Riikheie 3. Tei

(1)

3.Teil

Prof.ErikaHausenblas

MontanuniversitätLeoben,Österreih

25.April 2018

(2)

Zwei Kategorien vonRisiken:

denobjektivenRisiken:z.B.diePSzahleinesAutos,der Hubraum,das

Gewiht,et..;

unddensubjektivenRisiken(nihtobjektivmessbareRisiken):

Risikobereitshaft,dasKönnen,dasFahrverhaltendesFahrers,

Temperament,diegenaueKilometeranzahl,et....

(3)

(4)

JederAutofahrer

a

^hat ^seinindividuellesRisikoprol,dasdurhden Parameter

ϑ a

^beshrieben^wird.^Dieser^Parameter^kann^Werte^aus

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

^die^Menge^aller^möglihen^Werte^für

ϑ a

^darstellt.

(5)

JederAutofahrer

a

ϑ a

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

ϑ a

^darstellt.

FüreinenbestimmtenAutofahreristder genaueWert von

ϑ a

^zumeist

unbekannt.Aus StatistikenkannmanaberRükshlüsseauf dieVerteilung

von

ϑ a

^mahen,^so^sind^die^meistenÂutofahrer^vorsihtig,âllerdings^gibtês

einigeAusreißer,dieimmerwiederUnfälleverursahen.

(6)

JederAutofahrer

a

ϑ a

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

ϑ a

^darstellt.

ϑ a

^zumeist

von

ϑ a

A'prioriVerteilungdesParameters

ϑ a

(7)

JederAutofahrer

a

ϑ a

D Θ

annehmen,wobei

D Θ

ϑ a

^darstellt.

ϑ a

^zumeist

von

ϑ a

A'prioriVerteilungdesParameters

ϑ a

A'prioriistdieRisikobereitshaftimFahrverhaltenbei Abshlusseines

Vertrageshoh.FahrenSiejetzteinigeZeitUnfallfrei,werdendieDaten

miteinbezogenunddieAutohaftpihtversiherungordnetIhre

Risikobereitshaftgeringerein.DieWahrsheinlihkeitimnähstenJahr

einenUnfallzuverursahenist(statistishgesehen)geringerundIhre

Prämiesinkt.

(8)

Variablen

JederAutofahrerhateineRisikobereitshaft

Θ

^,^dieseRisikobereitshaftist wirdalsZufallsvariableinterpretiert;

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

^die^Forderung^einesVersihertenimJahr

j

^mit^einer

Verteilung

F _ϑ

^die^vom^Parameter

ϑ = Θ

^abhängt.

(9)

Variablen

Θ

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

j

^mit^einer

Verteilung

F _ϑ

^die^vom^Parameter

ϑ = Θ

^abhängt.

Gegebenim Jahre

n

^:

ForderungvondenletztenJahren,d.h.X

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

(10)

Variablen

Θ

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

j

^mit^einer

Verteilung

F _ϑ

^die^vom^Parameter

ϑ = Θ

^abhängt.

Gegebenim Jahre

n

^:

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Aufgabe:

DieindividuellePrämiefürdasnähsteJahrjedesAutofahrersberehnen.

(11)

Variablen

Θ

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

j

^mit^einer

Verteilung

F _ϑ

^die^vom^Parameter

ϑ = Θ

^abhängt.

Gegebenim Jahre

n

^:

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Aufgabe:

DazuistdieVerteilungvon

X n+

¹ ^zu^shätzen.^Da^unter^der^Bedingung^dass

ϑ

bekanntist,derTypderVerteilung

F ϑ

^bekannt^ist,^heißt^dies^dass^der

Parameter

ϑ

^geshätzt^werden^soll.^Um

ϑ

^zu^shätzen,^können ^wir^nur^auf^die

DatenXzurükgreifen.

(12)

Variablen

Θ

Für

j =

¹

, . . . , n

^ist

X j

j

^mit^einer

Verteilung

F _ϑ

^die^vom^Parameter

ϑ = Θ

^abhängt.

Gegebenim Jahre

n

^:

= (X

¹

, . . . , X n ) ^′

Aufgabe:

DazuistdieVerteilungvon

X n+

¹ ^zu^shätzen.^Da^unter^der^Bedingung^dass

ϑ

bekanntist,derTypderVerteilung

F ϑ

^bekannt^ist,^heißt^dies^dass^der

Parameter

ϑ

^geshätzt^werden^soll.^Um

ϑ

^zu^shätzen,^können ^wir^nur^auf^die

DatenXzurükgreifen.

(13)

1

GegebenseidasRisikoprol

ϑ

^desAutofahrers.Danngilt

E [X j | Θ = ϑ] = C · E [N j | Θ = ϑ]

wobei

C

^nur^von^der ^PS-Zahl^desÂutos âbhängtûnd

E [N j | Θ = ϑ]

^vom

Fahrer(bzw.dessenRisikobereitshaft)anhängt.

2

Gegebenist

Θ = ϑ

^,^dann ^sind^die

{N j : j =

¹

, . . . , n, n +

¹

}

^unabhängig^und

PoissonverteiltmitParameter

ϑ

^, ^i.e.

f _ϑ (N j ) = P (N j = k | Θ = ϑ) = e ⁻ ^ϑ ϑ ^k k ! .

3

DieZufallsvariable

Θ

^ist^Gamma^verteilt^mit^Parametern

γ

^und

β

^.^Genauer,

dieDihtefunktionlautet

u(ϑ) = ( _β γ

Γ(γ) ϑ ^γ−

¹

e ^{−β ϑ} , ϑ >

⁰

,

0 sonst

.

(14)

k 0 1 2 3 4 5 6 Total

N(k ) = #

^Polizen

mitkForderungen 103704 14075 1766 255 45 6 2 119853

(15)

Poisson Negative Binomial

k beobahtete (

λ =

⁰

.

¹⁵⁵⁵⁾ ⁽

γ =

¹

.

⁰⁰¹

, β =

⁶

.

⁴⁵⁸⁾

0 103 704 102 629 103 757

1 14 075 15 922 13 934

2 1 766 1 234 1 871

3 255 64 251

4 45 3 34

4 6 0 5

6 2 0 1

(16)

Vorgangsweise

ShätzenderStrukturalen Parameter

α

^und

β

^anhand ^derGesamtdaten;

BerehnendesIndividuellenPrämiemitHilfederbeobahtetenDateneines

Autofahrers;

(17)

Vorgangsweise

ShätzenderStrukturalen Parameter

α

^und

β

^anhand ^derGesamtdaten;

BerehnendesIndividuellenPrämiemitHilfederbeobahtetenDateneines

Autofahrers;

Literatur

Bühlmann,Gisler:ACoursein CredibilityTheoryanditsAppliations

Ho:AFirstCoursein BayesianStatistialMethods;

(18)

Das Problem:

Sei

D

^der Parameterbereihund

p : D → R ⁺

⁰ ^eine^struktur^Funktion

abhängig von Parametern

α

^und

β

^;

Sei

{F θ : θ ∈ D}

^eine^gegebene^Familie^vonVerteilungen,

{f (x | θ) : θ ∈ D}

^die ^Familie^der zugehörigen Verteilungsfunktionen;

Sei

X

^verteilt^mitDihtefunktion

f (x) = Z

D

f (x | θ)p (θ)d θ, x ∈ R .

Gegeben ist X

= (X

¹

, . . . , X n )

^,^shätzen^Sie

α

^und

β

^;

Gegeben ist X

ind = (X

¹

, . . . , X _n )

^,^shätzen^Sie

Θ

^;

Berehnen Siedie Prämieanhand von

Θ

^.

(19)

BinominalVerteilung

⇔

^Beta^Verteilung

Normal Verteilung

⇔

^Normal ^Verteilung

Gamma Verteilung

⇔

^Gamma^Verteilung

GeometrisheVerteilung

⇔

^Beta^Verteilung

ParetoVerteilung

⇔

^Gamma ^Verteilung

(20)

BinominalVerteilung

⇔

^Beta^Verteilung

Normal Verteilung

⇔

^Normal ^Verteilung

Gamma Verteilung

⇔

^Gamma^Verteilung

GeometrisheVerteilung

⇔

^Beta^Verteilung

ParetoVerteilung

⇔

^Gamma ^Verteilung

MashinellesLernen

(21)

Die Story:

Ein Betriebproduziert Werkstüke .DiesenWerkstüke werdenvon

vershiedenen Mashinen produziert jedeMashine hateine bestimmte

Ausfall Rate.DieseAusfallratekann bei vershiedenen Mashinen

untershiedlihsein. Allerdings hatjede MashineeinekonstanteAusfall

Rate die nihtin derZeitvariiert.DieAufgabe istesdieseAusfallratein

Abhängigkeit vonder Mashinezu shätzen.

Mathematishgesehen, hatman vershiedene Gruppen von Werkstüken.

Man istan der Wahrsheinlihkeitdes Auftretenseines Shadenfalles

innerhalbeiner bestimmtenGruppe interessiert.Hiernehmen wiran dass

jedes Werkstük (Element)derGruppe (oderKlasse)mitgleiher

Wahrsheinlihkeitdefektwirdund das diesunabhängigvon denanderen

Gruppenelementenpassiert.Auh nehmenwiran dassein Elementin Falle

eines Defektesoder Shadenfallsdie Gruppeverlässt.

(22)

Modellannahmen:

Unter derBedingung dassderParameter

ϑ

^gegeben ^ist,^sind^die

N _j

^,

j =

¹

,

²

, . . .

ûnabhängig ûnd^binominal^verteilt,î.e.

P (N j = k | P = ϑ) = V _n+

1

k

ϑ ^k (

¹

− ϑ) ^V ⁿ⁺

¹

.

Der Parameter

Θ

^ist^Beta(a, ^b)^verteilt^mit

a, b >

^0,^bzw.

u(ϑ) =

¹

B(a, b) ϑ ^a−

¹

(

¹

− ϑ) ^b−

¹

,

⁰

≤ ϑ ≤

¹

,

wobei gilt

B(a, b) = ^Γ(a)Γ(b) _(a+b)

^.

(23)

Bemerkung

Dieersten beideMomenteder BetaVerteilunglauten

E Θ = a

a + b ,

^Var

(Θ) = a b

(

¹

+ a + b)(a + b)

²

Wirwollen denAusfallrateshätzen;

DieFamiliederBetaVerteilungendie mit

a

^und

b

^beshrieben ^werden

istziemlihgross.

(24)

Proposition

UnterdenobigenModellannahmengilt

F ^ind = E[X n+

¹

|Θ] = Θ, F ^coll = EE [Θ] = a

a + b

F ^Bayes = a + P n

j=

¹

N j

a + b + P n j=

¹

V j

= α N ¯ + (

¹

− α) a a + b

wobeigilt

N ¯ = P n

j=

¹

N j

P n j=

¹

V j

, α =

P n j=

¹

V j

a + b + P n j=

¹

V j

.

DerquadratisheVerlustdesShätzers

F ^Bayes

^beträgt

E(F ^Bayes − Θ)

²

= (

¹

− α)E(F ^coll − Θ)

²

= αE( ¯ N − Θ)

²

.

(25)

Der Normal

⇔

^Normal ^Fall

Die Story

Angenommen eineMashineproduziertBauteileeiner bestimmtenLänge

L

^.

DieMashinen müssen adjustiertwerden, dabei passiertesöftersdas die

Länge der Bauteiledie erzeugt werdenvariieren, d.h.umeinen Mittelwert

shwanken. Wirdso ein Bauteilgemessen,gibt esaberMessfehler,bzw.

passierenbei derProduktionFehler.

(26)

L j

^die^Länge^des

j

^ten^Bauteils

dieMashineproduziertBauteilederLänge

Θ

Modellannahmen:

Unterder BedingungdassderParameter

ϑ

^gegeben ^ist,^sind^die

L j

^,

j =

¹

,

²

, . . .

^unabhängig^und^normal^verteilt^mit^Mittelwert

ϑ

^und^Varianz

σ

²^,^i.e.

L ∼ N (ϑ,

⁰

.

⁰¹

)

^.

DerParameter

Θ

^istNormalverteiltmitMittelwert

µ

^und ^Varianz

τ

²^.

(27)

Proposition

Unter denobigen Modellannahmen gilt

P ^ind = E [X _n+

1

|Θ] = Θ, P ^coll = E [Θ] = µ, P ^Bayes =

τ

²

µ + σ

²

P n

j =

¹

X _j

τ

²

+ nσ

²

= α X ¯ + (

¹

− α)µ

wobei gilt

X ¯ =

¹

n

X

j =

¹

X _j , α = n n

²

+ ^σ _τ

2²

.

Der quadratisheVerlustdes Shätzers

F ^Bayes

^beträgt

E (F ^Bayes − Θ)

²

= (

¹

− α) E (F ^coll − Θ)

²

= α E ( ¯ X − Θ)

²

.

(28)

Pareto

⇔

^Gamma ^Fall

Die Story

Man betrahtetnur Beträgevonvershiedenen Forderungen die gröÿer als

einebestimmtenShwellenwert

x

0

sind. Diese Fragestellungist für

Rükversiherungen (Münher Rük,Züriher Rük) wihtig.Aus

Grenzwertsätzenweissman, dassdieseVerteilungenannähernd Pareto

verteilt sind.

(29)

Pareto

⇔

^Gamma ^Fall

DiePareto-Verteilungliefert nuroberhalbeinesShwellenwertes

x

0

positive

Wahrsheinlihkeiten.DieDihtefunktion

f X

^und^dieVerteilungsfunktion

F X

^einer

ParetoverteiltenZufallsvariablen

X ∼ Pareto(x

⁰

; α)

^mit^den reelwertigen Parametern

x

⁰

>

⁰^und

α >

⁰^lauten

f _α,x

0

(x) =

( α · x ^α

0

· (x − θ) ⁻ ^α ⁻

¹ ^für

x > x

0 0sonst

.

und

F X (x) =







1

−

x x

0

− α

für

x > x

⁰

0sonst

.

DerErwartungswertlautet

EX = x

⁰

· α

α −

¹ ^(falls

α >

¹⁾

,

dieVarianzlautet

Var

[X] = x

0²

· α

(α − )

²

(α − )

^(falls

α >

²⁾

.

Riikheie 3. Tei

a

ϑ a

D Θ

D Θ

ϑ a

a

ϑ a

D Θ

D Θ

ϑ a

ϑ a

ϑ a

a

ϑ a

D Θ

D Θ

ϑ a

ϑ a

ϑ a

ϑ a

a

ϑ a

D Θ

D Θ

ϑ a

ϑ a

ϑ a

ϑ a

Θ

j =

, . . . , n

X j

j

F ϑ

ϑ = Θ

Θ

j =

, . . . , n

X j

j

F ϑ

ϑ = Θ

n

= (X

, . . . , X n ) ′

Θ

j =

, . . . , n

X j

j

F ϑ

ϑ = Θ

n

= (X

, . . . , X n ) ′

Θ

j =

, . . . , n

X j

j

F ϑ

ϑ = Θ

n

= (X

, . . . , X n ) ′

X n+

ϑ

F ϑ

ϑ

ϑ

Θ

j =

, . . . , n

X j

j

F ϑ

ϑ = Θ

n

= (X

Riikheie 3. Tei

F _ϑ

F _ϑ

, . . . , X n ) ^′

F _ϑ

, . . . , X n ) ^′

F _ϑ

, . . . , X n ) ^′

F _ϑ

, . . . , X n ) ^′

f _ϑ (N j ) = P (N j = k | Θ = ϑ) = e ⁻ ^ϑ ϑ ^k k ! .

u(ϑ) = ( _β γ

Γ(γ) ϑ ^γ−

e ^{−β ϑ} , ϑ >

p : D → R ⁺

, . . . , X _n )

N _j

P (N j = k | P = ϑ) = V _n+