f
aik

f

Edit-Distanz

JanisVoigtländer

TehnisheUniversitätDresden

Sommersemester 2007

Problemstellung

Formalisierung

Eziente Berehnung

Retraing

void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄;

do

{ while (a[i℄<x) i++;

while (a[j℄>x) j--;

...

void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄;

do

{ while (a[i℄<x) i++;

while (a[j℄>x) j--;

...

void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k;

i=L; j=R;

k=(L+R)/2; x=a[k℄;

do

{ while (a[i℄<x) i++;

while (a[j℄<x) j--;

...

void sort(int L,int R) | void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k; | { int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄; | i=L; j=R;

do | k=(L+R)/2; x=a[k℄;

{ while (a[i℄<x) i++; | do

while (a[j℄>x) j--; | { while (a[i℄<x) i++;

... | while (a[j℄<x) j--;

| ...

void sort(int L,int R) | void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k; | { int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄; | i=L; j=R;

do | k=(L+R)/2; x=a[k℄;

{ while (a[i℄<x) i++; | do

while (a[j℄>x) j--; | { while (a[i℄<x) i++;

... | while (a[j℄<x) j--;

| ...

void sort(int L,int R) | void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k; | { int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄; | i=L; j=R;

do | k=(L+R)/2; x=a[k℄;

{ while (a[i℄<x) i++; | do

while (a[j℄>x) j--; | { while (a[i℄<x) i++;

... | while (a[j℄<x) j--;

| ...

void sort(int L,int R) | void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k; | { int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄; | i=L; j=R;

do | k=(L+R)/2; x=a[k℄;

{ while (a[i℄<x) i++; | do

while (a[j℄>x) j--; | { while (a[i℄<x) i++;

... | while (a[j℄<x) j--;

| ...

Problem: Abder drittenZeile würdendie Dateienals komplett

vershiedeninterpretiert!

void sort(int L,int R) | void sort(int L,int R)

{ int i,j,w,x,k; | { int i,j,w,x,k;

i=L; j=R; k=(L+R)/2; x=a[k℄; | i=L; j=R;

do | k=(L+R)/2; x=a[k℄;

{ while (a[i℄<x) i++; | do

while (a[j℄>x) j--; | { while (a[i℄<x) i++;

... | while (a[j℄<x) j--;

| ...

Problem: Abder drittenZeile würdendie Dateienals komplett

vershiedeninterpretiert!

Ziel: intelligentererVergleih

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

◮

als mögliheVeränderungen nur Löshung,

Einfügung oderÄnderung einesZeihens

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

◮

als mögliheVeränderungen nur Löshung,

Einfügung oderÄnderung einesZeihens

◮

Anzahl solherOperationen alsVergleihsmaÿ

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

◮

als mögliheVeränderungen nur Löshung,

Einfügung oderÄnderung einesZeihens

◮

Anzahl solherOperationen alsVergleihsmaÿ

Beispiel: Eingabe abbba undabda

mögliheErklärungendes Untershieds:

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

◮

als mögliheVeränderungen nur Löshung,

Einfügung oderÄnderung einesZeihens

◮

Anzahl solherOperationen alsVergleihsmaÿ

Beispiel: Eingabe abbba undabda

mögliheErklärungendes Untershieds:

a b b b a

a b d a

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

◮

als mögliheVeränderungen nur Löshung,

Einfügung oderÄnderung einesZeihens

◮

Anzahl solherOperationen alsVergleihsmaÿ

Beispiel: Eingabe abbba undabda

mögliheErklärungendes Untershieds:

a b b b a

a b d a

a b b b a

a b d a

Abstraktion:

◮

ganzer Zeilen

◮

als mögliheVeränderungen nur Löshung,

Einfügung oderÄnderung einesZeihens

◮

Anzahl solherOperationen alsVergleihsmaÿ

Beispiel: Eingabe abbba undabda

mögliheErklärungendes Untershieds:

a b b b a

a b d a

a b b b a

a b d a

a b b b a

a b d a

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll 3 Fälle:

◮

· · ·

t[0℄

· · ·

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll 3 Fälle:

◮

· · ·

t[0℄

· · ·

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll 3 Fälle:

◮

· · ·

t[0℄

· · ·

◮

· · ·

· · ·

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll 3 Fälle:

◮

· · ·

t[0℄

· · ·

◮

· · ·

· · ·

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll 3 Fälle:

◮

· · ·

t[0℄

· · ·

◮

· · ·

· · ·

◮ · · ·

t[0℄

· · ·

Gegeben: har s[n℄, t[m℄;

Gesuht: Distanzd zwishens und tals minimaleAnzahlvon

Edit-Operationen

Idee: zunähstEntsheidung, ob s[0℄und t[0℄einander

gegenübergestellt,odereinesder beiden

gelösht/eingefügtwerdensoll 3 Fälle:

◮

· · ·

t[0℄

· · ·

◮

· · ·

· · ·

◮ · · ·

t[0℄

· · ·

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

◮ · · ·

t[j℄

· · ·

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

◮ · · ·

t[j℄

· · ·

1

+

,

+

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

◮ · · ·

t[j℄

· · ·

1

+

,

+

◮

s[i℄

· · ·

t[j℄

· · ·

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

◮ · · ·

t[j℄

· · ·

1

+

,

+

◮

s[i℄

· · ·

t[j℄

· · ·

d

i

+

,

+

wenn s[i℄==t[j℄

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

◮ · · ·

t[j℄

· · ·

1

+

,

+

◮

s[i℄

· · ·

t[j℄

· · ·

d

i

+

,

+

wenn s[i℄==t[j℄

1

+

+

,

+

sonst

Gesuht: allgemeinDistanz d

i

,

zwishen s[i℄...s[n-1℄und

t[j℄...t[m-1℄

Ansatz: Falluntersheidung (wie eben)ergibt:

◮

s[i℄

· · ·

· · ·

1

+

+

,

◮ · · ·

t[j℄

· · ·

1

+

,

+

◮

s[i℄

· · ·

t[j℄

· · ·

d

i

+

,

+

wenn s[i℄==t[j℄

1

+

+

,

+

sonst

Sonderfälle: i

=

=

Sonderfälle: i

=

=

◮

s[n℄...s[n-1℄

t[j℄...t[m-1℄

Sonderfälle: i

=

=

◮

...

t[j℄...t[m-1℄

m

−

Sonderfälle: i

=

=

◮

...

t[j℄...t[m-1℄

m

−

◮

t[m℄...t[m-1℄

Sonderfälle: i

=

=

◮

...

t[j℄...t[m-1℄

m

−

◮

...

n

−

Sonderfälle: i

=

=

◮

...

t[j℄...t[m-1℄

m

−

◮

...

n

−

Insgesamt:

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

1

+

{

+

,

;

,

+

;

+

,

+

}

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

}

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

=

{

+

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

=

{

+

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

= · · ·

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

=

{

+

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

= · · ·

Problem: mehrfahe Berehnung dergleihen Werte

Eingabe: s[0℄...s[6℄=abbba und t[0℄...t[4℄=abda

Berehnung:

d

0

,

=

{

+

,

;

+

,

;

,

}

=

{

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

+

,

;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

}

=

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

=

{

+

{

+

{

,

;

,

;

,

} ;

,

;

,

} ;

2

+

{

,

;

,

;

,

} ;

1

+

{

,

;

,

;

,

}}

= · · ·

Problem: mehrfahe Berehnung dergleihen Werte

Lösung: dynamisheProgrammierung

Idee:

◮

,

in Tabelle

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

b 5 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

4

b 5 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

3 4

b 5 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

2 3 4

b 5 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

1 2 3 4

b 5 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }

Idee:

◮

,

in Tabelle

◮

Berehnung in geeigneterReihenfolge

Beispiel:

a b b b a

a

2 1 2 3 4

b 5 4 3 2 2 1 2 3

d 6 5 4 3 2 1 1 2

a 6 5 4 3 2 1 0 1

7 6 5 4 3 2 1 0

d

i

,

=



 



 



m

−

=

n

−

=

min

{

+

+

,

;

+

,

+

;

+

,

+

}

+ { + ; + ; + + }