iezi he de

I na ug ur al -D is s er t a tio n

zur

Erlangung desDoktorgrades

derMathematish-Naturwissenshaftlihen Fakultät

derUniversität zuKöln

vorgelegtvon

KatjaShmid-Raush

ausFriedrihshafen

Köln 2008

Berihterstatter:

Prof. Dr. L.Bohat´y

Prof. Dr. M.Mühlberg

Tag der mündlihen Prüfung: 24. Juni 2008

1 Einleitung 5

2 Theoretishe Grundlagen 9

2.1 Elektrooptisher Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Piezooptisher Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Rotooptisher Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Elastisher Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Experimenteller Teil 17 3.1 Statishe Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Methode vonPokels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Methode der lokalisiertenInterferenzringe . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Die dynamishe Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Messgleihungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Aufbauder dynamishen Messapparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Funktionsweise der Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.2 Tehnishe Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Dynamishe Drukzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5.1 Aufbauder Drukzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5.2 Drukverhalten der Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Datenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7 Versuhsdurhführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8 Messempndlihkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9 Testmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.9.1 Piezooptishe Konstanten vonKaliumhlorid . . . . . . . . . . . . . 30

3.9.2 Piezooptishe Konstanten vonCaliumuorid . . . . . . . . . . . . 31

3.10 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.11 Ausblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Substanzgruppe: Borate 35 4.1 DilithiumtetraboratLi2^B4^O7 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35}

4.1.1 Bestimmung der piezooptishen Konstanten von Li2^B4^O7 ^{. . . . . . 36}

4.1.2 Der piezooptishe Eekt vonLi2^B4^O7 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 42}

4.1.3 Bestimmung der elastooptishen Konstanten von Li2^B4^O7 ^{. . . . . . 45}

4.1.4 Der elastooptishe Eekt vonLi2^B4^O7 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . 46}

4.1.5 Auswirkungen des elastooptishen Eekts auf den

elastooptish-elektrostriktiven Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Bleitetraborat PbB4^O7 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52}

4.2.1 Piezooptishe Untersuhungen an PbB4^O7 ^{. . . . . . . . . . . . . . 52}

4.2.2 Drukabhängiger Ladungseekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.3 Der elastooptishe Eekt vonPbB4^O7 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . 58}

4.3 Bismuttriborat BiB3^O6 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61}

4.3.1 Bestimmung der piezooptishen Konstanten von BiB3^O6 ^{. . . . . . 62}

4.3.2 Das Gleihungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.3 Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.4 Der elastooptishe Eekt vonBiB3^O6 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 74}

4.4 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Zusammenfassung 79 A Bezugssysteme und Symbole 83 B Experimenteller Anhang: Elektrooptik 85 B.1 Messmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B.2 Messgleihung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

B.3 Aufbauder Apparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B.3.1 Messzelle fürdie longitudinaleMessanordnung . . . . . . . . . . . . 89

B.3.2 Messzelle fürdie transversale Messanordnung . . . . . . . . . . . . 90

B.4 Testmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.4.1 Elektrooptishe Messungen anKaliumdihydrogenphosphat . . . . . 92

B.4.2 Elektrooptishe Messungen anLithiumniobat . . . . . . . . . . . . 97

B.5 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

C Programm zur Berehnung der Messgleihungen 109 D Messgleihungen von BiB3^O6 ¹¹⁹ D.1 Messgleihungen - kristallphysikalishesSystem . . . . . . . . . . . . . . . 119

D.1.1 Präparatim kristallphysikalishen Hauptshnitt . . . . . . . . . . . 120

D.1.2 Präparate im45 ◦ -Shnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

D.2 Gleihungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Literaturverzeihnis 134

Danksagung 143

Kurzzusammenfassung 145

Abstrat 147

Erklärung 149

Einleitung

Tensor: Zustände,die durh eineZahlengrösseund einezweiseitige Rihtung

harakterisiertsind,dabeideutenwirdurhdenZusatzzweiseitig`an,dassdie

beidenSeitenjener Rihtungeinander gleihwerthigsind.Einsolher Zustand

lässt sih durh eine Streke veranshaulihen, die von einem festen Punkte,

z.B. dem Coordinatenanfang, aus gleih weit nah beiden Seiten reiht...Wir

wollen uns deshalb nur darauf stürtzen, dass Zustände der geshilderten Art

bei Spannungen und Dehnungen niht starrer Körper auftreten, und sie des-

halbtensorielle, diefürsieharakteristishen physikalishen Grössenaber

Tensoren nennen.

MitdiesenWortenführte1898WoldemarVoigt[Vo1898℄denBegrides Tensorsinseiner

heutigen Bedeutung ein. Das WortTensorleitet sihvomlateinishen tendo -ihspanne

ab.SowirdmitdererstmaligenBezeihnungdes TensorsimweiterenTextvonWoldemar

Voigt auh gleih der Spannungstensor eingeführt ein Ausdruk für die groÿe Bedeu-

tung der Spannung und der Dehnung bei der Betrahtung kristallinerEigenshaften von

Materialien. Diesem Thema widmete sih Voigt bereits bei seiner Dissertation über die

BestimmungderelastishenKonstanten vonSteinsalzundbehieltdiese Vorliebewährend

seines weiteren wissenshaftlihen Lebens bei [Fö1951, Vo1928℄.

WährendVoigt1898nohklarVektorenvonTensoren untershied, fälltdieseUntershei-

dung heutzutage weg. Der Tensor wird nun über sein Transformationsverhalten deniert

[Ha1983℄: Gesamtheiten,derenKomponententijk···s ^{sihbeimWehseldes}Bezugssystems wie dieentsprehenden Koordinatenpunkte transformieren,sind Tensoren. Diesema-

thematishklareDenitionerlaubtes, beliebige(multi)lineareZusammenhängezwishen

induzierenden und induzierten Gröÿenzu beshreiben. Tensoren werden imAllgemeinen

in Stufen eingeteilt und entsprehend ihrer Stufe mit einer Anzahl von Indizes versehen

(1.Stufe einIndex,2.Stufe zwei Indizes,3.Stufe drei Indizesusw.). Beider Betrahtung

kristallphysikalisherEigenshaften arbeitet maninder Regel mitden Tensoren ineinem

kartesishen Bezugssystem.Skalare,d.h.ungerihteteGröÿen,wiebeispielsweise dieTem-

peraturT,werdenTensoren nullterStufegenannt.Gerihtete Gröÿenwieder elektrishen

Polarisation[Pi^{℄,d.h. Vektoren,sind Tensoren erster Stufe. Mit3}1

Koezienten wird der

Tensor erster Stufe im dreidimensionalen Raum vollständig beshrieben. Tensoren zwei-

ter Stufekönnen alslineareOperatoren einer linearenVektorfunktionbetrahtet werden.

Wirkt beispielsweise auf eine gegebene Flähe eine Kraft ein, wird dies mit dem Span-

nungstensor[σij^℄beshrieben.DerersteIndex,i,gibtdieRihtungdereinwirkendenKraft an, der zweite Index, j, gibt dieRihtung der Normalen der betrahteten Flähe an. Mit

3

2

Koezienten wird der Tensor zweiter Stufe vollständig beshrieben. Zu einem Tensor

dritter Stufe kann man mittels Verknüpfung eines Tensors erster Stufe miteinem Tensor

zweiter Stufe gelangen. Im Falle des Spannungstensors erhalten wir durh Verknüpfung

mitdemTensorderelektrishenPolarisationdenpiezoelektrishenTensor[dijk^℄mitseinen

3

3

Koezienten. Der Index i gibt hierbei die Rihtung der elektrishen Polarisation, die

Indizes jk werden durh die beteiligten Koezienten des Spannungstensors beshrieben.

Je nah Zusammenspiel der physikalishen Gröÿen lassen sih alle Tensoren im kristall-

physikalishen und ebenso kristalloptishenSinne beshreiben.

DieSymmetriedesMaterialsspieltdabeieinefundamentaleRolle.Siebestimmtnihtnur

dieAnzahlder unabhängigen Tensorkomponenten, sielässtgegebenenfallseinephysikali-

she Eigenshaft erst gar niht zu. Dieses Zusammenspiel der Symmetrie und der Eigen-

shaften eines Kristalls wird durh das Neumannshe Prinzip beshrieben [Ha1983℄:

Die räumlihe Symmetrie der Eigenshaften kann niht geringer sein als die struktu-

relle Symmetrie des Kristalls. Während Tensoren ungerader Stufe nur in azentrishen

Medien vorkommen können, sind Tensoren gerader Stufe in allen Medien möglih. So

auh der piezooptishe Tensor [qijkl^{℄. Als Tensor vierter Stufe resultiert er aus der}

Tensorverknüpfungzweier Tensoren zweiter Stufe,dempolarisationsoptishenTensor [aij^℄

sowie dem Spannungstensor [σkl^{℄. Die ersten beiden Indizes, ij, ergeben sih durh den}

polarisationsoptishen Tensor, die beiden Indizes kl werden durh den Spannungstensor

beshrieben.DerpiezooptisheEektbeshreibtden Einuÿvonmehanisher Spannung

auf dieGeshwindigkeit, mitder sih das Lihtdurh einMedium bewegt.

Diese Eigenshaft kann u.a. zur Anwendung eines Materials als optisher Shalter ge-

nutzt werden, der die Funktion eines Druksensors übernimmt. Dabei wird ein mehani-

sher Druk optish detektiert. Ein Kristall, der hierbei Anwendung ndet, ist Silizium

[Ku1996℄. Materialien mit groÿen piezooptishen Eekten dienen auh als piezooptishe

Brehwertmodulatoren[Ke1969℄.DieKenntnisdespiezooptishenEekteseinesMaterials

istvongroÿerBedeutung,sobaldesineinerHalterungeingeklemmt,xiertodergespannt

wird. Durh äuÿere Einüsse (z.B. Temperatur, Shwingungen) kann der piezooptishe

Eekt zum Tragen kommen und andere Eekte stören. Eine Möglihkeit, den piezoop-

tishen Eekt in elektrooptishen Modulatoren zu minimieren wurde ebenso patentiert

[Ku1988℄. In dieser Arbeit werden die piezooptishen Konstanten vom tetragonalenDili-

thiumtetraborat,orthorhombishen Bleitetraboratsowie demmonoklinenBismuttriborat

bestimmtund diskutiert.Grund dafürist,dass alledrei azentrishen Borate interessante

Kandidatenfür nihtlinear optishe Applikationen sind.Die Kenntnis des piezooptishen

Tensors istnihtnurfürdieeben beshriebenen möglihenStöreinüssebeiihrerAnwen-

dung von Bedeutung. Die piezooptishen Konstanten ermöglihen auh den Zugang zu

anderen Tensoren, wie dem elastooptishen Tensor und damit ist dann die Bestimmung

des elastooptish-elektrostriktiven Anteils des spannungsfreien elektrooptishen Eektes

geshaen, welher zur Überprüfung theoretisher Modelle zum elektrooptishen Eekt

bau der dynamishen Apparatur zur Messung des piezooptishen Eektes. Nah der Be-

shreibung der Methode folgt der detailierte Aufbau der dynamishen Drukzelle sowie

des Jamin-Interferometers. Dieser experimentelle Teil shlieÿt mit piezooptishen Test-

messungenanKaliumhloridsowie Caliumuoridab.DasvierteKapitelhandeltvonden

o.g. azentrishen Boraten. Die piezooptishen Tensoren der drei Substanzen werden ex-

perimentellbestimmt.Aus den in dieserArbeit bestimmten piezooptishen Koezienten

und den elastishen -Tensoren werden die elastooptishen Tensoren von Dilithiumtetra-

borat, Bleitetraborat und Bismuttriborat berehnet. Die Kenntnis des elastooptishen

Tensors erönet den Zugang zum ionishen Beitragder elektrooptishen Konstanten r

ε ijk^.

AmBeispieldestetragonalenDilithiumtetraboratwerdendieeinzelnenBeiträgezumelek-

trooptishen Eektherausgearbeitet undgestattennundieÜberprüfungder Theoriez.B.

vonShih&Yariv[Sh1982℄.DerAnhangBumfasstebenfallseinenexperimentellenTeil.Er

handelt von elektrooptishen Messungen amMetripol Birefringene Imaging System mit

demZieleinAbbildder HomogenitätdesKristallsunter Einusseines elektrishenFeldes

zu erhalten. Diese Arbeiten wurden im Rahmen eines 3-monatigen DAAD-Stipendiums

bei Prof.M.A. Glazer inOxford durhgeführt.

Theoretishe Grundlagen

IndiesemKapitelwerdendiewihtigstendieserArbeitzuGrundeliegendenphysikalishen

Zusammenhänge kurz erläutert. Weiterführende und tiefergehende Einblike in die Kri-

stallphysik nden sih u.a. bei Haussühl[Ha1983℄ und Nye[Ny1995℄, in dieKristalloptik

beispielsweise bei Born [Bo1965℄, Yariv & Yeh [Ya2003℄ und Narasimhamurty [Na1981℄.

Der erste zusammenfassende Überblik erfolgte bereits 1906 durh Pokels[Po1906℄.

DieGrundlage derelektromagnetishen optishen TheoriebildendieMaxwell'shen Glei-

hungen. Zusätzlih werden die sogenannten Materialgleihungen benötigt, die das Ver-

haltenderMaterieaufgrundseinerStrukturbeiEinwirkeninduzierenderGröÿenbeshrei-

ben. In dieserArbeitwerden nurtransparente, homogene,unmagnetishe undisolierende

Kristalle untersuht, die eine dielektrishe Anisotropie aufweisen. Unter dieser Voraus-

setzung ergeben sih deren Materialeigenshaften durh die Wehselwirkung allein mit

dem elektrishen Anteil der aus den Maxwell'shen Gleihungen resultierende Lihtwel-

le. Diese Wehselwirkung lässt sih mit den für die folgenden Betrahtungen wihtigen

Materialgleihungenbeshreiben:

Di =ǫ0ǫ^r_ijEj ^und Ei = 1 ǫ0

aijDj ^(2.1)

[Di^℄ dielektrishe Vershiebung [Ej^℄ elektrishes Feld

[ǫ^r_ij^{℄ Tensorder relativen} Dielektrizitätskonstanten (Dielektrizitätstensor)

[a_ij^℄ Polarisationstensor (inverser Tensorder relativen Dielektrizitätskonstanten)

ǫ0 dielektrishe Vakuumkonstante, ǫ0 = 8,8542 10⁻¹²C/(Vm)

Die Symmetrie des Dielektrizitätstensors resultiert aus der Reversibilität der dielektri-

shenArbeitderelektromagnetishenLihtwelle.DerDielektrizitätstensorundsomitauh

der Polarisationstensor sind symmetrish.Durh dieVertaushbarkeitin den beiden Ind-

expositionen(Gleihung2.2)reduzierensihdieneunTensorkomponentenimallgemeinen

Fallauf sehs.

ǫ^r_ij =ǫ^r_ji ^(2.2)

SetztmanGleihung(2.1)indieGleihungderelektrishenEnergiedihteWel = 1/2 EiDi

ein und transformiert die normierte Gleihung auf die Hauptahsen (optishes Haupt-

system {~e_i^{◦}), so erhält man unter} Berüksihtigung der Symmetrie des dielektrishen

Tensors die Ellipsoidgleihung des Strahlenellipsiods, auh Fresnel'shes Ellipsoid ge-

nannt,unddieEllipsoidgleihungderIndikatrix,derTensorähedesPolarisationstensors.

InGleihung (2.3)istlinkerhanddas Strahlenellipsoidund rehterhand dieIndikatrixbe-

shrieben.

ǫ⁰_iix⁰_ix⁰_i = 1 ^und a⁰_iix⁰_ix⁰_i = 1 ^(2.3)

DieLängenderHalbahsendiesesFresnel'shesEllipsoidsbetragen

q1/ǫ⁰_ii^.DieHaupt-

ahsen der Indikatrix fallen mit den dielektrishen Ahsen des Kristalls zusammen. Die

LängenderHalbahsenderIndikatrixbetragen

qǫ⁰_ii^{und entsprehenden}Hauptbrehwer- ten n⁰_i^.

n_j

n_i*

* k

Abbildung 2.1: Shnittellipse der Indikatrix für den Wellennormalenvektor ~k ^{einer belie-}

bigen LihtwelleimKristall.

Die optishen Eigenshaften eines Mediums können durh den Polarisationstensor be-

shrieben werden. Abbildung [2.1℄ zeigt die Wellennormale ~k ^{einer Lihtwelle, für eine}

beliebige Rihtung im Kristall. Die Shnittkurve senkreht zur Wellennormalen wird als

Shnittellipse der Indikatrix bezeihnet (im Folgenden mit

∗

gekennzeihnet). Nah der

Fresnel'shen Gleihung resultieren für jede Wellennormalenrihtung zwei Brehwerte n^∗_i

und n^∗_j^{. Die Halbahsen der} Shnittellipse verlaufen parallel zu den in dieser Wellennor- malenrihtung möglihen Polarisationsrihtungen. Mittels einer Tensortransfomation des

Polarisationstensors [a^∗_ij^℄vomShnittellipsensystem indas Indikatrixsystem{~e_i^{◦} können}

die Änderungen der Phasengeshwindigkeiten ermittelt werden. In Gleihung (2.4) wird

die Beziehung des Polarisationstensors mit den Brehwerten beshrieben. Für a⁰_ij ^(mit a⁰_ij = 0 ^für i6= j^{) gilt:}

a⁰_ii= 1

ǫ^r0_ii = 1

(n⁰_i)^{2 (2.4)}

Das Einwirken äusserer Einüsse auf den Kristall induziert eine Änderung des Polarisa-

tionstensorsundsomitimAllgemeineneine ÄnderungderFormund derOrientierungder

Indikatrix. Für kristalloptishe Untersuhungen stellt die Indikatrix und im besonderen