ahgag29

EinemathematisheZeitshrift

fürShüler(innen)undLehrer(innen)

1980 gegründetvonMartinMettler

gegenwärtigherausgegebenvom

InstitutfürMathematikander

JohannesGutenberg-UniversitätzuMainz

DieneuenAufgaben wartenaufLösungen.NurMut,auhwennDuinMathekeine

Eins hast!DieAufgabensindsogestaltet,dassDuzurLösungnihtunbedingtden

Mathe-StoderShulebrauhst.VielmehrwirstDuvielmathematisheFantasieund

selbstständigesDenkenbrauhen,aberauhZähigkeit,WillenundAusdauer.

Wihtig:AuhwernureineAufgabeoderTeileeinzelnerAufgabenlösenkann,sollte

teilnehmen; der Gewinn eines Preises ist dennoh niht ausgeshlossen. Denkt bei

EurenLösungendaran,auhdenLösungswegabzugeben!

FürShüler/innenderKlassen5-7sindinersterLiniedieMathespielereienvorgese-

hen; auh Shüler/innender Klassen 8 und9dürfen hier mitmahen, abernur auf

der Basis der halben Punktzahl. Alle Shüler, insbesondere aber jene der Klassen

8-13,könnenLösungen zudenNeuenAufgaben abgeben.Punkte ausdenRubriken

Computer-Fan,Mathismahen mathematisheEntdekungen undWerforshtmit?

werdenbeiderVergabedesForsherpreiseszugrundegelegt.(Beiträgezuvershiede-

nenRubrikenbitteaufvershiedenenBlätternabgeben.)

Abgabe-(Einsende-)TerminfürLösungenistder

15.05.2009.

ZushriftenbitteanfolgendeAnshrift:

JohannesGutenbergUniversität

InstitutfürMathematik

MONOID-Redaktion

55099 Mainz

Tel.:06131/3926107

Fax:06131/3924389

E-Mail:monoidmathematik.uni-mainz.de

Im ELG Alzey könnenLösungen und Zushriftendirekt an Herrn Kraftabgegeben

werden,imKGFrankenthaldirektanHerrnKöpps.

FernergibtesinfolgendenShulenbetreuendeLehrer/innen,denenIhrEureLösungen

gebenkönnt:Herrn Ronellentshim Leibniz-GymnasiumÖstringen,Herrn Witte-

kindtinMannheim,HerrnJakobinderLihtbergshuleinEiterfeld,FrauLangkamp

imGymnasiumMarienberginNeuss,HerrnKuntzimWilhelm-Erb-GymnasiumWinn-

weiler,HerrnMeixnerimGymnasium Nonnenwerth,HerrnMattheis im Frauenlob-

GymnasiumMainz,FrauBeitlihundFrauElzeimGymnasiumOberursel,FrauNie-

derleinderF-J-L-GesamtshuleHadamarundHerrnDillmannimGymnasiumEltville.

DieNamenaller,dierihtigeLösungeneingereihthaben,werdenimMONOIDinder

RubrikderLöserundaufderMONOID-HomepageimInternetersheinen.

Wir bitten auh um neue Aufgaben, die Du selbst erstellt hast, um sie zu veröf-

fentlihen.DieseAufgabensollenabernihtausBühernoderAufgabensammlungen

entnommensein,sondernDeinereigenenFantasieentspringen.Würde esDihniht

einmalreizen,eineAufgabezustellen,derenLösungvorerstnurDukennst?

Am Jahresende werden rund50 Preise andie eiÿigstenMitarbeitervergeben. Seit

1993gibtesnoheinenbesonderenPreis:dasGoldeneM.

AuÿerderMedaillemit demGoldenenM gibtes einenbeahtlihen

GeldbetragfürdiebesteMitarbeitbeiMONOIDundbeianderenma-

thematishenAktivitäten,nämlih:LösungenzudenNeuenAufgaben

unddenMathespielereien,BeiträgezurSeitefürdenComputer-Fan,

Artikelshreiben,ErstellenvonneuenAufgaben,et.

UndnunwünshenwirEuhvielErfolgbeiEurerMitarbeit! DieRedaktion

von Hartwig Fuhs

Eine bekannteAufgabe

ZweiQuadrate

Q 1

^und

Q 2

^{seiengegeben.KannmaneinesdieserQuadratesoin}

vierTeilezerlegen,dasssihausdiesenTeilenunddemunzerlegtenQuadratein

neuesQuadratzusammensetzenlässt?Versuheesselbst,bevorDuweiterliest!

Die Lösung zuderAufgabe

Esseien

Q 1 = ABCD

^und

Q 2 = RSTU

^;fürdieSeitenlängen

L 1

^von

Q 1

^und

L 2

von

Q 2

^gelte

L 1 ≥ L 2

^.

Auf den Seiten von

Q 1

^{markieren wir Punkte}

A ^∗ , B ^∗ , C ^∗

^und

D ^∗

^{so, dass}

die Streken

AA ^∗ , BB ^∗ , CC ^∗ ,

^und

DD ^∗

^{sämtlih dieLänge}

L = ¹ ₂ (L 1 + L 2 )

besitzen eineBegründungfürdieseWahlvonLwirduntennahgeliefert.

Die

Q 1

^{querenden Streken}

A ^∗ C ^∗

^und

B ^∗ D ^∗

zerlegen

Q 1

^{invierVierekemiteinerallenge-}

meinsamen EkeM. Nah Konstruktion stim-

menindiesenVierekendreiInnenwinkelund

somit alle Innenwinkel sowie die Längen je

zweierSeitenüberein:DahersinddievierTeil-

guren

V 1 , V 2 , V 3 , V 4

^von

Q 1

^kongruent.

A ^∗ α β B

V 1

A D ^∗ V 4

M

V 3 α V 2

β α

D C ^∗ C

β β α

Bild1

B ^∗

Wirlegennun

V 1 , V 2 , V 3 , V 4

^sowieinBild2

an dieSeitedes Quadrates

Q 2

^{an.Wir wollen}

dannzeigen,dassderUmrissderFigurinBild2

in Wirklihkeit ein Quadrat

M 1 M 2 M 3 M 4

^und

niht etwa ein Zwölfek ist. Da die Figur in

Bild 2 drehsymmetrish ist, genügt dazu der

Nahweis,dasseseineeinspringendeEke,zum

Beispiel

A ^∗ ₁ A ^∗ ₂ M 2

^{,garnihtgibt.Dabeisollten}

wirstetsdasBild1imAugebehalten.

A ^∗ ₂ M ₂ B ^∗

M ₃ C ^∗ V 1

V 4

V ₂

V 3

α U T

R S

β M ₁

D ^∗

M ₄

Bild2

A ^∗ ₁

In

V 1

^ist

| RA ^∗ ₁ | = | AA ^∗ | = L

^{; in}

V 2

^folgtaus

| UA ^∗ ₂ | = | BA ^∗ | = L 1 − L

^{, dass}

| RA ^∗ ₂ | = | RU | + | UA ^∗ ₂ | = L 2 + L 1 − L

^{ist.Darausergibtsih:Esgilt}

A ^∗ ₁ = A ^∗ ₂

^,

sobald

| RA ^∗ ₁ | = | RA ^∗ ₂ |

^,also

L = L 1 + L 2 − L

^undsomit

L = ¹ ₂ (L 1 + L 2 )

^,ist.So

aberwar

L

^{obendeniert.DiePunkte}

A ^∗ ₁

^und

A ^∗ ₂

^{stimmendaherüberein.}

D ^∗ M 1 U

A ^∗

R

M ₄

Bild3

C ^∗ S T B ^∗ M ₂

M 3

Wir setzen nun

A ^∗ ₁ = A ^∗ ₂ = A ^∗

^{. Dann hat der}

Strekenzug

M 1 A ^∗ M 2

^{keinen Knik in}

A ^∗

^{, denn}

wirhabenobenbegründet(Bild1), dassinBild2

α + β = 180 ^◦

^{gelten muss. Daher ist}

M 1 A ^∗ M 2

eineStreke.

Wegen der Drehsymmetrie der aus

Q 2

^und

V 1 , V 2 , V 3 , V 4

zusammengesetztenFigurgiltalso:Die Streken

M 1 M 2 , M 2 M 3 , M 3 M 4 , M 4 M 1

^sindgleih

lang.UnddasienahKonstruktionvierrehteIn-

nenwinkel besitzt, stellt das Vierek

M 1 M 2 M 3 M 4

dasLösungsquadratdar(Bild3).

Wer war's?

von Margarita Kraus

Sie wird als Mutter der modernen Algebra bezeihnet, weil ihre Denkweise

einneuesZeitalterderAlgebraeinleitete,indemesnihtmehr umumfangrei-

he Rehnungen, sondern um abstraktere Begrie ging. Obwohl sieshon zu

Lebzeiten eine anerkannte Mathematikerin war, bekam sie nie eine Stelle als

ordentliheProfessorin.

Selbst dieHabilitationsheiterteimersten Anlauf,obwohlnieZweifelanihrer

mathematishenBefähigungherrshten.DiewahrenGründeverrätdasfolgende

Gutahten:... die wissenshaftliheHöhe der deutshen Universitäten würde

durh die fortshreitende Verweiblihung zweifellos sinken. Alle Fakultätsmit-

gliedersinddarübereinig,...dass einweibliherKopfnurganzausnahmsweise

shöpferishewissenshaftliheLeistungenhervorbringenwird...wennsihun-

ser Widerspruh... nurauf dieshwerensozialenundakademishenBedenken

und Folgen stützt, die gegen die Zulassung der Frauen zur Habilitation spre-

hen Unterzeihnetam19.11.1915vonProfessorenderGöttingerUniversität.

Erst vier Jahre später 1919, mit Beginn der Weimarer Republik konnte

sie sih habilitieren. Ohne feste Anstellung lehrte und forshte sie bis 1933

mit kleinen Unterbrehungen in Göttingenund wurde dort Mittelpunkt einer

mathematishenShule,dieweltweitAnerkennungfand.

Am 25.04.1933wurde sie, da sie Jüdin war, aufgrund des Gesetzes zur Wie-

derherstellung des Berufsbeamtentums von ihrer Tätigkeitan der Universität

beurlaubt. Sieging insExil indie USA.AmFrauenkollegBrynMawr (USA)

erhieltsieeineGastprofessur.Dohshonam14.04.1935starbsievölliguner-

wartetandenFolgeneinerOperation.AlbertEinsteinshriebinseinemNahruf,

der am 04.05.1935in der NewYork Times ershien,dass daskreativste ma-

thematisheGenie,dasseitBeginderhöherenErziehungfürMädhengeboren

wordenist,nihtmehramLebenwar.

Die gesuhte Personist EmmyAmalie Noether. Siewurde alserstes von vier

Kindern der jüdishenEltern Ida Amalia Noether, geb. Kaufmann, und Max

Noetheram23.03.1882inErlangengeboren.

Ihr Vater war Professor für Mathematik an

der Universität Erlangen. Nah dem Besuh

der Shule für höhere Töhter legte sie 1900

diebayerisheStaatsprüfungfürLehrerinnenin

französisherundenglisherSpraheab.Esgab

zu dieser Zeit weder Shulen,in denen Mäd-

hen zum Abitur geführt wurden, noh konn-

tensihFrauenandeutshenHohshulenim-

matrikulieren. Jedoh konnten (mit Erlaubnis

desProfessors)FrauenalsGasthörerinnenVor-

lesungenbesuhenunddiestatEmmyNoether.

ZuderZeitgibtesknapp1000Studentenund3

GasthörerinneninErlangen.NebenRomanistik

und Geshihte begannsie auh Mathematik-

VorlesungenbeiihremVaterunddessenKolle-

gen,Prof.PaulGordon,zuhören.

1903legtesiealsExterne dasAbitur ab.NaheinemSemesterin Göttingen

kehrtesiewiedernahErlangenzurük.DortwaresmittlerweileauhfürFrau-

en möglih,sih zu immatrikulieren, und sie begann ihr Mathematikstudium.

1907shlosssieihrePromotionbeiPaulGordonmitsummaumlaudeab.Im

GegensatzzuihrenspäterenArbeitenhatteihreDissertationkomplizierteteh-

nishe Rehnungen zum Gegenstand. Später bezeihnet sie ihre Dissertation

alsFormelgestrüpp undMist.AnshlieÿendunterstütztesieihrenVaterbei

seinerLehrtätigkeitundarbeiteteprivatwissenshaftlih.1909hieltsiealsers-

teFraubeieinerJahresversammlungderDeutshenMathematiker-Vereinigung

einen Vortrag.

1915 ging sie zur Zusammenarbeit mit Felix Klein und David Hilbert nah

Göttingen einem der führenden mathematishen Institute dieser Zeit. Ein

ersterHabilitationsversuh1915sheiterte,dadiepreuÿisheHabilitationsord-

nungnurMännerzurHabilitationzulieÿ.DieGöttingerProfessorenversuhten

vergeblih, eineAusnahmegenehmigung für EmmyNoether zu erreihen. Die

Diskussionen dazuwaren wohlsehr kontrovers.Von Hilbert istder Ausspruh

überliefert Meine Herren, wir benden uns hier in einer Universität niht in

einerBadeanstalt,ihkannnihtsehen,welheRolledasGeshlehtdesKan-

didatenspielt. EmmyNoetherwarkeinerebellisheFeministin,diegegenihre

Rolleaufbegehrte,sonderneineleidenshaftliheForsherin.Siearbeitetewei-

termitKleinundHilbertanFragenderallgemeinenRelativitätstheorie.Daraus

entstandihreArbeitInvarianteVariationsprobleme,mitdersiesih1919,nah

EndedesErstenWeltkriegshabilitierte.Einsteinshriebüberdiese Arbeit:Es

kann.EshättedenGöttingerFeldgrauennihtsgeshadet,wennsiezuFräulein

Noether in die Shule geshikt worden wären. Sie sheint ihr Handwerk zu

verstehen.

Wir werden unten noh auf den Inhaltdieser Arbeit, die auh heute noh in

vielenPhysikbühernzitiertwird,eingehen.

FürEmmyNoetherwardieseArbeitjedohabseitsihrerhauptsählihenInter-

essen,derabstraktenAlgebra.Viele BegriedorttragenihrenNamen.Sogibt

eszumBeispielnoethersheRinge,dieheutejederMathematik-Studentkennt.

Ihre Vorlesungen waren wohl niht nah jedermanns Geshmak und weniger

für AnfängeralsfürfortgeshritteneStudenten geeignet.Auh ihrVortragsstil

wargewöhnungsbedürftig.SiezerstampftemanhmaleinStükKreide,dassie

zerbrohenhatte...,dasGegenteileinerelegantenDame,berihteteeinerihrer

Shüler,derAlgebraikervander Waerden.

Oft präsentierte sieneue Theorien und Beweisein ihren Vorlesungen.So hat-

te sie bald einen Kreis begabter Shüler um sih, ihre Trabanten oder die

Noether-Knaben,wiesiegenannt wurden.Zu ihnengehörtenniht nurfort-

geshrittene Studenten, sondern auh ausgebildete Mathematiker unter ih-

nen viele ausländishe Gäste. Niht nur in Seminaren, sondern auh bei lan-

gen gemeinsamen Spaziergängen, Puddingessen in ihrer Mansardenwohnung

und Shwimmen im Stadtbad redeten sie über Mathematik. Van der Waer-

den shrieb über sie: Völlig unegoistishund frei von Eitelkeit,beanspruhte

sie niemals etwas für sih selbst,sondern fördertein erster Liniedie Arbeiten

ihrerShüler.SieshriebfürunsalleimmerdieEinleitungen,indenendieLeit-

gedanken unserer Arbeiten erklärt wurden, die wir selbst anfangs niemals in

solher Klarheit bewusstmahen und aussprehenkonnten. Sie war uns eine

treueFreundinundgleihzeitigeinestrenge,unbestehliheRihterin.

Dieses blühendemathematisheLeben wurde durhdasNazi-Gesetzzur Wie-

derherstellungdesBerufsbeamtentums von1933jähzerstört.Sieemigriertein

dieUSA.Rashbegannsiein BrynMawrwiedereinen KreisvonShülerinnen

umsihzusharen.Daneben lehrtesieim nahenPrinetonbissie1935 völlig

unerwartetstarb.

Der in der Arbeit Invariante Variationsprobleme bewiesene Satz spielt auh

heutenohvoralleminderPhysik,aberauhinderMathematik,einewihtige

Rolle.DieStärkedesSatzesliegtdarin,dasseinespezielleFragestellunghier

dienah der Erhaltungder Energie inder allgemeinenRelativitätstheorieso

verallgemeinertwird,dasserAntwortenaufvölliguntershiedliheFragestellun-

gengibt:Grobformuliert,sagtderSatz,dassjedeSymmetrie einesProblems

eineErhaltungsgröÿeliefert.

Ein geometrishesMusteristsymmetrish, wenn esunter bestimmtenBewe-

gungen, beispielsweiseVershiebungen, Spiegelungenoder Drehungenin sih

überführt wird. Entsprehend kann man auh von der Symmetrie eines phy-

sikalishen Experimentssprehen,wenn man es verändernkann und dennoh

Führt man ein physikalishes Experiment durh, so erwartet man, dass das

Ergebnis unabhängigvom Zeitpunkt der Ausführung ist. Ein Pendel shwingt

heuteso shnellwiemorgen.DiesnenntmanSymmetriegegenüberVershie-

bungeninderZeit. DieErhaltungsgröÿe,diemannahdemSatzvonEmmy

Noether daraus herleiten kann, ist die Energie. In einem abgeshlossenen

SystembleibtdieEnergie erhalten.

WennmaneinExperimentuntergleihenBedingungenanvershiedenenOrten

ausführt,soerwartetmandieselbenMessergebnisse.DiesnenntmanSymme-

trieunterräumlihenVershiebungen.DieErhaltungsgröÿe,diederNoether'she

Satz liefert,istdieImpulserhaltung,dasheiÿt,wennaufeinenKörperkeineäu-

ÿereKraftwirkt,bleibtderImpuls,alsodasProduktausMasseundGeshwin-

digkeit,erhalten.

Die wihtigsteRolle spieltderSatz heute inder modernenElementarteilhen-

physik. Symmetrien der Systeme führen dort zur Erhaltung der Ladung und

gewisserQuantenzahlen.

Eulers Berehnung von

π

mit einem

Primzahlen-Sieb

von Hartwig Fuhs

Die Primzahlen und die Kreiszahl

π

^{sind seit bald 3000 Jahren Themen der}

Mathematik.DabeigaltlangeZeit:

Primzahlen gehören zur Zahlentheorie und die Zahl

π

^ist ausshlieÿlih eine Rehengröÿeder Geometrie.

LeonhardEuler(17071783)widerlegtediesesVorurteil,alsesihmgelang,eine

arithmetishe Verbindung zwishen den Primzahlen und

π

herzuleiten. Ganz unvorbereitetwarseine Entdekungallerdingsnihtsiehatteberühmte Vor-

läufer:

JohnWallis(16161703),einanglikanisherGeistliher,dererstmit30Jahren

als Autodidakt (Selbstlerner) zur Mathematik kam, veröentlihte 1655 eine

Gleihung,nämlih dasnahihm benannteunendliheWallis-Produkt

(1)

π

4 = ² ₃ · ⁴ 3 · ⁴ 5 · ⁶ 5 · ⁶ 7 ...

Er shlug also einearithmetishe Brükezwishen den rationalenZahlen und

der Kreiszahl

π

^.

Im Jahre1682 wurde dann von Gottfried W.Leibniz (16461716),einemder

gröÿtenGelehrten seinerZeit,diesogenannteLeibniz-Reiheentdekt:

(2)

π

4 = ¹ ₁ − ¹ ₃ + ¹ ₅ − ¹ ₇ + ¹ ₉ − ...

Hiermit ist eine arithmetishe Beziehung zwishen

π

^{und nur den ungeraden}

natürlihenZahlenhergestellt.

DieGleihungen(1)und(2)warenvongroÿerBedeutungfürdieMathematik.

Siebrahteneinen wihtigenmethodishenFortshritt:

Siezeigen, dass diebis dahinnur in geometrishenBerehnungenaufgetrete-

ne Zahle

π

^{durhausauh in}arithmetishenZusammenhängenvorkommtund solheZusammenhängelassensihmitzahlentheoretishenMittelnbearbeiten.

EulerdemonstiertemitderHerleitungseinerFormel(3),demunendlihenEuler-

Produkt,wiesoeineBearbeitungaussehenkann:

(3)

π

4 (1 + ¹ ₃ )(1 − ¹ ₅ )(1 + ¹ ₇ )...(1 ± p ¹ _n )... = 1

^mit

(1 + _p ¹

n )

^falls

n = 4k − 1

^und

(1 − p ¹ n )

^falls

n = 4k + 1

^,wobei

p n

^{dien-tePrimzahlmeintund}

n ≥ 2

^gilt.

Das von Euler dabei eingesetzte zahlentheoretishe Werkzeug ist ein uralter

simplerAlgorithmuseinsogenanntesPrimzahlen-Sieb.

SeitderAntikebesitzendieMathematikereinvonEratosthenesvonKyrene(um

284a.200v.Chr.)entwikeltes,genialeinfahesVerfahrenzurAussonderung

derPrimzahlenausderFolgedernatürlihenZahlendasSiebdesEratosthenes

, welhesnoh niht einmal vorraussetzt, dass man multiplizieren kann,nur

zählenmussmankönnenundFolgendeswissen:

(

∗

^{) WennmanvoneinernatürlihenZahl}

a > 1

^ausmitderShrittlänge

a

^die

Folgeder natürlihenZahlen entlanggeht,danntrit mandabeigenau

dieVielfahenvon

a

^,nämlih

a

^,

2a

^,

3a

^,

...

^.

DasVerfahrenvonEratosthenesfunktioniertalsSiebverfahrenso:

Essei

F 0 : 2, 3, 4, 5, ...

^{dieFolgedernatürlihenZahlengröÿerals}

1

^.

1.Durhgang:Aus

F 0

^{entferntmanalleVielfahevon}

2

^auÿerder

2

^selbst.

ManerhältsodieFolge

F 1

^.

F 1 : [2], 3, 5, 7, 9, 11, ... , 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, ...

2.Durhgang:Manstreihtin

F 1

^{alleVielfahevon}

3

^auÿerder

3

^selbst.

ManerhältsodieFolge

F 2

^.

F 2 : [2, 3], 5, 7, 11, ... , 47, 49, 53, 55, 59, ...

3.Durhgang:Manstreihtin

F 2

^{alleVielfahevon}

5

^auÿerder

5

^selbst.

ManerhältsodieFolge

F 3

^.

F 3 : [2, 3, 5], 7, 11, ... , 47, 49, 53, 59, ...

4.Durhgang:Manstreihtin

F 3

^{alleVielfahevon}

7

^auÿerder

7

^selbst.

ManerhältsodieFolge

F 4

^.

F 4 : [2, 3, 5, 7], 11, ... , 47, 53, 59, ...

Manmahtsihleihtklar,dassfür

n ≥ 1

^gilt:

Ist

F n = [2, 3, 5, 7, ..., p n ], m 1 , m 2 , m 3 , ...

^,dannbildet

[2, 3, 5, ..., p n ]

^einAn-

fangsstükder Folge

p 1 , p 2 , p 3 , ...p n , ...

^{der nahwahsender Gröÿe gord-}

netenPrimzahlen;

m 1 , m 2 , m 3 , ...

^{sindnatürliheZahlengröÿerals}

p n

^,von

denenkeinedurheinePrimzahlkleinerodergleih

p n

^teilbarist.

Diese Aussagelässtsihanshaulihsoumshreiben:

DasEratosthenes-Verfahrensiebtausder Fogle der natürlihenZahlengröÿer

1genaudiePrimzahlen aus.

Wie hat nun Leonhard Eulerdie mit (3) behauptete arithmetisheBeziehung

zwishen

π

^{unddenPrimzahlen} hergeleitet?

SeinAusgangspunktwardieLeibniz-Reihe(2),diewir

R 1

^{nennenundsoshrei-}

ben:

R 1 = 1 1 − 1

3 + 1 5 − 1

7 + 1

9 − ... ± 1 t ± ... ,

mit

+ ¹ _t

^,falls

t = 4n + 1

^,sowie

− ¹ t

^,falls

t = 4n − 1

^.Dabeisei

t ≥ 1

^ungerade.

Eulerhattebemerkt,dassbisaufeineAusnahmedieReziprokenderZahlender

Eratosthenes-Folge

F 1

^{genaudieBruhzahlender Reihe (2)sind.Dasbrahte}

ihndazu,dasfolgendeEratosthenes-Verfahrenauf

R 1

anzuwenden:

1.Durhgang:Aus

R 1

^{entfernteEuleralleBrühe,derenNennerVielfaheder}

Primzahl

3

^{sind.Ererreihtdies,indemerzu}

R 1

^dieReihe

1

3 R 1

^soaddiert

∗

:

R 1 = + ¹ ₁ − ¹ ₃ + ¹ ₅ − ¹ ₇ + ¹ ₉ − ₁₁ ¹ ± ...+ ₄₉ ¹ − ₅₁ ¹ + ₅₃ ¹ − ₅₅ ¹ ± ...

+ ¹ ₃ R 1 = + ¹ ₃ − ¹ ₉ ± ... + ₅₁ ¹ ± ...

R 2 = (1 + ¹ ₃ )R 1 = + ¹ ₁ + ¹ ₅ − ¹ 7 − 11 ¹ ± ...+ ₄₉ ¹ + ₅₃ ¹ − 55 ¹ ± ...

2.Durhgang:Aus

R 2

^{werdenalleBrüheentfernt,derenNennerVielfaheder}

Primzahl

5

^{sind, indem man zu}

R 2

^{die Reihe}

− ¹ ₅ R 2

^{addiert. Man erhält die}

Reihe

R 3

^:

R 3 = R 2 (1 − ¹ 5 ) = ¹ ₁ − ¹ 7 − 11 ¹ ± ... + ₄₉ ¹ + ₅₃ ¹ − 59 ¹ ± ...

3. Durhgang: Entfernung aller Brühe aus

R 3

^{, deren Nenner Vielfahe der}

Primzahl

7

^{sind,durhAdditionder Reihe}

¹ ₇ R 3

^zu

R 3

^{ergibtdieReihe}

R 4

^:

R 4 = R 3 (1 + 1 7 ) = 1

1 − 1 11 + 1

13 ± ... − 1 47 + 1

53 − 1 59 ± ...

Sofortfahrend(vollständigeInduktion)erhältmanaufeinanderfolgendeReihen

R 1

^,

R 2

^,

R 3

^,...,

R n − 1

^,

R n

^für

n ≥ 2

^,wobeifür

R n

^gilt:

∗

MitderReihenlehrelässtsihbeweisen,dassdieandenReihen

R 1 , R 2 ,R 3 , ...

^ausgeführ-

tenOperationen sämtlihzulässigsind.

R n = R n − 1 (1 ± p ¹ _n ) = ¹ ₁ ± p n+1 ¹ ± ...

^{Dabei meinen}

p n

^und

p n+1

^dien-te

und(n+1)-tePrimzahl.Esist

1 + p n

^falls

p n = 4k − 1

^sowie

1 − p n

^falls

p n = 4k + 1

^und

¹ ₁ + _{p n+1} ¹

^falls

p n+1 = 4m + 1

^{ist sowie}

¹ ₁ − p n+1 ¹

falls

p n+1 = 4m − 1

^ist.

ErsetztmannuninderGleihungfür

R n

^derReihenah

R n − 1

^durh

R n − 2

^,dann

R n − 2

^durh

R n − 3

^{,... undshlieÿlih}

R 2

^durh

R 1

^{,so folgt:}

R n = R 1 (1 + ¹ ₃ )(1 − ¹ ₅ )(1 + ¹ ₇ )...(1 ± p ¹ _n ) = ¹ ₁ ± p _n+1 ¹ ± ...

Vonhieraushat Eulervielleihtsoweiterüberlegt:

Esist

1

1 ± p n+1 ¹ ± ... = 1 + R 1 − ( ¹ ₁ − ¹ ₃ + ¹ ₅ ± ... ± p ¹ _n )

Damitgiltfür

n → ∞

^:

Wegen(2)ist

1 + R 1 − ( ¹ ₁ − ¹ 3 + ¹ ₅ ± ... ± p ¹ n ) → 1 + R 1 − R 1 = 1

^;folglihist

auh

1

1 ± p n+1 ¹ ± ... → 1

^{unddeshalbauh}

R n → 1

^.

DasLetztebedeutetabermit

R 1 = ^π ₄

^{,dass dannwegen}

π

4 (1 + ¹ ₃ )(1 − ¹ ₅ )(1 + ¹ ₇ )...(1 ± p ¹ _n ) → 1

^{EulersBehauptung(3)zutrit.}

Selbst heute im Zeitalterder Computer sinddie Formeln(1),(2) und (3)nur

vongeringempraktishenNutzen:

UmauhnureinigewenigesihereStellendes

π

^{-Werteszuerhalten,mussman}

unverhältnismässig riesige Anzahlen von Summanden bzw. Faktoren berük-

sihtigen,weildieAusdrüke(1),(2) und(3)äuÿerstlangsamkonvergieren.

Hättest Du es gewusst?

Was ist ein unendliher Abstieg

von Hartwig Fuhs

EinederältestenBeweisstrategien,diewirkennen,isteinbemerkenswertstruk-

turierterUmöglihkeitsbeweis,dendieMathematikerdesaltenGriehenland

vermutlihdiePythagoreer,einevonetwa550bis350v.Chr.bestehendeGrup-

pevonPhilosophenundMathematikernentwikelthaben.Ergerietnahdem

Untergangder griehish-römishenZivilisationlangeinVergessenheit,bisihn

Pierrede Fermat(16011665)wiederentdekte.Fermatwarsostolzaufsein

Beweisverfahren,dasserspäterbehauptete,alleseineshönenmathematishen

Erfolgealleinedamiterrungenzu haben.

Erwaresauh,derdieserBeweisstrategieihrenheutigenNamengab:desente

innie was mit unendliher Abstieg und manhmal auh mit unendliher

Regress übersetztwird.

DieMethodedesunendlihenAbstiegsfunktioniertanshaulihso:Einlogisher

ProzessführtvonStufezuStufehinabin einenmathematishenAbgrundin

dieWahrheit einerzu beweisendenAussageherzuleiten.

∗

AlgorithmisheBeshreibungeinesunendlihenRegresses

Es sei

A

^{eine Aussage, in der natürlihe Zahlen}

n

^{eine Rolle spielen solhe}

AussagenbezeihnenwirmitHinweisaufdieAbhängigkeitder Aussage

A

^von

n

^mit

A(n)

^.

Die mit einem unendlihen Abstieg beweisbaren Behauptungen sind nun im

einfahstenFalltypisherWeisevonder Art:

(1) DieAussage

A(n)

^{tritfür keinenatürliheZahl}

n

^zu.

ManbeginntdenBeweisvon

(1)

^miteinemunerwartetenlogishenZug,indem mandasGegenteilvon

(1)

^{alsodieNegation}(Verneinung) von

(1)

^fürein

n 1

^{alswahrannimmt,also:}

(2) DieAussage

A(n 1 )

^{istwahrfür einenatürlihe Zahl}

n 1

^.

Aus der Annahme

(2)

^{sei nun} herleitbar, dass für einenatürlihe Zahl

n 2

^mit

n 2 < n 1

^gilt:

(3) DieAussage

A(n 2 )

^tritzufür

n 2

^.

Mit

(3)

^{bendetman sihnun inder gleihenlogishenSituationwiebei}

(2)

^.

Von

(3)

^{kannmandaherauhmitder gleihen}Shlusskettewie

(2) ⇒ (3)

^die

Behauptungbeweisen:Füreinenatürlihe Zahl

n 3

^mit

n 3 < n 2

^gilt:

(4) DieAussage

A(n 3 )

^istwahrfür

n 3

^.

Aus

A(n 3 )

^{leitetmanebenso}

A(n 4 )

^fürein

n 4 < n 3

^{herundsoweiter...ineiner}

ansheinend niht abbrehendeFolge von weiteren Abstiegen

A(n 5 )

^,

A(n 6 )

^,

A(n 7 )

^...mit

n 4 > n 5 > n 6 > n 7 >

^...

AberdiemiteinerunbeshränktlangenShlusskette

(2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒

^...

einhergehende, ebenfalls unbeshränkt langeUngleihungskette

n 1 > n 2 >

n 3 >

^{...vonimmer kleinerwerdendennatürlihenZahlen}

n 1

^,

n 2

^,

n 3

^{, ...istgar}

nihtmöglih,dennsiewidersprihtderTatsahe,dassesunterhalbvon

n 1

^nur

endlihvielevershiedenenatürliheZahlengibt.

Aus diesem Widerspruh folgt: Die Annahme

(2)

^{muss falsh sein. Dann gilt}

aber

(1)

^{,waszuzeigenwar.}

Anwendungan einemBeispiel

Aneinemgeometrishen(!)Beispieldemonstierenwir,wiederlogisheProzess

desunendlihenAbstiegskonkretabläuft,indemwirzeigen:

(

∗

^{) Esgibtkein}regelmäÿigesFünfek,dessensämtliheEkpunkteGitterpunk- tesind.

∗

Ludwig Wittgensetin (18891951), einer der bedeutendsten Philosophen und Logiker

des20.Jahrhunderts,bemerkteinmal:DieLogikerundMathematikerhabeneineaber-

gläubigeAngstvordemWiderspruh. UnserBerihtwirdzeigen,dassdieseAngstbei

einemunendlihenRegressgänzlihunbegründetist.

jeder Punkt

(x | y)

^mit ganzzahligenKoordinaten

x, y

^ein Gitterpunkt. Um zu zeigen,dass(

∗

^{)gilt,beweisenwirvorweg:}

a) DiequadrierteLängeeinerStrekezwishenzwei Gitterpunktenistganz-

zahlig.

b) Sind drei Ekpunkte eines Parallelogramms Gitterpunkte, so ist es auh

dervierteEkpunkt.

Begründung:

d 2 − a 2

C D

B A d ¹ − a ₁

L

d 2 − a 2

y

x d ₁ − a ₁

Abbildung 1

A = (a 1 | a 2 )

^und

D = (d 1 | d 2 )

^seienzwei

beliebige Gitterpunkte vergleiheAb-

bildung1.DannistdiequadrierteLänge

L ² = (d 1 − a 1 ) ² + (d 2 − a 2 ) ²

^,danurmit

ganzen Zahlen addiert, subtrahiert und

multipliziert wird,ganzzahlig.

B = (b 1 | b 2 )

^{sei nun ein weiterer Git-}

terpunkt und

C = (c 1 | c 2 )

^{ein vierter}

Punkt so, dass der Strekenzug

ABCD

ein Parallelogramm ist. Dann ist

c 1 = b 1 + (d 1 − a 1 )

^und

c 2 = b 2 + (d 2 − a 2 )

^.

WiebeiderquadriertenSeitenlängesind

demnah

c 1

^und

c 2

^{ganze Zahlen, also}

ist

C

^ebenfallseinGitterpunkt.

Wirbeweisen nun(

∗

^{)durheinenunendliheAbstieg:}

Annahme:DieEkpunkte

A 1

^,

B 1

^,

C 1

^,

D 1

^und

E 1

^einesregelmäÿigenFünfeks

F 1

^seienGitterpunkte.

Dann ist die quadrierte Seitenlänge

L ² ₁

^von

F 1

ganzzahlig. In das Fünfek

F 1

konstruieren wir fünf Rauten, et- wa die Raute

A 1 B 1 C 1 D 2

^{mit Gitter-}

punkten

A 1 , B 1 , C 1

^und

D 2

^verglei-

he Abbildung 2 sowie die übrigen

Rauten

B 1 C 1 D 1 E 2

^{und soweiter ver-}

gleihe Abbildung 3. Die fünf Punkte

A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , E 2

^{sindalsEkpunkteder}

RautenundsomitalsEkpunktespe-

ziellerParallelogrammejeweilsGitter-

punkte; sie bilden die Ekpunkte eines

neuen Fünfeks

F 2

^{, welhes aus Sym-}

metriegründenregelmäÿigist.

L ₁

A ₁ B 1

D 2

E 1

D 1

C 1

Abbildung2

Aus derAnnahmefolgtsomit:

Sämtlihe Ekpunkte des regelmäÿigen

Fünfeks

F 2

^sindGitterpunkteunddes- halb ist die quadrierte Seitenlänge

L 2 2

von

F ₂

ganzzahlig. Oentsihtlih gilt

L 2 2 < L 1 2

.Ebensokonstruiertmanaus

F 2

^einregelmäÿigesFünfek

F 3

^mitlau-

ter Gitterekpunktenundganzzahligen,

quadriertenSeitenlängen

L 3 2

mit

L 3 2 <

L 2 2

undsoweiter...

E ₁

D 1

C ₁ C 2

D 2

E 2

A ₂ B 2

L 1

L 2

B ₁ A ₁

Abbildung3

Aber eine auf diese Weise erzeugte, niht abbrehende Folge von natürlihen

Zahlen

L 1 2 , L 2 2 , L 3 2 ,

^{... mit}

L 1 2 > L 2 2 > L 2 2 ,

^{ist niht möglihirgentwann}

muss es eine kleinste natürlihe Zahl geben! Damit ist gezeigt, dass die am

Anfang getroene Annahme auf einen Widerspruh führt, also ist sie falsh.

SomitgiltdieBehauptung(

∗

^).

Die besondere Aufgabe

Über die Zerlegung von spitzwinkligen

Dreieken in spitzwinklige Dreieke

von Hartwig Fuhs

EinDreiekheiÿtspitzwinklig,wennjederseinerWinkel

< 90 ^◦

^ist.Spitzwinklige DreiekekönnennihtimmerinspitzwinkligeDreiekezerlegtwerden.Vielmehr

lässtsihzeigen:

Ein spitzwinkligesDreiekkannnihtin zweioder drei, wohlaberin vier

spitzwinkligeDreiekezerlegtwerden.

Die Lösung

Essei

△

^einspitzwinkligesDreiekmitdenEkpunkten

A, B

^und

C

^.

(1) Annahme:

△

^seiinzweispitzwinkligeDreieke

△ ¹ , △ ²

^zerlegt.

Die beiden Dreieke

△ ¹

^und

△ ²

^{besitzen eine gemeinsameSeite, bei der ein}

EndpunktzugleihEkpunktvon

△

^{seinmussundderandereEndpunktersei}

P

^{genanntineinerSeitevon}

△

^{liegt(Figur1).Dannsindnah}Voraussetzung dieWinkelvon

△ ¹

^und

△ ²

^bei

P

^zusammen

< 90 ^◦ + 90 ^◦ ,

^also

< 180 ^◦

^ein

Widerspruh:

△ 1

^und

△ 2

^{könnendaher nihtbeide}spitzwinkligsein.

△ 2

P B B

△ 2

△ 1

P

△ 3

Q

△ 1

A

C C

A

Figur1 Figur2

(2) Annahme:

△

^seiindreiSpitzwinklige

△ ¹ , △ ²

^und

△ ³

^zerlegt.

1.Fall:EsgebekeinenPunkt

R

^{,der ein} gemeinsamerEkpunkt von

△ 1 , △ 2

und

△ 3

^ist.

Zerlegungvon

△

^:

Zunähstzertrenntman

△

^{wieinFigur1inzweiDreiekederengemeinsame}

Seitesei

CP

^{.EinesderbeidenDreiekezuBeispiel}

△ BCP

^{zerlegtmanweiter}

inzweiDreieke

△ ² , △ ³

^mitgemeinsamerSeite

BQ

^{(vergleiheFigur2). Wie}

in(1) folgtfür dieWinkelvon

△ ²

^und

△ ³

^bei

Q

^{,dasssiezusammen}

< 180 ^◦

sindeinWiderspruh. Alsotrittder 1.Fall nihtein.

2.Fall:EsgebeeinenPunkt

R

^,dergemeinsamerEkpunktvon

△ 1 , △ 2

^und

△ 3

ist.

a) Rliegtim Innerenvon

△

^{(Figur 3).}

Dann sind die Winkel von

△ ¹ , △ ²

^und

△ ³

^{beim Punkt}

R

^zusammen

< 3 · 90 ^◦ = 270 ^◦

^ein Widerspruh, da sie ja zusammen

360 ^◦

ergebenmüssen.

b) RseieinEkpunktvon

△

^{oder RliegeineinerSeitevon}

△

^.

Dann sind nurdie in Figur 4oder Figur 5 skizziertenZerlegungen mög-

lih. Es gibt daher stets einen Punkt

S

^,

S 6 = R

^{, in einer Seite von}

△

^,

dergemeinsamerEndpunktzweierZerlegungsdreiekeist.Wiein(1)folgt

darausderWiderspruh,dassdieWinkelzweierDreiekebei

S

^zusammen

< 180 ^◦

^sind.

A

C R

S

△ 1

Figur5

B A

C = R

S

Figur4

△ 1

A

C

Figur3

R

△ 2

△ 1

△ 3

B

△ 3

△ 2

△ 3

△ 2

B

Mit (1)und (2) istgezeigt: Ein spitzwinkligesDreiekist weder in zwei noh

indreispitzwinkligeDreiekezerlegbar.

(3) Wirzeihnenin

△

^dasMittendreiek

PQR

^ein

und zerlegen

△

^{in vier kongruente Dreieke}

△ 1 , △ 2 , △ 3 △ 4

^,diezu

△

^{ähnlihsind,denn}

die Seitenlängen von

△ 1 , △ 2 , △ 3

^und

△ 4

betragendieHälftenderSeitenlängenvon

△

^,

da

P, Q, R

^derenMittelpunkte sindund weil

PQ k AB, QR k BC , RP k CA

^(Umkehrung

desStrahlensatzes).

A

C

P Q

β z

x y α

△ 4 γ γ

R B

Figur6

α β

α β

Bezeihnet man die Winkel von

△

^mit

α, β, γ

^{, dann sind die Winkel von}

△ 1 , △ 2 , △ 3

^alsStufenwinkelanParallelenfestgelegt(Figur6).

Für den Winkel

x

^von

△ ⁴

^gilt:

α + β + x = 180 ^◦ ;

^also

x = γ

^. Entsprehend ndet man:

y = α

^und

z = β

^.

Wegen

α, β, γ < 90 ^◦

^{sinddievierDreieke}

△ ¹ , △ ² , △ ³

^und

△ ⁴

spitzwinklig.

Daher istjedesspitzwinkligeDreiekinvierspitzwinkligeDreiekezerlegbar.

AnregungzumWeiterdenken

Wie stehtesmitderZerlegungeinesspitzwinkligenDreieksin fünf (insehs,

in sieben,inaht,...) spitzwinkligeDreieke?

Die Seiten für den Computer-Fan

Eine Formel zur ErzeugungvonPrimzahlzwillingen?

Ein Primzahlzwillingist ein Paar

(p, q)

^{von Primzahlen}

p

^und

q

^{im Abstand}

2

^wie

(3, 5)

^,

(5, 7)

^oder

(11, 13)

^{. Die Frage, ob es unendlih viele oder nur}

endlih viele Primzahlzwillinge gibt, ist bislang trotz intensiver Bemühungen

der Mathematikernohnihtentshieden.

Wenn man eine Formel als Funktion einer natürlihen Zahl

n

^{nden könnte,}

diefüralle

n

^nurPrimzahlzwillingeliefertoderdohmitwahsendem

n

^immer

wieder welhe, wäreder Nahweis erbraht, dass es unendlih viele Primzahl-

zwillingegibt;denndiesistdieallgemeineVermutung.

UntersuheunterdiesemAspekt dieFolgederZahlenpaare

(p(n), q(n))

^mit

p(n) := 30 ·| (2n − 27) · (n − 15) |− 1

^und

q(n) := 30 ·| (2n − 27) · (n − 15) | +1

für möglihstvielenatürlihe Zahlen

n

^{. WasbeobahtestDu? (nahH.F.)}

Hinweis:IhrkönntEureLösungenbiszum15.Mai2009einshiken,dennauhhierbeigibt

esPunkte zuergattern.AllerdingsmüsstIhrbeider Verwendungeineseigenen Programms

dies entsprehend dokumentieren durhEinsenden derProgramm-Datei(amBesten alsE-

Mail-Anhanganmonoidmathematik.uni-ma inz. de) .

DieLösungenwerdenjeweilsimübernähstenHeftersheinen.

MONOID 95

Aufgabe:GanzzahligePunkteauf kubisherKurve

Wirbetrahten in einem

(x, y)

-Koordinatensystem die Kurve

k

^{, die durhdie}

kubisheGleihung

y ² − x ³ = 17

^{beshriebenwird.}

Fallsesindem Kreisgebiet,dasdurhdieUngleihung

x ² + y ² ≤ 10 ⁸

^deniert

wird,Kurvenpunkte

K

^auf

k

^mitganzzahligenKoordinatengibt,bestimmeman

diese! (H.F.)

Ergebnisse:

Es genügtzur Aundung von Lösungen in dem vorgeshlagenenBereih nur

ganzzahlige

x

^mit

− 2 ≤ x ≤ 10 ⁴

^{in Betrahtzu ziehen; dennfür}

x ≤ − 3

^ist

y ² − x ³ ≥ 27

^undfür

x > 10 ⁴

^ist

x ² + y ² > 10 ⁸

^.

Mit dieser Coputer-Aufgabe beshäftigt haben sih Janosh Gräf (Georg-

Forster-GesamtshuleWörrstadt)undFlorianShweiger(GymnasiumMarkto-

berdorf)miteigenenProgrammeninCbeziehungsweiseVisualBasi.Ihreüber-

einstimmendenResultatevon14ganzzahligenKoordinatenpaaren

(x , y )

^lauten:

K 1 ( − 2 | 3)

^,

K 2 ( − 2 | − 3)

^,

K 3 ( − 1 | 4)

^,

K 4 ( − 1 | − 4)

^,

K 5 (2 | 5)

^,

K 6 (2 | − 5)

^,

K 7 (4 | 9)

^,

K 8 (4 | − 9)

^,

K 9 (8 | 23)

^,

K 10 (8 | − 23)

^,

K 11 (43 | 282)

^,

K 12 (43 | − 282)

^,

K 13 (52 | 375)

^,

K 14 (52 | − 375)

^.

FlorianShweigerist mit

x

^{noh über}

10 ⁴

^{hinausgegangen(bis}

10 ⁵

^{)und hat}

dabeinohzwei weiterePunkte entdekt:

K 15 (5234 | 378661)

^und

K 16 (5234 | − 378661)

^.

Mathis mahen

mathematishe Entdekungen

Zahlen-Trapeze

Shreibe für einenatürlihe Zahl

n > 1

^{einen beliebig langenAnfang der}

n

^-

tenPotenzen

1 ⁿ

^,

2 ⁿ

^,

3 ⁿ

^,

4 ⁿ

^,

...

^ineineReihe

R 1

^{.Berehne dann diepositiven}

Dierenzen

D 1

^,

D 2

^,

D 3

^,

...

^{vonjeweilszwei}benahbartenPotenzenundshreibe sie wieim Beispielin einerReihe

R 2

^{unterdie Reihe}

R 1

^{; danah shreibedie}

positiven Dierenzen von jeweilszwei benahbarten Zahlen

D i

^,

D i+1

^{in einer}

Reihe

R 3

^{unterdieZeile}

R 2

^{,undsoweiter.}

6 ³ ...

...

...

R 4 : ...

R 3 : R 2 :

R 1 : 1 ³ 2 ³ 3 ³ 4 ³ 5 ³ 91

36 30

61 24 37 18 19 12 7

6 6 6 6

UntersuhenunsolheZahlen-TrapezefürvershiedeneWertevon

n

^.

Kannstdu inihnenirgendwelheGesetzmäÿigkeitenerkennen?

Wennja:FormulieresiealsVermutung! (H.F.)

Hinweis:EuremathematishenEntdekungenkönntIhrbiszum15.08.2009andieMONOID-

Redaktioneinsenden,dennauhhierbeigibtesPunktezuergattern.EureErgebnissewerden

jeweilsdreiHeftespäterveröentliht.

Lösungen der Mathespielereien aus

MONOID 96

Für die jüngeren Shüler/innen derKlassen 57

In eigenerSahe

IhrhaltetnundasHeft97in denHänden,baldkönnenwiralsoJubiläum,das

100.feiern.

Bei den Neuen Aufgaben sindwir auh shonweit im 900-erBereih mit der

Aufgabennummerierung,esstehtalsoauhdie1000.Aufgabekurzbevor.

Dohwelhesdieser beidenEreignissewerdenwirfrüherfeiernkönnen? Fallen

diese Ereignissevielleihtsogarzusammen?

Hinweis: Wir stellen inder Regelinjedem Heftsieben NeueAufgaben. Zusatzfragefür

Zusatzpunkte:Waresimmerso,dassproHeftsiebenNeueAufgabengestelltwurden?(MG)

Lösung:

DieHefteersheinenalledreiMonate.Daherlässtsihberehnen,dassHeft100

im Dezember2009ersheinenwird.

ImletztenHefthabenwirdieAufgabe959gestellt.Darauslässtsihwiederum

hohrehnen,dassbeisiebenAufgabenproHeftimJubiläumsheftdieAufgaben

981 bis 987 gestellt werden. Das Jubiläum wird erst später gefeiert werden

können,nämlihimHeft102imJuni2010.

Zur Zusatzaufgabe:Da

7 · 100 = 700 < 987

^{ist, müssen in früheren Heften}

shon mehralsnur siebenAufgaben gestelltwordensein.

Simone geht auf Entdekungsreise durh die Welt der Zahlen. Ihr hat es die

magisheSieben angetan.Sieentdekt:

1 = 77 : 77 2 = 7 : 7 + 7 : 7 3 = (7 + 7 + 7) : 7

JetztsuhtsienatürlihandereZahlen,dieebenfallsnurmitHilfevongenauvier

Siebenen,Rehenzeihen

+

^,

−

^,

·

^,

:

^undKlammemdargestelltwerdenkönnen.

StelledieZahlen

4

^bis

10

^{sodar! (WK)}

Lösung:

EsgiltzumBeispiel

4 = 77 : 7 − 7 5 = 7 − (7 + 7) : 7 6 = (7 · 7 − 7) : 7 7 = (7 − 7) · 7 + 7 8 = (7 · 7 + 7) : 7 9 = 7 + (7 + 7) : 7 10 = (77 − 7) : 7

Wielang ist dasShi,wiealtder Kapitän?

Seeleuteverbringen vielZeit auf hoherSee,und da kommtes shon malvor,

dasssihdieLeutegegenseitigkleineRätselaufgeben.EinjungerMatrosewill

vonseinemKapitänwissen,wielangeigentlihihrShiist.DerKapitäntestet

seinenMitarbeitereinwenigundsagt:IhhabenihtwenigeralsdreiKinder.

DerenAltersuntershiedistjeweilsgenauzweiJahre.WennmandieAlterszahlen

meiner Kinder multipliziert, so kommt mein Alter heraus und das Shi ist

fünfmal solang, wieihalt bin. Jetzt kannder Matroseberehnen,wielang

dasShiist,und erweiÿsogar,wiealt derKapitänist. (WK)

Lösung:

Wirgehenmaldavonaus,dassder KapitänjüngeralsdasRentenalter,also65

oder 67,undälter als20 Jahreist. Überseine Kinderwissenwir,dass der Al-

tersuntershiedimmergenau2Jahrebeträgt.Wirtestenjetztallerealistishen

Möglihkeiten,ausgehendvomAlterdesjüngstenKindes:

AlterderKinder AlterdesKapitäns

1;3;5

15

^(zujung)

2;4;6

48

3;5;7

105

^(zualt)

mindestens1,3,5und7JahrealtundderKapitändahermindestens105Jahre.

Dasistbereitszualt.

Wirsehen,dassdieeinzige realistisheLösung vorliegt,wennder Kapitändrei

Kinderhat unddiese2,4und 6Jahrealtsind.DannistderKapitän 48Jahre

altunddasShi

48 · 5 = 240

^mlang.

Staatsagge

IneinemneugegründetenStaatsolldieneueStaatsaggeausdreihorizontalen

Streifen bestehen,wobei natürlihbenahbarte Streifenniht gleihfarbigsein

dürfen.FürdieStreifenstehensehsFarben zurAuswahl.

Wie vielevershiedeneFlaggensindmöglih? (H.F.)

Lösung:

Da bei Staatsaggen die Reihenfolge der Farben wesentlih ist, werden zwei

gleihfarbigeFlaggen,beidenender obereStreifendereinen Flaggefarbgleih

mitdemunterenStreifender anderenFlaggeist,alsvershiedenbetrahtet.

DiedreiStreifenseienvershieden farbig.

Dann gibt es für einen Streifen

6

^{, für einen anderen Streifen}

5

^{und für den}

drittenStreifen

4

Wahlmöglihkeiten.Deshalbsind

6 · 5 · 4 = 120

vershiedene Flaggenmöglih.

Nunseien derobereundder untereStreifenvongleiherFarbe.

DanngibtesfürdenmittlerenStreifen

6

Wahlmöglihkeitenundfürdiebeiden äuÿeren Streifen

5

Wahlmöglihkeiten. In diesem Fall sind daher

6 · 5 = 30

vershiedeneFlaggenmöglih.

Insgesamtgibtes

30 + 120 = 150

^möglihevershiedeneFlaggen.

Rehtek-Zerlegung

Zerlege dasRehtek,dessenSeiten 43mund611mlangsind,in möglihst

wenigeQuadrate. (H.F.)

Lösung:

Q a

^{bezeihneeinQuadratmitden}Seitenlängen

a

^m,

R

^{dasgegebeneReht-}

ek.WirzerlegendasRehteknun,indemwirjeweilsdasgröÿtmögliheQua-

drat (aneinem Rand!)konstruieren. Es istklar, dass dadurhdie Anzahl der

Quadrateminimiertwird.

. . . Q ₄₃ ... Q ₄₃

Q 9

Q ₉

Q ₇

Esist:

611 = 14 · 43 + 9 = ⇒ R

^{enthält14Quadrate}

Q 43

^,

43 = 4 · 9 + 7 = ⇒ R

^{enthältvierQuadrate}

Q 9

^,

9 = 1 · 7 + 2 = ⇒ R

^{enthälteinQuadrat}

Q 7

^,

7 = 3 · 2 + 1 = ⇒ R

^{enthältdreiQuadrate}

Q 2

^,

2 = 2 · 1 = ⇒ R

^{enthältzweiQuadrate}

Q 1 .

Damitist

R

ⁱⁿ

14 + 4 + 1 + 3 + 2 = 24

^{Quadratezerteilt.}

DenKennernunterEuhwirdsiheraufgefallensein,dasssihhinterderobigen

Berehnung der Euklidishe

∗

Algorithmus verstekt, der zur Berehnung des

gröÿtengemeinsamenTeilersdient.Hierist

ggT(611, 43) = 1

^.

(H.F.,MG)

Finanzkrise

Jetzt wird es politish... Euh dürfte aus den Nahrihten niht entgangen

sein,dassüberalldieRedevoneinerweltumspannendenFinanz- oderBanken-

krise ist. Um noh gröÿeren Shaden zu vermeiden, hat die Bundesregierung

am 13.Oktober2008 beshlossen, bis zu 480 Milliarden Euro für Hilfe zur

Verfügungzustellen.

a) DasGeld muss auh irgendwoherkommen und Geldbekommtder Staat

inersterLinievomSteuerzahler.AngenommendieHälfteallerinDeutsh-

landlebenden82MillionenEinwohnerzahlt Steuern:Wievielmuss jeder

einzelne Steuerzahler aufbringen, um die 480 Milliarden Euro bereit zu

halten?

b) Deutshe Jugendämter empfehlen für 13- bis 15-Jährige Tashengeld in

Höhevon20Euromonatlih.WielangemussElena,diesovielbekommt,

sparen,umdiesenPro-Kopf-Betragzusammenzuhaben?

) Ein100-Euro-SheinhatdieAbmessung

147 mm × 82 mm

^undist

0,11 mm

dik.Wie lang wäredieStreke,wenn die480MilliardenEuro in solhen

Sheinen(längs)aneinandergelegtwürden(vergleihedieLängemitdem

Erdumfang)beziehungsweisewiehoh wäreeinStapelaussolhenShei-

nenübereinander?

d) EinBankmanager,JosefAkermann,verdiente 14MillionenEuro imJahr

2007

∗∗

,einausgelernterBankangestellternahTarifvertragrund2000Euro

monatlih(brutto). Wie langemussein solherarbeiten,damit ersoviel

Geldbekommt,wieseinobersterChefin einemMonat?Wasfällt Dir an

dieserZahlauf?

e) EinZinssatzvon1%istsehrgering.WievielZinsenwürdederBankmana-

gerproTagbekommen,wennerseinGeldtrotzdemzudiesemProzentsatz

∗

Euklid (

Eυκλειδης

^{), * um 365 v. Chr.vermutlih in Alexandria oder Athen,}

†

^a.

300v.Chr.;griehisher Mathematiker.Erstellte inseinemWerkDieElemente das

mathematisheWissenseinerZeitzusammen.

∗∗

vgl.VorstandshefAkermannverdiente14MillionenEuro;In:MitteldeutsheZeitung,

26.März2008.

leinstehendePerson(Single)351EuroimMonat.) (MG)

Lösung:

a)

480 · 10 ⁹ : ^{82 ·} ₂ ^{10 6} ≈ 11707,32

^.JederSteuerzahlermussetwa12000

e

auf- bringen.

b)

11707 e : 20 _Monat ^e ≈ 585 Monate

^{. Elena muss 585 MonateTashengeld}

sparen,dassindfast49Jahre!

) Für 480Milliarden Eurowerden4,80MilliardenSheine zu 100Eurobe-

nötigt.AneinandergelegtergibtsiheineStrekevon

4,8 · 10 ⁹ · 147 mm = 7,056 · 10 ¹¹ mm = 705600 km

^,wasetwadem

17,6

^-fahendesErdäquators (40075km) entspriht. Übereinander ergibt sih ein gigantisher Stapel

von

4,8 · 10 ⁹ · 0,11 mm = 528 · 10 ⁶ mm = 528 km

^{Höhe,was etwa dem}

59,7

^{-fahenderHöhedesMountEverest (8848m)entspriht.}

d)

14 · 10 ⁶ e

12 : 2000 e ≈ 583,3

^.EinausgelernterBankangestelltermussalsoüber 583Monatearbeiten,dassindüber48Jahre.DaabereinBankangestellter,

biserausgelernthat,shondeutlihüber20Jahrealtist,kannerbiszum

Rentenaltergarnihtsolangearbeiten.

e) Erbekäme

14 · 10 ⁶ e · 0,01 · ₃₆₀ ¹ ≈ 388,89 e

,alsojedenTagmehr, alsein Hartz-IV-EmpfängerimganzenMonatalsRegelsatzerhält!

Mittelwertfolgen

Katrin ist begeisterte Knoblerin undangesporntvom Artikel Papposund die

Mittelwerte aus MONOID 94 entwikeltsie eine Zahlenfolge: Sie beginntmit

denZahlen

1

^,

5

^{undjedefolgendeZahlisthalbsogroÿwieihrVorgängerund}

ihr Nahfolgerzusammen(arithmetishesMittel!).

a) Wieheiÿendienähstenfünf ZahlenvonKatrinsFolge?

b) Welhesistdie

96

^{.ZahlderFolge?}

) GehörendieZahlen

97

^und

2009

^{zuKatrinsFolge?}

d) Da Katrin es sehr anstrengend ndet, alle Folgenglieder ausrehnen zu

müssen,umirgend einspätesFolgenglied bestimmenzukönnen,möhte

sieeineexpliziteFormelherleiten,mit dersiedirektdas

n

^-teFolgenglied, mit

n ∈

^{N,berehnenkann.Nahkurzer Überlegungndet sieauh eine}

solheFormel.Wie lautetdiese?

e) WelhesPhänomentrittauf,wennKatrinnihtjedefolgendeZahlisthalb

sogroÿwieihrVorgängerundihrNahfolgerzusammen festgelegthätte,

sondern jede folgende Zahl ist halb so groÿ wie ihre beiden Vorgänger

zusammen? (MG)

Lösung:

a) DienähstenfünfFolgengliedersind

9

^,

13

^,

17

^,

21

^,

25

^.

weilsum

4

^{gröÿerist,alsseinVorgänger.DannwäredieexpliziteFolgen-}

vorshrift:

a n = 4(n − 1) + 1 = 4n − 3

^.

Diese Formelkönnenwir beweisen,denn ausder Bildungsvorshrift

a n =

a n − 1 +a n+1

2

^folgt

2a n = a n − 1 + a n+1

^unddaraus

a n+1 − a n = a n − a n − 1

^,das

heiÿtdieDierenzjezweierFolgengliederistkonstantvonAnfangan,also

gleih

4

^(sieheTeil

a)

^).

SomitgiltdieBildungsvorshrift

a n+1 = a n + 4

^füralle

n ∈

^Nmit

a 1 = 1

^.

Insgesamtgiltdamit

a n = a 1 + 4(n − 1) = 1 + 4n − 4 = 4n − 3

^.

b) MitdieserFormelkönnenwirsehrleihtdieübrigenFolgengliederbereh-

nen.Soist

a 96 = 4(96 − 1) + 1 = 381

^.

) Da

97 = 96 + 1 = 4 · 24 + 1

^gilt,ist

97

^das

25

^.Folgengliedundanalogist wegen

2009 = 2008 + 1 = 4 · 502 + 1

^das

503

^.Folgenglied.

e) Wärejedefolgende Zahlisthalb so groÿ wieihre beiden Vorgängerzu-

sammen, also

a n+1 = ^{a n − 1} ₂ ^{+a n}

^{, so würden die} Folgenglieder sih immer weitereinanderannähern,da

a n+1 − a n = ¹ ₂ (a n − 1 − a n )

^{und amEndeum}

einenfestenWertliegen,indiesem Falletwa

3,666

^.Mathematikersagen, dieFolgekonvergiert.

BislanggröÿtePrimzahlen gefunden Teil1

WieIhrimArtikelBislanggröÿtePrimzahlengefunden vonUlrikeMüllerlesen

könnt, wurden vor Kurzem zwei neue, sehr groÿe Primzahlen entdekt, bei

denenes sihumsogenannteMersenne-Primzahlenhandelt.

a) DiedamitgröÿtebislangbekanntePrimzahlistdie45.Mersenne-Primzahl.

AufeineSeiteineinemMonoid-Heftpassen(beinormalemSatz)43Zeilen

mit65 Zeihen.WievieleSeiten werdenbenötigt, umdiekompletteZahl

mitallenZiernabzudruken?

b) IstdieMersenne-Zahlfür

n = 3

^und

n = 11

^{einePrimzahl?}

) IstdieMersenne-Zahlfür

n = 4

^{einePrimzahl?}

ZweiweitereAufgabenzudiesemThemandetIhrbeiderNeuenAufgabe953.

(MarelGrunerund UlrikeMüller)

Lösung:

a) AufeineSeitepassen

43 · 65 = 2795

^{Zeihen.Die45.}Mersenne-Primzahl hat 12978189 Stellen, also werden

12978189 : 2795 ≈ 4643,4

^Seiten

benötigtmehrals105Hefte(inderHand haltetIhrHeft 97).

b) DieZahl

2 ³ − 1 = 8 − 1 = 7

^{isteinePrimzahl.}

Esist

2 ¹¹ − 1 = 2048 − 1 = 2047 = 23 · 89

^{,alsoistdieZahlnihtprim.}

) Esist

2 ⁴ − 1 = 16 − 1 = 15 = 3 · 5

^{,alsoebenfallskeinePrimzahl.}

Für die jüngeren Shüler/innen derKlassen 57

Geburtstagsmathematik

BeieinemSpaziergangmitihremMannHans-Werner

letztesJahr(2008)stellteUtefest:MeineShwester

ist vomJahrgang '52und so alt binih jetzt.Meine

Shwesteristnun56JahrealtunddasistmeinJahr-

gang! Der Geburtsjahrgang bestehtaus den letzten

beiden ZierndesGeburtsjahres.

∗

∗

a) SiestelltsihnundieFrage:IstdasZufallodergibtesbeijedemPaarein

Jahr, in dem dieses Phänomen auftritt? Ihr Mann ein Mathematiker

stelltwildeTheorienauf.KannstDuihnenhelfen?WielautetdieAntwort

auf UtesFrage?

b) Ihre Töhter sind in den Jahren 1980 und 1983 geboren.Gibt es für die

beiden auh ein solhesJahr? Gibdas Jahran oder begründe, warumes

diesesnihtgibt.

) Ute und Hans-Werner stellen fest, dass es für sie auh ein solhes Jahr

gibt,nämlih 2009.InwelhemJahrwurde Hans-Wernergeboren? (MG)

Gröÿenvergleih

Die Seitenähen eines Quaders haben die Fläheninhalte

220 cm ²

^,

264 cm ²

und

270 cm ²

^{; die}Fläheninhalteder Seitenähen eines zweiten Quaders sind

176 cm ²

^,

198 cm ²

^und

450 cm ²

^.

WelherderQuaderhatdasgröÿereVolumenoderhabensieetwadasgleihe

Volumen? (H.F.)

Noheine Variante derGoldbah-Vermutung

∗∗

Jedenatürlihe Zahl

n > 5

^{istdieSummeauseinerPrimzahl undeinerNiht-}

primzahl.

(MalteMeyn,Kl.11,Ohm-Gymnasium,Erlangen)

∗

Füralle, diemitderShreibweisevertrautsind, dasselbenoh malmathematishfor-

muliert:DerJahrgang

j

^zumGeburtsjahr

J

^ist

J ≡ j mod 100

^mit

0 ≤ j ≤ 99

^.

∗∗

NahChristianGoldbah,*18.03.1690inKönigsberg,

†

^{20.11.1764inMoskau(inman-}

henQuellensteht01.12.1764inSt.Petersburg).SeineberühmteVermutungformulierte

er1742 ineinemBrief anLeonhard Euler.Diesebesagt:Jede geradenatürlihe Zahl

lässtsihalsSummezweierPrimzahlenshreiben.BisheuteistdiesnureineVermutung

undnohnihtbewiesenoderwiderlegt!

Uwes Uhrgeht

2 ¹ ₂

^{-malsoshnell,wiesiesollte.Erstellt}

sieumMitternaht.WannhatsiezumerstenMalwieder

dierihtigeZeigerstellung? (WJB)

NohmehrFlaggen

EinVerbandvonVereinenoderStaaten

usw. beshlieÿt, dass jedes seiner Mit-

gliedereineFlaggemitdreiStreifenha-

ben soll. Alle Flaggen sollen längstge-

streiftseinundjeweilsdreivershiedene

der vier Farben rot, shwarz, gelbund

weiÿtragen.

a) Ist es mit dieser Vorshriftmöglih,alle derzeitigen Mitglieder der Euro-

päishenUnionmitvershiedenenFlaggenauszurüsten?

b) Wie viele vershiedene Flaggen sind möglih, wenn wir lediglih gleihe

FarbebenahbarterStreifenverbieten?

) WievieleMöglihkeitengibtes,wenndieFahnen

m

vershiedeneStreifen aus

n

verfügbaren Farbenhabensollen?

d) WievielevershiedeneFahnensindmöglih,wennwir(wieinTeilb)Farb-

wiederholungenzulassen,abernihtgleiheFarbeaufbenahbartenStrei-

fen? (WJB)

Einerzier

Ulrikebeshäftigt sihgerne mitZahlentheorie. So forsht sieim Bereih der

Zahlen und geht auh der Frage nah: Welhe Einerzier haben die Zahlen

k ²⁰⁰⁹

^{fürganzeZahlen}

k

^?

Siemahtdabei auhtatsähliheineinteressanteEntdekung... (MG)

Ungleihungen amDreiek

Zeige:DieLängeeinerDreieksseiteiststetskleineralsderhalbeDreieksum-

fang.

Hinweis:VersuheesmalmitdersogenanntenDreieksungleihung:DieLängenzweierDrei-

eksseitensindzusammenstetsgröÿeralsdieLängederdrittenSeitedesDreieks. (H.F.)

WeitereMathespielereienndet ihrauf dervorherigenSeite!

Klassen 813

Aufgabe960:ProfessorAltermannundalte Hölzhen

Prof.Altermann istArhäologe.BeiAusgrabungen ndeterein Kästhenmit

Hölzhen paarweise vershiedener Längen. Er stellt fest, dass das kürzeste

Hölzhen eineLänge

a 1

^{hat unddasjeweils}nähstlängereHölzhen sihvom vorhergehenden jeweils um eine feste Längendierenz

d

untersheidet, also

a 2 = a 1 + d

^,

a 3 = a 2 + d

^,...

Prof. Altermann und seine Mitarbeiter vermuten, dass mit diesen Hölzhen

früher Längen von Streken gemessen wurden. Auÿerdem bemerken sie, dass

a 1 + a 2

^dieLänge

13

^ergibtund

a 4 + a 5 + a 6 + a 7

^dieLänge

74

^.

a) Wielangistdas

n

^{-te Hölzhen?}

b) WelheHölzhenmüssenkombiniertwerden,umdieLängen

67

^und

2

^zu

erhalten? (MG)

Aufgabe961:Zahlendreieke

a) Ergänzedas folgendeDreiek so, dass jeweilsin der nahfolgenden Zeile

dieSummezweierbenahbarterZahlender vorausgehendenZeilesteht.

x x 7 x 3

8 x x x

x x 22

x x

92

b) Dieses Dreiek hat die Seitenlänge 5, und es sind 5 Zahlen vorgegeben.

Lässt sih jedes Dreiek rihtig ergänzen, wenn Seitenlänge und Anzahl

der vorgegebenenZahlenübereinstimmen?

) WennsiheinDreiekergänzenlässt,gibtesdannimmernureinemöglihe

Ergänzung? (WJB)

Aufgabe962:Galileis Gleihungskette

GalileoGalilei(15641642)Physiker,AstronomundMathematikerbehaup-

tetedieGültigkeitderfolgendenbemerkenswertenunendlihlangenGleihungs-

kette:

1

3 = 1 + 3

5 + 7 = 1 + 3 + 5

7 + 9 + 11 = 1 + 3 + 5 + 7 9 + 11 + 13 + 15 = ...

Findeeinen Beweisdafür! (H.F.)