 = (1, 1, 1, . . .) .

Denitsioon 1.16. Ringi

R

^nullist ^erinevat ^elementi

a ∈ R

^, ^mille ^korral ^leidub ^k^as

nullist erinevelement

b ∈ R

^või^nullist^erinev^element

c ∈ R

^nii,^et^k^as

ab = 0

^või

ca = 0

^,

nimetatakse nulliteguriks.

Lause 1.17 ([1, lause 3.2.21℄). Korpus ei sisalda nullitegureid.

Lause 1.18.

C (K)

^ei ^ole ^korpus.

Tõestus.

C(K)

^ei^ole ^korpus, ^sest^see ^sisaldabnullitegureid.Üheksneist on näiteks

(1, 0, 0, . . .) · (0, 1, 0, . . .) = ¯ 0.

Denitsioon 1.19. Kommutatiivse ringi

R

^mittetühja ^alamhulka

I

nimetatakse selle ringi ideaaliks, kuion täidetud järgmised tingimused:

(a)

a, b ∈ I = ⇒ a + b ∈ I

^;

(b)

a ∈ I = ⇒ ar ∈ I

^mis ^tahes

a, r ∈ R

^korral.

Denitsioon1.20. Olgu

R

^ring,

I

^selle^ringi^ideaal^ning^tähistame

R/I = { x = x + i | x ∈ R, i ∈ I }

^.

Deneerimetehted võrdustega

x + y = x + y, x · y = xy.

Hulka

R/I

nimetatakse ringi

R

faktorringiks ideaali

I

^järgi.

Olgu

P ⊂ C(K)

^korpuse

K

^kõigi ^hääbuv^ate ^jadade ^hulk. ^Hulk

P

^on ^ringi

C (K )

ideaal. Tõepoolest, kui

(a _n ) , (b _n ) ∈ P

^, ^siis ^tänu

C(K)

kommutatiivsusele ning lausele 1.5 kuuluvad ka

(a _b ± b n )

^ja

(a n b n )

^hulka

P

^. ^Faktoriseerides ringi

C (K)

^tema ^ideaali

P

^järgi ^saame ^uue ^hulga

K = C (K) /P

^. ^Selle ^hulga ^elemendid ^on ^korpuse

K

^Cauhy

jadade ekvivalentsiklassid.

(12)

esindajate vahe on nulljada.

Olgu

a, b ∈ K

^suvalised.^Paneme ^tähele,^etkonstantsedjadad

¯

a = (a, a, a, . . .)

ja

¯ b = (b, b, b, . . .)

esindavad hulgas

K

^erinevaidekvivalentsiklasse, sest

¯

a − ¯ b = (a − b, a − b, a − b, . . .)

ei ole hääbuv jada, kui

a 6 = b

^. ^Seega ^on ^korpus

K

^hulga

K

^alamhulk: ^kui

a ∈ K

^, ^siis

samastatakse see hulgas

K

^konstantse ^jadaga

a ¯ = (a, a, a, . . .)

^. ^Viimane ^samastus ^ongi

korpuste vahelineisomeetria.

Lause 1.22 ([9 , peatükk 2.3℄). Kui

(a n ) ∼ (a ^′ _n )

^ning

(b n ) ∼ (b ^′ _n )

^korpuses

K

^, ^siis ^ka

(a n ± b n ) ∼ (a ^′ _n ± b ^′ _n )

^ja

(a n b n ) ∼ (a ^′ _n b ^′ _n )

^.

Olgu

(a n ) ∈ A

^ja

(b n ) ∈ B

^hulga

K

^erinevad ^ekvivalentsiklassid. Deneerimetehted järgmiselt:

A + B = (a _n + b _n )

^ja

A · B = (a _n · b _n ).

Lause 1.23 ([9, teoreem 2.5℄).

K

^on ^korpus.

Denitsioon 1.24. Iga ekvivalentsiklassi

A ∈ K

^jaoks ^deneerime ^normi

k A k = lim

n →∞ k a _n k ,

kusjada

(a _n )

^on ^klassi

A

^suvaline ^esindaja.

Lause 1.25 ([9, teoreem 2.5℄).

k·k

^on ^norm ^korpusel

K

^.

Teoreem 1.26 ([9,teoreem2.5,peatükk2.3℄).

K

^on ^täieliknormeeritudkorpus,milles

K

^on ^tihe alamkorpus. Korpuse

K

^tehted ^laienevad ^korpusele

K

^s.t, ^kui

A = lim

n →∞ (a n )

^ja

B = lim

n →∞ (b n ),

siis

A + B = lim

n →∞ (a _n + b _n )

^ja

A · B = lim

n →∞ (a _n · b _n ).

2 Ultrameetrilised ruumid

Antudpeatükisvaatlemeüht erilisttüüpimeetrilisiruume,millelonmitmeidhuvitavaid

omadusi.

(13)

Denitsioon 2.1. Öeldakse, et norm

k·k

^korpusel

K

^on ^mittearhimeediline, kui mis tahes

x, y ∈ K

^korral

k x + y k ≤ max {k x k , k y k} .

Seda normi omadust kutsutakse tugevaks kolmnurga võrratuseks.Normi, mis ei olemit-

tearhimeediline,nimetatakse arhimeediliseks.

Denitsioon 2.2. Meetrikat

d

^hulgal

X

nimetatakse ultrameetrikaks, kui mis tahes

x, y, z ∈ X

^korral

d(x, z) ≤ max { d(x, y), d(y, z) } .

Viimastkauguseomadust nimetataksetugevaks kolmnurga võrratuseks. Meetrilist ruumi

(X, d)

nimetatakse seejuures ultrameetriliseks ruumiks.

Märgime, etmittearhimeediline norm

k·k

^korpusel

K

indutseerib ultrameetrika. Tõe- poolest, mistahes

x, y, z ∈ K

^korral

d(x, z) = k x − z k = k (x − y) + (y − z) k

≤ max {k x − y k , k y − z k}

= max { d(x, y), d(y, z) } .

Järgminelauseannabpiisavajatarvilikutingimuseselleks,etnorm

k·k

^korpusel

K

^oleks

mittearhimeediline.

Lause2.3([9,lause2.4℄). Olgu

k·k

^norm^korpusel

K

^.^Järgmised^väited^onsamaväärsed:

(a)

k·k

^on mittearhimeediline,

(b)

k n k ≤ 1

^iga naturaalarvu

n

^korral,

()

k n k ≤ 1

^iga ^täisarvu

n

^korral,

(d)kui

a, b ∈ K

^ja

k a k < k b k

^, ^siis

k b − a k = k b k

^.

Lause 2.3. demonstreerib erinevust arhimeediliste ja mittearhimeediliste normide vahel

ningsellel on mitmeidolulisijäreldusi.

Lause 2.4. Kui mittearhimeedilisekorpuse

K

^elemendid

a

^ja

x

^rahuldavad ^võrratust

k x − a k < k a k ,

^(2.1)

siis

k x k = k a k

^.

Tõestus. Tugeva kolmnurgavõrratuste järgi

k x k = k x − a + a k ≤ max {k x − a k , k a k} = k a k .

Sarnaselt

k a k = k a − x + x k ≤ max {k a − x k , k x k} .

(14)

Kui kehtiks

k x − a k > k x k

^, ^siis

k a k ≤ max {k a − x k , k x k} = k x − a k

^, ^mis ^on ^vastuolus

võrratusega(2.1).Seega

k x − a k ≤ k x k

^,^järelikult

k a k ≤ max {k a − x k , k x k} = k x k

^ning

kokkuvõttes

k x k = k a k

^.

Antudjäreldusegeomeetrilinetõlgenduson,etultrameetrilisesruumisonigakolmnurk

võrdhaarne jateravnurkne,stselle aluse pikkusei ületahaarade pikkust:

Lause2.5. Normonarhimeediline,kuitarahuldabjärgmistArhimedese,aksioomi.Olgu

x, y ∈ K, x 6 = 0

^. ^Siis^leidub ^selline

n ∈ N

^,^et

k nx k > k y k

^ehk

sup {k n k : n ∈ N } = ∞ .

Tõestus. Kuinorm

k·k

^korpusel

K

^onmittearhimeediline,siis

k n k ≤ 1

^iga

n ∈ N

^korral

ehk

sup {k n k : n ∈ N } ≤ 1.

Kui norm

k·k

^on arhimeediline siis leidub selline

n ∈ N

^, ^et

k n k > 1

^. ^Kuna

k n · n k = k n k · k n k > 1

^ja

lim

n →∞ t ⁿ = ∞

^kui

t > 1

^siis ^on^võimalik ^sedasi^jätkates ^leida ^arve,^millel

on kuitahessuured normid ehk

sup {k n k : n ∈ N } = ∞

^.

Lause 2.6. Kui norm

k·k

^korpusel

K

^on mitterhimeediline, siis iga reaalarvu

α > 0

korral on ka

k·k ^α

mittearhimeediline.

Tõestus. Kui

k·k

^on ^korpusel

K

mittearhimeediline siis iga

n ∈ Z

^korral

k n k ≤ 1

^.

Reaalarv

α > 0

^ning

k n k ≤ 1

^korral ^ka

k n k ^α ≤ 1

^. ^Järelikult ^lause ^2.5. ^põhjal ^on ^ka

norm

k·k ^α

mittearhimeediline.

Lause 2.7 ([9 ,lause 1.6℄). Iga kera ultrameetrilises ruumis

M

^on samaaegselt nii kinnine,kui lahtine hulk.

Lause 2.8 ([9 , lause 1.7℄). Kui

k·k

^on mittearhimeediline norm korpusel

K

^, ^siis ^ker^a

B _a,r = { x : k x − a k ≤ r }

^iga ^punkt ^on ^selle^keskpunkt.

3

p

^-aadiliste ^arvude ^korpus

Kõigelihtsamnäidenormistratsionaalarvudekorpuselonabsoluutväärtus

|·|

^,^mille^poolt

indutseeritudmeetrika

d (x, y) = | x − y |

ôn^kâheârvu^vaheline^kaugusârvteljel.^Selle^nor-

mi abil ratsionaalarvude täielikustamine annab tulemuseks reaalarvude korpuse. Antud

peatükis uurime teisi võimalusikahe arvuvahelisekaugusemõõtmiseks.

(15)

Denitsioon 3.1. Olgu

p

^suvaline^algarv. ^Tähistame ratsionaalarvu

x

^korral

ord

p x = (

suurimarvu

p

^aste,^mis ^jagab ^arvu

x,

^kui

x ∈ Z;

ord

p a −

^ord

p b,

^kui

x = ^a _b , a, b ∈ Z, b 6 = 0.

On kerge näha, et kui

x = ^a _b

^on ratsionaalarv, siis kujutuse ord

p x

^väärtus ^ei ^sõltu

tegurite

a

^ja

b

^v^alikust,^st,^kui

x = ^a _b ¹ ₁ = ^a _b ₂ ²

^siis^ord

p x =

^ord

p a ₁ −

^ord

^p b ₁ =

^ord

p a ₂ −

^ord

^p b ₂

^.

Lause 3.2 ([9, peatükk 2.4℄). Olgu

a, b

^ja

c

^täisarvud ^ning

b, c 6 = 0

^. ^Siis ^kehtivad ^järg-

mised omadused:

(a)ord

p ab =

^ord

p a +

^ord

p b

^;

(b) ord

p a

b =

^ord

_p ^ac _bc

^.

p ∈ N

^suvaline ^algarv. ^Deneerime ratsionaalarvude korpusel

Q

^kujutuse

|·| p

järgmiselt:

| x | p = ( ₁

p

^ord

^px

^kui

x 6 = 0, 0

^kui

x = 0.

Paneme tähele, etkujutus

| x | p

^saavutab ^korpuses

Q

^vaid^loenduva ^arvu ^erinevaid^väär-

tusi,nimelt

{ p ⁿ , n ∈ Z } ∪ { 0 }

^.

Lause 3.4. Kui

a, b ∈ N,

^siis

a ≡ b (

^mo^d

p ⁿ )

^parajasti^siis, ^kui

| a − b | p ≤ _p ¹ ⁿ

^.

Tõestus. Olgu

a, b ∈ N

^sellised, ^et

a ≡ b (

^mod

p ⁿ )

^. ^Siis

a − b ≡ 0 (

^mod

p ⁿ )

^ehk

p ⁿ

jagab arvu

a − b

^.Denitsiooni järgi ord

p (a − b) ≥ n

^nng ^seega

| a − b | p ≤ p ¹ ⁿ

^.^Teisipidi,

kehtigu

| a − b | p ≤ _p ¹ ⁿ

^.^Seeâga^tähendab,êtârv

p

^jagub^arvu

a − b

^vähemalt

n

^korda^ning

seega

a − b ≡ 0 (

^mod

p ⁿ )

^ehk

a ≡ b (

^mod

p ⁿ )

^.

Lause 3.5 ([9 ,lause 2.6℄). Kujutus

|·| p

^on mittarhimeediline normkorpusel

Q

^, ^s.t ^mis

tahes arvude

a, b ∈ Q

^ja ^algarvu

p

^korral

k a + b k p ≤ max n

k a k p , k b k p

o .

Normi

|·| p

nimetatakse

p

-aadiliseks normiks korpusel

Q

^.

Näide 3.6. Leiame

²⁰⁵⁸ ₃₈₅

7

^.^Kuna

2058

385 = ⁷ ₇ ³ _· ₅ ^· ³ _· ₁₁ ^· ²

^,^siis

ord

7 2058

385 =

^ord

₇ 2058 −

^ord

7 385 = 3 − 1 = 2

ningseega

2058 385

7 = 1

7

^ord

⁷ ²⁰⁵⁸ ³⁸⁵ = 1 7 ² = 1

49 .

Märkus 3.7([9, märkus2.3.℄). Kui

p ₁

^,

p ₂ ∈ N

ônêrinevadâlgarvud, ^siis^normid

| x | p 1

ja

| x | p 2

êiôle ômavahelekvivalentsed.

(16)

p ∈ N

^algarv. ^Olgu

Q p

^korpuse

Q

^täieldi

p

^-aadilise ^normi

|·| p

^suhtes. ^Lause ^1.23. ^kohaselt ^laieneb

p

^-aadiline ^norm ^hulgale

Q p

^ning

Q p , |·| p

on

täieliknormeeritudkorpus,milles

Q

^on^kõikjal^tihealamkorpus. Korpust

Q _p

nimetatakse

p

^-aadiliste ^arvude ^korpuseks.

Denitsioon3.9. Korpuse

Q p

^elementenimetatakse

p

-aadilisteksarvudeks,st

p

^-aadilised

arvud on ratsionaalarvude Cauhy jadade ekvivalentsiklassid normi

|·| p

^suhtes, ^kusju-

ures ratsionaalarv

a

samastatakse sellle ekvivalentsiklassiga, kuhu kuulub jada

(a) = (a, a, . . .)

^.

Märkus 3.10 ([9, märkus 2.4℄). Norm

|·| p

^väljastab ^korpustes

Q

^ja

Q p

^samu ^väärtusi

{ p ⁿ , n ∈ Z } ∪ { 0 }

Viimast omadust ei ole eukleidilisel absoluutväärtusel, kus norm

|·|

^saab ^ratsion-

aalarvudetäielikustamiselreaalarvudeksomadakõikimittenegatiivseidreaalarvulisiväär-

tusi. Lisaks sellele paneme tähele, kui

| a | p 6 = 0

^, ^siis ^vastava ^Cauhy ^jada ^normide ^jada

| a _n | p

peabmingilhetkelpiisavaltsuurte

n

^-i^v^äärtuste^juuresstabiliseeruma,sestnormi

| x | p

^võimalike ^väärtuste ^hulga

{ p ⁿ , n ∈ Z } ∪ { 0 }

^ainsaks kuhjumispunktiks on

0

^. ^Kui

| a | p = p ⁿ 6 = 0

^,^siis, ^kuna

p ⁿ

^ei^ole ^selle

p

^-aadilise ^normi^väärtustekuhjumispunkt,leidub selline

ε > 0

^,^et

B (p ⁿ , ε) = { p ⁿ }

^. ^Kuna ^jada

| a _n | p

koondumisel arvuks

p ⁿ

^peab ^iga

ε > 0

^korral^leiduma^keras

B (p ⁿ , ε) = { p ⁿ }

^selle^jada^elemente^siis^järelikult^peab ^leidub

selline indeks

N

^,^et^iga

n > N

^korral

| a n | p = p ⁿ

^.

IgaCauhyjadadeekvivalentsiklass,mis deneeribmingielemendikorpuses

Q _p

^,^omab

teatudkanoonilist kuju. Selle konstrueerimiseks vajamejärgmist tulemust.

Teoreem 3.11 ([9 , lause 2.8℄). Igal ekvivalentsiklassil

a

^korpuses

Q _p

^, ^mis ^rahuldab

tingimust

| a | p ≤ 1

^, ^on ^täpselt ^üks ^seda ^esindav ^Cauhy ^jada

(a i )

^, ^millel ^on ^järgmised

omadused:

(a)

a i ∈ Z, 0 ≤ a i < p ⁱ

^iga

i = 1, 2, . . .

^korral,

(b)

| a _i − a _i ₋ ₁ | p < _p ¹ i

^ehk

a _i ≡ a _i+1

^mod

p ⁱ

iga

i = 1, 2, . . .

^korral..

Kui

a ∈ Q p

^ning

| a | p ≤ 1

^, ^siis ^on ^mugav ^panna ^kõik ^eelnevast ^teoreemist ^saadud ^jada

(a _i )

^liikmed^kirja^järgmisel^kujul:

a i = d ₀ + d ₁ p + . . . + d i − 1 p ⁱ ⁻ ¹ ,

kus

d i

^on ^täisarvud ^hulgast

{ 0, 1, . . . , p − 1 }

^.^Teoreemi^3.11. ^tingimuse^(b)^tõttu

a _i+1 = d ₀ + d ₁ p + . . . + d _i ₋ ₁ p ⁱ ⁻ ¹ + d _i p ⁱ ,

(17)

kuskõik nn

p

^-aadilised^numbrid ^on^hulgast

{ 0, 1, . . . , p − 1 }

^.^Seega^korpuses

Q, |·| p

saab

p

^-aadilise ^arvu

a

^esitada ^koonduva ^rea^summana

a = lim

k →∞

X k n=0

d n p ⁿ = X ∞ n=0

d n p ⁿ .

Sellest saabmõelda, kui arvustalusel

p

^,^millel ^on ^lõpmata^palju

p

^-aadilisi numbrikohti.

Kui

| a | p > 1

^siis ^võime

a

^läbi ^korrutada ^arvuga

p ^m

^, ^sest ^siis

| ap ^m | p = _p ¹ m | a | p = 1

^),

et saada uus

p

^-aadiline ^arv

a ^′ = ap ^m

^, ^mis ^rahuldab ^tingimust

| a ^′ | p ≤ 1

^. ^Seega ^võime

kirjutada, et

a = X ∞ n= − m

d n p ⁿ ,

kus

d ₋ _m 6 = 0

^ja

d _n ∈ { 0, 1, . . . , p − 1 }

^.^Arv

a

^on^lõpmatu

p

^-ndmurd,^mille kanooniliseks kujuks nimetatakse kirjutist

a = . . . d _n . . . d ₂ d ₁ d ₀ d ₋ ₁ . . . d ₋ _m .

Võtame kogu sellearutelu kokku järgmise teoreemina.

Teoreem 3.12 (

p

^-aadilise ^arvu kanooniline esitus, [9,teoreem 2.9℄). Iga

p

^-aadiline

arv

a ∈ Q p

^on ^esitatav ^kujul

a = P ^∞

n= − m

d n p ⁿ ,

^kus

d n ∈ { 0, 1, . . . , p − 1 }

^. ^Kui

a 6 = 0

^, ^siis

m on selline nullist erinev täisarv,et

| a | p = p ^m

^.

Märkus3.13. Panemetähele,etreaalarvudehulgaseiolekõikarvudüheseltesitatavad.

Näiteks

1.000 . . . = 0.9999 . . .

p

^-aadiliste ârvudega ^midagi^sellistêi^juhtu.^Vastavalt^teoreemile ^3.11. ôn^kahe

p

^-aadilise

arvu kanoonilised kujudsamad parajasti siis, kuikõik nende numbrikohad ühtivad.

Denitsioon3.14. Hulga

Z _p := n

a ∈ Q _p | | a | p ≤ 1 o

elementenimetatakse

p

-aadilisteks täisarvudeks.

Lause 3.15. Olgu

a p

^-aadiline ^arv ^normiga

p ⁻ ⁿ

^. ^Siis^on ^arvu

a

^võimalik ^esitada ^korru-

tisena

a = p ⁿ u

^, ^kus

| u | p = 1

^.

Tõestus. Olgu

a

^selline

p

^-aadiline ^arv, ^et

| a | p = p ⁻ ⁿ < 1

^. ^Järelikult

a ∈ Z _p

^. ^Valime

u := a · p ⁻ ⁿ

^,^siis^normi ^omaduste^tõttu

| u | p =

a · p ⁻ ⁿ

_p = | a | p

p ⁻ ⁿ _p = 1

nagu soovitud.

(18)

Lause 3.16.

p

^-aadiline ^arv

a

^kuulub ^hulka

Z p

^parajasti ^siis, ^kui ^selle kanooniline kuju sisaldab vaidmittenegatiivseid

p

^astmeid, ^st

Z p = ( _∞

X

i=0

a i p ⁱ )

.

Tõestus. Kui

a = P ^∞

i=0

a i p ⁱ

^siis^järeldub

p

^-aadilise ^normi denitsioonist, et

| a | p ≤ _p ¹ ⁰ = 1

ehk

a ∈ Z p

^.^Juhul

a = P ^∞

i= − m

a i p ⁱ

^,

≥ 1

^saame, ^et

| a | p = lim

n →∞

X n i= − m

a i p ⁱ p

= lim

n →∞

p ⁻ ^m X n

i=0

a i p ⁱ p

= lim

n →∞

p ⁻ ^m p

X n i=0

a _i p ⁱ p

= p ^m lim

n →∞

X n i=0

a _i p ⁱ p

= p ^m · 1 ≥ 1.

Seega

a / ∈ Z p

^.

Lause 3.17. Igal lõpmatu jada,mis koosneb

p

-aadilistest täisarvudest, omab koonduvat osajada.

Tõestus. Olgu

(x k )

^jada ^hulgas

Z p

^ning

x _k = . . . a _k,2 a _k,1 a _k,0

jada liikme

x _k

kanooniline kuju. Kuna

a _k,0 ∈{ 0, 1, . . . , p − 1 } ,

^siis ^on ^võimalik ^leida

selline arv

b ₀ ∈ { 0, 1, . . . , p − 1 }

^ja ^jada

(x _k )

^lõpmatu ^osajada

(x _0,k )

^, ^mille ^iga ^liikme

viimanenumbrikohton

b ₀

^. ^Samamoodi^valime

b ₁ ∈ { 0, 1, . . . , p − 1 }

^ja^leiame^jada

(x _0,k )

sellise lõpmatu osajada

(x _1,k )

^, ^mille ^iga ^liige ^lõpeb ^numbritega

b ₁ b ₀

^. ^Seda ^protsessi

jätkates jõuamearvuni

. . . b ₃ b ₂ b ₁ b ₀

^koos^järgmise^jadade ^jadaga

x _0,0 = . . . b ₀ , x _0,1 = . . . b ₀ , x _0,2 = . . . b ₀ , . . . x _1,0 , = . . . b ₁ b ₀ , x _1,1 = . . . b ₁ b ₀ , x _1,2 = . . . b ₁ b ₀ , . . . x _2,0 = . . . b ₂ b ₁ b ₀ , x _2,1 = . . . b ₂ b ₁ b ₀ , x _2,2 = . . . b ₂ b ₁ b ₀ , . . .

.

Konstruktsioonikohaselt on igajärgmine jada eelneva jada osajada ningiga

(i + 1)

^rea

element lõpeb numbritega

b i . . . b ₂ b ₁ b ₀

^. Diagonaalil olev jada

x _0,0 , x _1,1 , x _2,2 , . . .

^on ^ka

algsejada

(x _k )

ôsajada,^sest^tänu^sellele,êt^kõik^vâadeldavad^jadadôn^nendeleêelnevate

(19)

jadade osajadad. Samutikoondub seejada elemendiks

b = . . . b 3 b 2 b 1 b 0

^,^kuna

n lim →∞ | x _n,n − b | _p = lim

n →∞

X ∞ i=n+1

b _i p

≤ 1 p ⁿ → 0

ehk

x _k,k → b

^.

Teoreem 3.18 ((Bolzano-Weierstrassi teoreem, [9, teoreem2.11℄). Iga tõkestatud

p

^-aadiliste ^arvude ^jada ^sisaldab^koonduvat ^osajada.

4

p

^-aadiliste ^arvude aritmeetika

Korpuse

Q

^tehetelaiendaminevõimaldabsooritadaaritmeetilisitehteid

p

^-aadiliste^arvudega

sarnaselt tehetega reaalarvude hulgas Järgnevalt vaatame eraldi, kuidas

p

^-aadilisi ^arve

liita, lahutada, korrutada jajagada.

4.1 Liitmine ja lahutamine

Olgu

a = X ∞ n= − m

a n p ⁿ , b = X ∞ n= − m

a n p ⁿ ,

kus

a n

^ja

b n

^on

p

^-aadilised numbrikohad, kusjuures

a ₋ m 6 = 0

^,^kuid^üks ^või^enam

esimestestnumbrikohtadest

b ₋ _m , b ₋ _m+1 , . . .

^võivad ^olla^võrdsed ^nulliga. ^Siis ^iga^rida

a ± b =

X ∞ n= − m

(a _n ± b _n ) p ⁿ

on koonduv. Enamasti ei ole niiviisi leidud

p

^-aadiline ^arv ^küll ^oma kanoonilisel kujul.

Sarnaselt liitmisele ja lahutamisele reaalarvude hulgas tuleb ka

p

^-aadiliste ^arvude ^liit-

misel ülekandmisi teha, kusjuures need toimuvad paremalt vasakule. Liitmise algoritmi

illustreerimiseksleiame arvu-1kanoonilise kuju.

Näide 4.1. Teame,et

1 = . . . 00001

^. ^Olgu

a = . . . a ₃ a ₂ a ₁ a ₀

^selline

p

^-aadiline ^arv,^et

1 + a = 0,

st

a = − 1

^. ^Alustades^paremalt^poolt,^peab^kehtima

a ₀ +1 = 0

^. ^Kuna

a ₀ ∈ (0, 1, . . . , p − 1)

^,

siisainus võimalus selleks on,et

a ₀ + 1 = p

^ehk

a ₀ = p − 1

^. ^Samamoodi

1 + a 0 + a 1 p ≡ 0

^mod

p ²

,

st

a ₁ p ≡ − p (

^mod

p) ⇐⇒ a ₁ ≡ − 1 (

^mod

p)

^ehk

a ₁ = p − 1

^.

(20)

Seda protsessijätkateson selge,etkõik arvud

a n

^on ^võrdsed^arvuga

p − 1

^ning

− 1 = . . . (p − 1)(p − 1)(p − 1).

Märkus 4.2.

p

^-aadiliste ^arvude ^ja reaalarvude aritmeetikal on üks huvitav erinevus.

Nimelt on

p

^-aadiliste ^arvudega arvutamisel võimalik lõpmatusest laenata. Kui me reaalarvude hulgas soovime teha tehte 24-8, siis kõigepealt me laename vasakulolevast

kahest kümne, saades vastuseks 16. Aga kui tahaksime leida 2-6, siis meenam laenata

ei saaks, kuna meil ei ole enam vasakult midagi juurde laenata, ning saame vastuseks

negatiivsearvu-4. Samas

p

^-aadilisteârvude^hulgasônâlati ^võimalik^laenata. ^Kui^teeme

sama tehte 2-6 7-aadiliste arvude hulgas siisme saame laenata arvust2 vasakulolevast

nullist. Aga seal muidugi ei ole midagi, mis tähendab, et peame veel kord vasakult

laenama, ja niimoodi edasi lõpmata palju kordi, saades lõpmatu kuute jada. Seega 2-6

7-aadiliste arvude hulgas onvastuseks

. . . 66663

^.

Näide4.3. Olgu

. . . 24641

^ja

. . . 41052 7

^-aadilised^arvud.^Liidame^need^omavahel^saades

arvu

c

^:

. . . 24641 + . . . 41052 = . . . 66023,

sest

1 · 7 ⁰ + 4 · 7 ¹ + 6 · 7 ² + 4 · 7 ³ + 2 · 7 ⁴ + . . . + 2 · 7 ⁰ + 5 · 7 ¹ + 0 · 7 ² + 1 · 7 ³ + 4 · 7 ⁴ + . . .

= 3 · 7 ⁰ + 2 · 7 ¹ + 0 · 7 ² + 6 · 7 ³ + 6 · 7 ⁴ + . . .

Lühidalt saabselle tehte välja kirjutadajärgmiselt:

. . . 2 ⁺¹ 4 ⁺¹ 6 4 1

+ . . . 4 1 0 5 2

. . . 6 6 0 2 3 .

Näide 4.4. Olgu

. . . 43212

^ja

. . . 20143 p

^-aadilised ^arvud ^hulgast

Z ₅

^. ^Lahutame ^need

omavahel, saades tulemuseksarvu

c

^:

. . . 43212 − . . . 20143 = . . . 23036 = c,

sest

2 · 5 ⁰ + 1 · 5 ¹ + 2 · 5 ² + 3 · 5 ³ + 4 · 5 ⁴ + . . .

− 3 · 5 ⁰ + 4 · 5 ¹ + 1 · 5 ² + 0 · 5 ³ + 2 · 5 ⁴ + . . .

= 4 · 5 ⁰ + 1 · 5 ¹ + 0 · 5 ² + 3 · 5 ³ + 2 · 5 ⁴ + . . .

(21)

. . . 4 3 ⁻ 2 ¹ ⁻ 1 ¹ 2

− . . . 2 0 1 4 3

. . . 2 3 0 1 4 .

4.2 Korrutamine

Korrutamist saabteostadaliitmisele jalahutamisele sarnasel viisil. Olgu

a = X ∞ n= − m

a _n p ⁿ

^ja

b = X ∞ n= − k

b _n p ⁿ

antud nende kanooniliselkujul. Ridadeliikmeti korrutamisel saame,et

ab = X ∞ n= − m − k

u n p ⁿ ,

kus

u ₋ _m ₋ _k = a ₋ _m b ₋ _k ,

u ₋ _m ₋ _k+1 = a ₋ _m+1 b ₋ _k + a ₋ _m b ₋ _k+1 , . . . .

Tulemusekssaadavarveiole samuti enamastioma kanooniliselkujul,aga ülekandmiste

abil onviimast alativõimalikleida.

Näide 4.5. Olgu

. . . 45331

^ja

. . . 20326 p

^-aadilised ^arvud ^hulgast

Z ₇

^. ^Korrutame ^need

omavahel, saades tulemuseksarvu

c

^:

45331 · 20326 = 30166 = c,

kuna

1 · 7 ⁰ + 3 · 7 ¹ + 3 · 7 ² + 5 · 7 ³ + 4 · 7 ⁴ + . . .

· 6 · 7 ⁰ + 2 · 7 ¹ + 3 · 7 ² + 0 · 7 ³ + 2 · 7 ⁴ + . . .

= 6 · 7 ⁰ + 2 · 7 ¹ + 3 · 7 ² + 0 · 7 ³ + 2 · 7 ⁴ + + 4 · 7 ¹ + 1 · 7 ² + 3 · 7 ³ + 1 · 7 ⁴ + 4 · 7 ² + + 1 · 7 ³ + 3 · 7 ⁴ + 2 · 7 ³ + 0 · 7 ⁴ + 3 · 7 ⁴ . . .

= 6 · 7 ⁰ + 6 · 7 ¹ + 1 · 7 ² + 0 · 7 ³ + 3 · 7 ⁴ + . . .

(22)

. . . 4 5 3 3 1

· . . . 2 0 3 2 6

3 ⁺⁴ 2 ⁺² 4 ⁺² 4 6

+ 3 6 6 2

+ 2 ⁺¹ 2 3

+ 0 0

+ 2

. . . 3 0 1 6 6 .

4.3 Jagamine

Olgu

a, b ∈ Q p

^ning

b 6 = 0

^. ^Kuna^vajadusel^saame ^arvud

a

^ja

b

^korrutada^läbi^mingi^arvu

p

^astmega,^siis ^üldisustkitsendamata võimeeeldada, et

a, b ∈ Z p

^,^kus

b ₀ 6 = 0

^ning

a = a 0 + a 1 p + a 2 p ² + . . .

ja

b = b ₀ + b ₁ p + b ₂ p ² + . . . .

Jagamise tulemusel saadavaarvu

c = ^a _b

^saame ^üles^kirjutada ^kujul

c = a ₀ + a ₁ p + a ₂ p ² + . . .

b 0 + b 1 p + b 2 p ² + . . . = c ₀ + c ₁ p + c ₂ p ² + . . .

Kuna

a = b · c

^,^siis

a = b · c = b ₀ + b ₁ p + b ₂ p ² + . . .

c ₀ + c ₁ p + c ₂ p ² + . . .

= d ₀ + d ₁ p + d ₂ p ² + . . .

Kuigi

b 0 , c 0 ∈ { 1, . . . , p − 1 }

^, êi ^saa êeldada, êt ^kâ ârv

d 0

^sinna ^hulka ^kuulub. ^Seega

kirjutame

d ₀ = b ₀ c ₀ = a ₀ + n ₁ p.

kus

a ₀

^on^arvu

b · c

^esimene ^numbrikoht ^ning

n ₁ p

^tuleb^liita ^arvule

d ₁ p

^. ^Ehk

a ₀ ≡ b ₀ c ₀ (

^mod

p) ,

kust järeldub,et

c ₀ ≡ b ⁻ ₀ ¹ d ₀ (

^mod

p) .

Teame,et arvul

b ₀

^tõepoolest^leidub pöördelement

b ⁻ ₀ ¹

^,^sest

Q _p

^on ^korpus. ^Sellisel ^viisil

saame leida ka kõik teisedarvud

c i

^.

Näide 4.6. Olgu

6632

^ja

164 p

^-aadilised^arvud ^hulgast

Z ₇

^.^Jagame ^me^need ^omavahel

(23)

nende kanoonilisel kujul,saades tulemuseksarvu

c

^:

6632

164 = 34 = c.

Pikemalt:

2 ≡ 4 · c ₀ (

^mod

7) , c ₀ ≡ 4 (

^mod

7) ,

3 ≡ 4 · c ₁ + 6 · c ₀ + 2 = 4 · c ₁ + 6 · 4 + 2 = 4 · c ₁ + 5 (

^mod

7) c ₁ ≡ 2 · 5 ≡ 3 (

^mod

7)

6 ≡ 4 · c ₂ + 6 · c ₁ + 1 · c ₀ + 5 = 4 · c ₁ − 1 (

^mod

7) c ₂ ≡ 0 (

^mod

7)

ehk

c = 34

^.^Sellegi ^tehte^saab^välja^kirjutada ^lühemalt:

6 6 3 2 1 6 4

- 1 0 5 2

5 5 5

- 5 5 5

0

.

Lause 4.7.

p

^-aadiline ^täisarv

a = . . . a ₁ a ₀ ∈ Z _p

omab

p

^-aadiliste ^täisarvude ^ringispöördelementi parajastisiis, kui

a ₀ 6 = 0

^.

Tõestus. Olgu

p

^-aadiline ^arv

a

^kujul

a =

X ∞ i=0

a i p ⁱ ,

kus

a ₀ 6 = 0

^. ^Peame ^näitama, ^et^leidub

p

^-aadiline ^arv

b

^kujul

b =

X ∞ i=0

b i p ⁱ

nii,et

a · b = 1

^.

Kui

a ₀ 6 = 0

^,^siis^paneme ^tähele,^et

X ∞ i=0

a _i p ⁱ p

= lim

n →∞

X n i=0

a _i p ⁱ p

= 1,

sest, arv

p

^ei ^jaga ^arvu

a ₀

^ning ^siis ^ei ^jaga ^see ^ka ^täisarve

P n

i=0 a _i p ⁱ

^kõigi ^indeksi

n

väärtuste korral. Kuna hulk

Q p

^on ^korpus, ^siis ^leidub ^arvul

a

pöördelement ning kuna

Ta 2017 Baka

p

p

p

p

p

p

p

p

g

g

p

p

p

p

p

p

p

p

p

g

g

p

p

p

p

p

p

p

Q p

p

C p

Q

Q g

g

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Q p

p

p

p

p

p

p

p

√ − 1 ∈ Q p

p ≡ 1 (

4)

p

p

p

g

p

g

g

M

d : M × M → R

Ta 2017 Baka

Q _p

Q _p

^x y

= ^k _k ^x _y ^k _k ,

k a _n − a _m k < ε

n →∞ a _n = a

n →∞ a _n = a

n, m > N ^ε ₂