E

Analysis

Christoph Bok

Vorlesungen

ander

Friedrih-Alexander-Universität

Erlangen-Nürnberg

Version vom15.Dezember 2018

DieVorlesungen Elemente der Analysis I - III habe ih seit Beginn dieserDe-

kade jeweilszweimal anderUniversität Erlangen-Nürnberggelesen. DerHörer-

kreisbestand ausStudenten desniht-vertieften Lehramtes inBayern, unddie

Vorlesungen waren auf die Anforderungen derentsprehenden Staatsexamens-

prüfungeninMathematikinBayernzugeshnitten.

Der wesentlihe Untershied zu einer Vorlesungsreihe, die ih für Studen-

tenmit Studienziel Diplom(bzw. neuerdingsBaalaureus) oderdesvertieften

Lehramtes gehaltenhätte, fürwelhederLehrplanimersten unddrittenSeme-

stereineSemesterwohenstundemehrvorsieht,bestehtzumeinendarin,daÿih

sämtlihe Beweise 1

vorgeführt welhes aus Zeitgründen niht möglih war

undzumanderenimKapitelüberTopologievonallgemeinentopologishenRäu-

men anstelle von

R ⁿ

^{, im Kapitel über} mehrdimensionale Dierentialrehnung auh über Untermannigfaltigkeiten gesprohen sowie einKapitel über mehrdi-

mensionale Integration nah Lebesgue studiert hätte. Dafür wäre die Theorie

dergewöhnlihen Dierentialgleihungen knapperbehandelt worden.

Einursprünglih vonmirimdrittenTeilderVorlesungeingeplantes Kapitel

überdas mehrdimensionale Riemann-Integral 2

habe ih niht inder Vorlesung

besprohen. Das vorliegende Skript shlieÿtdiese Lüke. Die Tatsahe, daÿ ih

dieIntegrationim

R ⁿ

^{nahRiemannanstattnahLebesguevorführenwollte,ist}

dem Hörerkreis der Vorlesung geshuldet. Die Vorlesung Elemente der Analy-

sisIII stelltfür Studentendesniht-vertieftenLehramteseinsog.Aufbaumodul

dar, und ih hatte mih entshieden, eine Integrationstheorie zu präsentieren,

dietatsählih aufdemineiner DimensiondiskutiertenIntegralbegriaufbaut.

DiemehrdimensionaleIntegrationistjedohmittlerweilefür dieStaatsexamen-

sprüfung der Studenten des niht-vertieften Lehramtes in Bayern niht mehr

relevant.Vor dieWahlgestellt, entweder ausführlih überdieTopologiedes

R ⁿ

zusprehen,odervon letztererund dermehrdimensionalen Integrationstheorie

jeweilsnur einenAbriÿ zugeben, habe ih ersterenStandpunkt eingenommen.

Ebenfalls niht in der Vorlesung vorgetragen habe ih aus Zeitmangel den

Abshnitt über Mähtigkeiten von Mengen im Kapitel über die reellen Zahlen

unddasKapitelüberkomplexeZahlen,daesinderparallelgelesenenVorlesung

überLineare Algebra zumStandard gehört.

DenAnhang habeihinderVorlesungvollständig ausgespart.

Bei der Ausarbeitung der Vorlesungen habe ih mih eng an [5 ℄ 3

und den

Vorlesungen AnalysisI - III [10℄,die ihbeimeinem späterenDiplomvater W.

HenkevomWS1997/98biszumWS1998/99anderUniversitätzuKölngehört

habe,aberauhdenSkriptenElemente derAnalysisI -IV zudenVorlesungen

1

mitAusnahmedesZusatzeszuSatz2.55undSatz2.63

2

AlsLiteraturzurRiemannshenIntegrationempfehleihF.ErwesBuh[8℄.

3

Dieses Buhgefälltmirbesondersgut,undihempfehle esjedemHörereinerVorlesung

überAnalysisalsLektüre.DieursprünglihgeplantenfortführendenTeileIIundIIIsindleider

niepubliziertworden.

ZurLiteraturüberAnalysisistdes weiterenzusagen,daÿesvieleguteBüher zudiesem

Themagibt.JederStudentsollteselbereinmalinderBibliothekguken,welhesihmzusagt.

Neben[5 ℄und[8℄habeiheineVorliebefür[11 ℄,dadiesesBuhnebenderTheorieauheine

groÿeAnzahlanHintergrundinformationenenthält.

zum WS2007/08 an derUniversität Erlangen-Nürnberg gelesen hat, sowie [8℄

orientiert. Anhang A istim wesentlihen [13 ℄entnommen.

Abshlieÿend möhte ih anmerken, daÿ sih das vorliegende Skript in der

Reihenfolge(unddamitinderNumerierung)dereinzelnenDenitionenundRe-

sultateaneinigenStellenvonmeinemVortragindenVorlesungenuntersheidet.

Auÿerdem habe ih einige meinen Vorlesungsvortrag verallgemeinernde Resul-

tatehinzugefügt zusätzlihzu den obenbereitserwähnten Ergänzungen.

Das hier dargebotene Material ist zum Nahlesen und zur Vertiefung des

Stoesfür die Hörer des (niht notwendigerweise beimir gehörten) o.g. Vorle-

sungszyklusgedaht.

FürHinweiseaufFehler,KritikoderLobbinihdankbar.Kontaktenkönnen

SiemihperE-Mail anbok at mi.uni-erlangen.de.

Ih sollte an dieser Stelle anmerken, daÿ das vorliegende Skriptum niht

gegengelesenwurde.Ihkannnihtausshlieÿen,daÿsihbeimÜbertragmeiner

handshriftlihen Notizenaufdiefolgenden SeitenFehler eingeshlihen haben.

IhentdekebeijederDurhsihtkleinereUngenauigkeitensprihFehler.Aber

auh diessolltefürdenLeserlehrend sein:Niht sämtlihe Resultate,dieinder

Literaturegal,obSkriptumoderBuhangegebensind,sindwahr.DerLeser

solltesihvon jedem Beweis selbst überzeugen.

Erlangen,im Juni2014

C€hrist‚oph Bok

1 Grundlagen 1

2 Der Körper

R

^{der reellen Zahlen 8}

3 Der Körper

C

^{der komplexen Zahlen 39}

4 Konvergenz von Folgen und Reihen 45

5 Stetigkeit 76

6 Dierentialrehnung 85

7 Elementare Funktionen 104

8 Riemannshe Integration 122

9 Grundlagen der Topologie 152

10Dierentialrehnung in endlih-dimensionalen Räumen 179

11Länge und Riemannshe Integration von Wegen in

endlih-dimensionalen Räumen 231

12Riemannshe Integration im

R ⁿ

²³⁹

13Gewöhnlihe Dierentialgleihungen 289

A Der Körper

‡

R

^der hyperreellen Zahlen 290

B Multilineare Algebra: Tensorprodukte 302

Literatur 309

Index 310

In der Mathematik beshäftigen wir uns mit Aussagen über mathematishe

Objekte.

Denition1.1(Aussagen,Axiome). EineAussage isteinsprahlihundgram-

matish rihtiger Ausdruk, dem eindeutigein Wahrheitswert entweder wahr

(w)oderfalsh(f) zugeordnet ist.

Ein Axiom isteine Aussage,die wirohneBegründung als wahr betrahten.

Beispiel.

1.)

13

^{ist einePrimzahl. Aussage,w}

2.)

13

^{ist eineGlükszahl. keine Aussage}

3.) º

2

^{ist rational. Aussage,f}

4.) Inunserem Milhstraÿensystemgibt esweiteresLeben.Aussage,woderf

Denition 1.2 (Logishe Verknüpfung von Aussagenzu neuen Aussagen). Es

seien

A

^und

B

^{Aussagen.Wirdenieren dannneue Aussagennon}

A

^(i.Z.

A

^),

A

^und

B

^(i.Z.

A

^,

B

^),

A

^oder

B

^(i.Z.

A

^-

B

^),entweder

A

^oder

B

^(i.Z.

A

^/

B

^),

aus

A

^folgt

B

^(i.Z.

A

B

^{) und}

A

^{ist äquivalent zu}

B

^(i.Z.

A

B

^{) durh}

diefolgenden Wahrheitswertetafeln:

(i)

A A

w f

f w

(ii)

A B A

^,

B A

^-

B A

^/

B A

B A

B

w w w w f w w

w f f w w f f

f w f w w w f

f f f f f w w

Bemerkung.

1.) Im UntershiedzurUmgangssprahe ist für unsalso aus

A

^folgt

B

^insbe-

sondere immerdann wahr,wenn

A

^{falshist,(egal ob}

B

^{wahr oderfalsh}

ist).

Beispiel.

1.) Wenn morgen dieSonne sheint, gehen wirshwimmen.

Sollte es morgen regnen, so habe ih mein Versprehen gehalten,

gleihgültig, ob wirshwimmen gehenoderniht.

2.)

5

2 1

^Ô

4

^{ist einePrimzahl}

und

5

2 1

^Ô

5

^{ist einePrimzahl}

sprahlih wohleherals unsinnigbezeihnetwürden.

2.) Die Shreibweisen

Satz. Vor.:

A

Beh.:

B

^{oder Satz. Gelte}

A

^.Dannfolgt

B

^.

sind perdenitionem gleihbedeutend mit

A

B

^.

Insbesondere ist jederSatzwahr,dessen Voraussetzung falshist.

Als Beweis einessolhen Satzes bezeihnen wirdenunterBenutzung von

wahrenAussagenerfolgendenWahrheitsnahweis fürdieAussage

A

B

^,

d.h. die Verizierung einer wenn, dann-Aussageund a priori niht etwa

die Verizierung derinderBehauptung genannten Aussage

B

^.

Da

A

B

^{bei falsher V}oraussetzung

A

^{stets wahr ist,reduziert sihdie}

Verizierung von

A

B

^{aufden Nahweisvon:Fallsgilt}

A

^{ist wahr, so}

folgt auh

B

^wahr.

3.) Ein Lemma (oderHilfssatz) bzw. Hauptsatz (oderTheorem) ist perde-

nitionem ebenfallsein Satz. Diese wertenden Titel von Sätzen zielennur

darauf ab, dem Leser einer längeren deduktiven Darstellung den Über-

blik zu erleihtern, durh Hinweis auf das geringere bzw. bedeutendere

Eigeninteresse oder inhaltlihe Gewiht dieses Satzes für die vorliegende

Theorie.

Satz1.3. Sind

A, B, C

^{beliebigeAussagen,sosinddiefolgendenAussagensämt-}

lihwahr:

ˆ

A

^

A,

⁽¹⁾

ˆ

A

^,

B

^{ ˆˆ}

A

^-ˆ

B

^

,

⁽²⁾

ˆ

A

^-

B

^{ ˆˆ}

A

^,ˆ

B

^

,

⁽³⁾

ˆ

A

^,ˆ

B

^-

C

^{ ˆˆ}

A

^,

B

^-ˆ

A

^,

C

^

,

⁽⁴⁾

ˆ

A

^-ˆ

B

^,

C

^{ ˆˆ}

A

^-

B

^,ˆ

A

^-

C

^

,

⁽⁵⁾

ˆ

A

B

^{ ˆˆ}

B

^ˆ

A

^

,

^{ (6)}

ˆ

A

B

^{ ˆˆ}

A

^-

B

^

,

⁽⁷⁾

ˆ ˆ

A

B

^{ ˆ}

A

^,ˆ

B

^

,

⁽⁸⁾

ˆ

A

B

^{ ˆˆ}

A

B

^,ˆ

B

A

^

,

⁽⁹⁾

ˆ

A

^,ˆ

A

B

^{ Ô}

B.

⁽¹⁰⁾

Bemerkung. (6)beinhaltet dieMethode des indirekten Beweises, nämlih die

Äquivalenz von

Satz. Vor.:

A

Beh.:

B

^und

Satz. Vor.:

B

Beh.:

A.

analog.

A B A

^,

B

^ˆ

A

^,

B

^

A B

^ˆ

A

^-ˆ

B

^{ (2)}

w w w f f f f w

w f f w f w w w

f w f w w f w w

f f f w w w w w

✷

Denition 1.4 (Aussageformen).

(i) Sei

Ω

^einevorgegebeneKlasse(Gesamtheit)vonObjekten.Untereinerein- stelligenAussageformmitEinsetzungsklasse

Ω

^{verstehenwireinensprah-}

lih und grammatish rihtigen Ausdruk

H

^ˆ

. . .

^{ mit einer Leerstelle}

derart, daÿ gilt:

H

^ˆ

ω

^{ ist Aussagefür jedesObjekt}

ω

^,daszu

Ω

^gehört.

(ii) Seien

Ω ₁ ,Ω ₂

^{zwei Klassen von Objekten. Eine zweistellige} Aussageform mitEinsetzungsklassen

Ω 1 , Ω 2

^{isteinsprahlihundgrammatishrihtiger}

Ausdruk

H

^ˆ

. . . , . . .

^{ mitzwei}Leerstellen derart,daÿ gilt:

H

^ˆ

ω ₁ , ω ₂

^{ istAussagefür jedes Objekt}

ω ₁

^aus

Ω ₁

^und

ω ₂

^aus

Ω ₂ .

Drei-und mehrstelligeAussageformen werdenanalog deniert.

Denition 1.5 (Quantoren). Sei

H

^ˆ

. . .

^{ eine}einstellige Aussageformmit Ein- setzungsklasse

Ω

^{.Danndenieren wirzwei neue Aussagen}

füralle

ω

^gilt

H

^ˆ

ω

^{ (i.Z.}

_ω H

^ˆ

ω

^{ oder}

ω

H

^ˆ

ω

^{) und}

esexistiert(mind.)ein

ω

^{, fürdas}

H

^ˆ

ω

^{ gilt (i.Z. §}

_ω H

^ˆ

ω

^{ oder}

ω

H

^ˆ

ω

^{ )}

wie folgt:

ω H

^ˆ

ω

^{ ist perdenitionem genau dann wahr, wenn für alle}

ω

^aus

Ω

^die

Aussage

H

^ˆ

ω

^{wahr ist.}

§

ω H

^ˆ

ω

^{istperdenitionemgenaudannwahr,wenn}(mindestens)ein

ω

^aus

Ω

^{existiert,für das}

H

^ˆ

ω

^{ wahr ist.}

und §heiÿen Quantoren.

Es gilt oenbar:

‰ ˆ

ω H

^ˆ

ω

^{Ž ‰§}

ω

^ˆ

H

^ˆ

ω

^Ž

‰ ˆ§

ω H

^ˆ

ω

^{Ž ‰}

_ω

^ˆ

H

^ˆ

ω

^Ž

Wirwollen nun Objekte bereitstellen, überdie wiretwas aussagen können,

sog.Mengen.GeorgCantor(18451918)formulierte1877diein1.6(i)genannte

Denition.Obwohldiesernaive Mengenbegrinihtganz unproblematish ist

(vgl.z.B.[4℄), wollen wirmit ihmarbeiten.

(i) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohluntershie-

denen Objekten unserer Anshauung oder unseres Denkens (welhe wir

die Elemente derMenge nennen)zu einem Ganzen.

Es steht also eindeutig fest,ob ein Objekt Element einer Menge ist oder

niht, undjede Menge kannein Objekt höhstens einmal enthalten.

Ist

a

^{einElementeinerMenge}

M

^{,soshreibenwir}

a

^>

M

^undandernfalls

a

^¶

M

^.

Bezeihnen

a

^>

M

^und

b

^>

M

^{dasselbe Element, so shreiben wir}

a b

^.

Gilt

a b

^{niht,soshreiben wir}

a

^x

b

^.

(ii) Ist

M

^{eine Menge und}

H

^ˆ

. . .

^eine einstellige Aussageform,derenEinset- zungsklasse

Ω

^dieMenge

M

^{umfaÿt,sodenieren wirdreineue Aussagen}

für alle

a

^aus

M

^gilt

H

^ˆ

a

^(i.Z.

a

^>

M H

^ˆ

a

^{ oder}

a

^>

M

H

^ˆ

a

^{ ),}

es existiert(mindestens)ein

a

^aus

M

^,fürdas

H

^ˆ

a

^{gilt (i.Z. §}

_a

>

M H

^ˆ

a

^

oder

a

^>

M

H

^ˆ

a

^{ )und}

es existiertgenau ein

a

^{aus M,für das}

H

^ˆ

a

^{ gilt (i.Z. §}

! _a

>

M H

^ˆ

a

^{ oder}

a

^>

M

H

^ˆ

a

^{) wie folgt:}

a

^>

M H

^ˆ

a

^

_a

^ˆ

a

^>

M

H

^ˆ

a

^

,

§

a

^>

M H

^ˆ

a

^{ §}

_a

^ˆ

a

^>

M

^,

H

^ˆ

a

^

,

§

! _a

>

M H

^ˆ

a

^{ §}

_a

>

M

^ˆ

H

^ˆ

a

^{ ,}

_b

>

M

^ˆ

H

^ˆ

b

^

a b

^

.

(iii) Seien

M, N

^Mengen.

a) Wir sagen, daÿ

N

^{eine Teilmenge von}

M

^{ist (i.Z.}

N

^`

M

^{) genau}

dann,wenngilt:

a

^>

N a

^>

M. M

^{heiÿtdannauheineObermengevon}

N

^(i.Z.

M

^a

N

^).

Wenn

N

^`

M

^{niht gilt, soshreiben wir}

N

^Ø

M

^oder

M

^Ù

N

^.

b) Wirsagen,daÿ

M

^gleih

N

^ist(i.Z.

M N

^{)genaudann,wenngilt:}

ˆ

N

^`

M

^,ˆ

M

^`

N

^.

Wenn

M N

^{niht gilt, soshreiben wir}

M

^x

N

^.

(iv) Die eindeutig bestimmteMenge g,diekein Element enthält, heiÿt leere

Menge.

(v) Seien

M, N

^{Mengen sowie ˆ}

M _i

^

_i

>

I

^eineMengenfamilie,d.h.perdenitio- nem

I

^{ist eine Menge, und für jedes}

i

^>

I

^ist

M i

^{ebenfalls eine Menge.}

Dann gibtesfolgende Mengen:

a) DerDurhshnittvon

M

^und

N

^(i.Z.

M

⁹

N

^{)enthältalleElemente,}

die sowohlzu

M

^{als auh zu}

N

^gehören.

DerDurhshnittderMengenfamilie ˆ

M _i

^

_i

>

I

^(i.Z.

i

^>

I

M _i

^)dieMenge

aller Elemente, die inallen

M _i

^,

i

^>

I

^{,enthalten sind.}

b) Die Vereinigung von

M

^und

N

^(i.Z.

M

⁸

N

^{)enthältalle Elemente,}

die in

M

^oderin

N

^{enthalten sind.}

M

^und

N

^{heiÿen disjunkt genau dann, wenn}

M

⁹

N

^g

.

^{In diesem}

Fallshreibt manauh

M

^<

N

^für

M

⁸

N

^.

Die Vereinigung der Mengenfamilie ˆ

M _i

^

_i

>

I

^(i.Z.

i

^>

I

M _i

^{)die Menge}

aller Elemente, die inmindestenseinem

M _i

^,

i

^>

I

^{,enthalten sind.}

Die Mengenfamilie ˆ

M _i

^

_i

>

I

^{heiÿt disjunkt genau dann,wenn gilt}

i,j

^>

I

^ˆ

i

^x

j

^Ô

M _i

⁹

M _j

^g

.

In diesemFall shreibt manauh

#

i

^>

I

M _i

^für

_i

>

I M _i

^.

) DiePotenzmengevon

M

^(i.Z.

P

^ˆ

M

^{ )besitztgenaudieTeilmengen}

von

M

^{als Elemente.}

d) Ist

H

^ˆ

. . .

^{ eine} einstellige Aussageform,deren Einsetzungsklassedie Menge

M

^{umfaÿt,sobezeihnenwirmit ˜}

a

^>

M

^S

H

^ˆ

a

^{ dieMenge}

derjenigen Elemente

a

^von

M

^{,für die}

H

^ˆ

a

^{ gilt.}

e)

M

N

^˜

a

^>

M

^S

a

^¶

N

^{ heiÿt die}Dierenzmenge von

M

^und

N

oderim Falle

N

^`

M

^{dasKomplement von}

N

ⁱⁿ

M

^.

Denition 1.7 (Abbildungen, Bild, Urbild). Seien

M, N

^Mengen.

(i) EineAbbildung

f

M N

^von

M

^nah

N

^{isteineZuordnung,diejedem}

Element

a

^>

M

^{genau ein Element}

f

^ˆ

a

^{ >}

N

^zuordnet.

Die Menge derAbbildungen

M N

^{bezeihnen wirmit}

N ^M

^.

Ist dann

f

^>

N ^M

^{,soheiÿt für jede Teilmenge}

A

^von

M

^{die Menge}

f

^ˆ

A

^{ ˜}

b

^>

N

^S§

_a

>

A f

^ˆ

a

^

b

^

dasBild von

A

^unter

f

^{und für jede Teilmenge}

B

^von

N

^dieMenge

f ¹

^ˆ

B

^{ ˜}

a

^>

M

^S§

_b

>

B f

^ˆ

a

^

b

^

dasUrbild von

B

^unter

f

^.

IsteineAbbildung

f

^>

N ^M

^{konstantvomWert}

c

^>

N

^{,soshreibenwirauh}

f c

^und identizieren hierbei das Element

c

^>

N

^{mit der konstanten}

Abbildung vomWert

c

^>

N

^.

(ii) Die Abbildung

id _M

M M , a

⁽

a,

^{heiÿt dieIdentitätauf}

M

^.4

Ist darüber hinaus

A

^`

M

^{, so heiÿt die Abbildung}

A

⁰

M , a

⁽

a,

^die

Inklusion von

A

ⁱⁿ

M

^{.Für eine Abbildung}

f

M N

^{heiÿt desweiteren}

f

^S

A

A N , a

⁽

f

^ˆ

a

^

,

^die Einshränkung von

f

^auf

A

^.

(iii) Sind

M ,

È

N

^{Ç zwei weitere Mengen, und sind}

f

M N

^und

g

M

^È

N

^Ç

Abbildungen,soistdieVerkettungvon

f

^und

g

^{deniertalsdieAbbildung}

f

^X

g

g ¹

^ˆ

N

^Ç9

M

^

N , a

^z

f

^ˆ

g

^ˆ

a

^

.

(iv) Eine Abbildung

f

M N

^heiÿt

a) injektiv (oder Injektion) genau dann,wenn gilt

a,˜ a

^>

M

^ˆ

f

^ˆ

a

^

f

^ˆ

a ˜

^Ô

a ˜ a

^

,

b) surjektiv (oderSurjektion)genaudann,wenngilt

b

^>

N

^§

a

^>

M f

^ˆ

a

^

b,

) bijektiv (oderBijektion)genaudann,wenn

f

^{sowohlinjektivalsauh}

surjektiv ist.

(v) Eine Abbildung

f

M N

^{ist oenbar genau dann bijektiv, wenn gilt}

b

^>

N

^§

! _a

>

M f

^ˆ

a

^

b.

^{In diesem Fall denieren wir die} Umkehrabbildung von

f

^{als dieAbbildung}

f

¹

N M

^mit

b

^>

N f

¹

^ˆ

b

^

a,

^wobei

a

^>

M

^{eindeutig bestimmt mit}

f

^ˆ

a

^

b.

Denition 1.8 (Kartesishes Produkt einer Mengenfamilie). Seien

M

^eine

Mengeundˆ

M _i

^

_i

>

I

^{eineFamilie vonTeilmengen von}

M

^{.DannheiÿtdieMenge}

i

^>

I

M _i

^˜

f

I M

^{Abbildung S}

_i

>

I f

^ˆ

i

^>

M _i

^

daskartesishe 5

Produkt derMengenfamilie ˆ

M _i

^

_i

>

I

^.

Ist

I

^˜

1, . . . , n

^{, so können wir}

M 1

. . .

M n

i

^>

I M i

^{kanonish mit}

derMenge aller

n

^-Tupelˆ

a ₁ , . . . , a _n

^{ mit}

a ₁

^>

M ₁ , . . . , a _n

^>

M _n

identizieren. Im Falle

M ₁ . . . M _n M

^{shreiben wirauh}

M ⁿ

^für

M ₁

. . .

M _n

^.

Wirsetzen dieGültigkeit desfolgenden Auswahlaxiomes voraus.

1.9 (Auswahlaxiom). Seien

M

^{eine Menge und ˆ}

M _i

^

_i

>

I

^{eine Familie von Teil-}

mengen von

M

^mit

i

^>

I M i

^{x g}

.

^{Dann gilt}

_i

>

I M i

^{x g, d.h. es existiert eine}

Abbildung

f

I M

^mit

_i

>

I f

^ˆ

i

^>

M _i

^.

4

Die Identität auf

R

^bzw.

C

^{bezeihnen wir mit}

x

^bzw.

z

^{. Hierbei ist}

R

^bzw.

C

^die

spätereinzuführendeMengederreellenbzw.komplexenZahlen.

5

nahRenéDesartes(15961650)

reellenZahlen.

Seien

M

^˜

1, 2,3

^,

I

^˜

1, 2, 3, 4

^{ sowie}

M 1

^˜

1, 3

^,

M 2

^˜

1, 2

^,

M 3

^˜

2

^

und

M ₄

^˜

2, 3

^{. Dannist}

f

^˜

1, 2, 3, 4

^{ ˜}

1, 2,3

^

1

^z

3

2

^z

1

3

^z

2

4

^z

3

oenbar eine Abbildung

f

I M

^mit

i

^>

I f

^ˆ

i

^>

M i

^{.Wirkönnen die Existenz}

eines

f

^{wie im}Auswahlaxiom alsodurhexpliziteAngabegarantieren,unddies istimmer derFall,wenn

I

^{eine endlihe Menge ist.}

DasAuswahlaxiomspielterstdanneineRolle,wenn

I

^{keineendlihe Menge}

mehrist.

Seienz.B.

M R

^,

I P

^ˆ

R

^˜gund

_i

>

P

^ˆ

R

^˜g

M _i i

^.DasAuswahlaxiom besagt, daÿ es eine Abbildung

f

P

^ˆ

R

^˜g

R

^{gibt, die jeder} niht-leeren Teilmengevon

R

^{einElementausdieserMengezuordnet.EinesolheAbbildung}

könnten wir niemals explizit angeben und ihre Existenz daher auh ohne das

Auswahlaxiom niht beweisen.

2 Der Körper

R

^{der reellen Zahlen}

Axiomatishe Einführung der reellen Zahlen

Wirbetrahten eine Menge

R

^{als gegeben, welhe die Strukturbesitzt, die in}

dennahfolgend genanntenAxiomenˆ

R1

^bisˆ

R13

^{beshriebenist.Mankann}

zeigen,daÿ

R

^{dadurh(bis aufsog.Isomorphie} angeordneter Körper)eindeutig bestimmt ist.Die Elementevon

R

^{heiÿen reelle Zahlen.}

Man kann sih nun fragen, ob überhaupt eine Menge mit ˆ

R1

^{ bis ˆ}

R13

^

existiert. Um einzusehen, daÿ dies der Fall ist, kann man vershiedene Kon-

struktionen solh einer Menge studieren. Man konstruiert zunähst die Menge

dernatürlihen Zahlen, dann die Menge der ganzen Zahlen und shlieÿlih die

Mengeder rationalen Zahlen. DadieMenge derrationalenZahlen lükenhaft

ist,konstruiertmandiereellenZahlendurheinenProzeÿderVervollständigung.

Es gibt dafür drei Methoden, nämlih durh Dedekindshe Shnitte nah Ri-

hard Dedekind (18311916) , durh Fundamentalfolgen (Cauhy 6

-Folgen)

nahGeorg CantoroderdurhIntervallshahtelungen.DiesenWegzugehen,

kostetabermehrZeit, alswirzurVerfügunghaben.EinesehrguteQuelledazu

istdasBuh [7℄.

Wir werden die natürlihen, ganzen und rationalen Zahlen umgekehrt als

gewisseTeilmengen von

R

^denieren.

Additionsaxiome

Es ist eine Abbildung

. . .

. . .

R

R R,

^ˆ

a, b

^{ (}

a

b,

^{(eine sog. Addition)}

gegeben mit

ˆ

R1

^

_a,b

>

R a

b b

a

(Kommutativität derAddition),

ˆ

R2

^

_a,b,c

>

R

^ˆ

a

b

^

c a

^ˆ

b

c

^ (Assoziativität derAddition),

ˆ

R3

^{ §}

_n

>

R

a

^>

R a

n a

^{(Existenzeines neutralen Elementes}

bzgl.).

Danngilt statt ˆ

R3

^{ sogar}

Lemma 2.1. §

! _n

>

R

a

^>

R a

n a.

Beweis. Die Existenz ist klar nah ˆ

R3

^{. Zum Nahweis der Einzigkeit sei}

auh

n ˜

^>

R

^mit

a

^>

R a

n ˜ a.

⁽¹¹⁾

Dannfolgt

n ˜

^ˆ

^R3

^

n ˜

n

^ˆ

^R1

^

n

n ˜

^ˆ

¹¹

^

n. ✷

Denition 2.2. Das eindeutig bestimmte Element

n

^>

R

^{wie in Lemma 2.1}

heiÿtdie Null von

R

^{und wirdmit}

0

^bezeihnet.

Nah ˆ

R1

^{ giltalso}

_a

>

R a

0 0

a a.

6

nahAugustinLouisCauhy(17891857)

ˆ

R4

^

_a

>

R

^§

b

^>

R a

b 0

^{(Existenzeines Inversenbzgl. ).}

Danngilt statt ˆ

R4

^{ sogar}

Lemma 2.3.

a

^>

R

^§

! _b

>

R a

b 0.

Beweis.Sei

a

^>

R

^{.DieExistenz von}

b

^>

R

^{wie imLemma istklarnahˆ}

R4

^.

Zum Nahweis derEinzigkeitsei auh

c

^>

R

^mit

a

c 0.

⁽¹²⁾

Dannfolgt

c ^2.2 c

0

^ˆ

^R4

^

c

^ˆ

a

b

^ˆ

^R2

^ˆ

c

a

^

b

^ˆ

^R1

^ˆ

a

c

^

b

^ˆ

¹²

^

0

b ^2.2 b. ✷

Denition 2.4. Ist

a

^>

R

^{, soheiÿt dasnah Lemma 2.3 eindeutig bestimmte}

Element

b

^>

R

^mit

a

b 0

^{dasNegative von}

a

^{,undmanbezeihnetesmit}

a

^.

Nah ˆ

R1

^{ giltalso}

_a

>

R

^ˆ

a

^

a a

^ˆ

a

^

0.

Bemerkung. ˆ

R1

^bisˆ

R4

^{besagen,daÿˆ}

R,

^{einesog.abelshe7 Gruppe ist.}

Denition 2.5.

(i) Sind

a, b

^>

R

^{, so shreiben wir für}

a

^ˆ

b

^{ auh kurz}

a

b

^{und nennen}

diese reelle ZahldieDierenz zwishen

a

^und

b

^.

(ii) Für Teilmengen

A, B

^von

R

^{setzen wir}

A

B

^˜

a

b

^S

a

^>

A

^,

b

^>

B

^

, A

B

^˜

a

b

^S

a

^>

A

^,

b

^>

B

^

,

A

^˜

a

^S

a

^>

A

^

.

Fernersetzen wir

R

^‡

R

^˜

0

^.

Satz 2.6.

0

0,

⁽¹³⁾

a

^>

R

^ˆ

a

^

a,

⁽¹⁴⁾

a,b

^>

R

^ˆ

a

b

^{ ˆ}

a

^

b ^2.5

^ˆ

a

^ˆ

b

^

a

b.

⁽¹⁵⁾

Beweis.(13) folgtaus

0

0 ^2.2 0

^{undDenition 2.4.}

(14)folgt ausˆ

a

^

a ^2.4 0

^{undDenition 2.4.}

(13)folgt aus

ˆ

a

b

^ˆˆ

a

^ˆ

b

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

ˆ

R1

^

ˆ

a

b

^ˆˆ

b

^ˆ

a

^ˆ

^R2

^ˆˆ

a

b

^ˆ

b

^ˆ

a

^

ˆ

R2

^

‰

a

^ˆ

b

^ˆ

b

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¶

2.4 0

Ž

ˆ

a

^{ ˆ}

a

0

^

´¹¹¹¹¹¹¹ ¸¹¹¹¹¹¹¹¶

2.2 a

ˆ

a

^

^2.4 0

undDenition 2.4.

✷

7

nahNielsHenrikAbel(18021829)

Esist eineAbbildung

. . . .

R

R R,

^ˆ

a, b

^(

a b

ab,

^{(eine sog.Multipli-}

kation) gegeben mit

ˆ

R5

^

_a,b

>

R ab ba

(Kommutativität derMultiplikation),

ˆ

R6

^

_a,b,c

>

R

^ˆ

ab

^

c a

^ˆ

bc

^ (Assoziativität der Multiplikation),

ˆ

R7

^{ §}

_e

>

R

^‡

a

^>

R

^‡

ˆ

R5



ea

©

ae a

^{(Existenzeines neutralen Elementes}

bzgl. ).

Analog zuLemma 2.1 gilt dannstatt ˆ

R7

^{ sogar}

Lemma 2.7. §

! _e

>

R

^‡

a

^>

R

^‡

ae a. ✷

Denition 2.8. Das eindeutig bestimmte Element

e

^>

R

^{‡ wie in Lemma 2.7}

heiÿtdie Einsvon

R

^{und wirdmit}

1

^bezeihnet.

Nah ˆ

R5

^{ giltalso}

a

^>

R

^‡

1a a1 a

^{und (wegen}

1

^>

R

^{‡) auÿerdem}

1

^x

0 .

ˆ

R8

^

_a

>

R

^‡§

b

^>

R

^‡

ab 1

^{(Existenzeines Inversen bzgl. ).}

Analog zuLemma 2.3 gilt dannstatt ˆ

R8

^{ sogar}

Lemma 2.9.

a

^>

R

^‡§

! _b

>

R

^‡

ab 1. ✷

Denition2.10. Ist

a

^>

R

^{‡,soheiÿtdasnahLemma2.9eindeutigbestimmte}

Element

b

^>

R

^{‡ mit}

ab 1

^{das Reziproke von}

a

^{und wird mit}

a

¹

^oder

1 a

bezeihnet.

Nah ˆ

R7

^{ giltalso}

_a

>

R

^‡

1 a a a 1

a 1.

Bemerkung. ˆ

R5

^bisˆ

R8

^{ besagen u.a.,daÿˆ}

R

^‡

,

^{ eineabelshe Gruppe ist.}

Denition 2.11.

(i) Sind

a

^>

R

^und

b

^>

R

^{‡,soshreibenwirfür}

a 1 b

^auh

a

b

^{und nennen diese}

reelle Zahlden Quotienten von

a

^und

b

^.

(ii) Für Teilmengen

A, B

^von

R

^{setzen wir}

A B

^˜

ab

^S

a

^>

A

^,

b

^>

B

^

und im Falle

A

^`

R

^‡

A

¹

^˜

a

¹

^S

a

^>

A

^

.

Satz 2.12.

1

¹ 1,

⁽¹⁶⁾

a

^>

R

^‡ˆ

a

¹

^

¹ a,

⁽¹⁷⁾

a,b

^>

R

^ˆ

ab

^

¹ a

¹ b

¹ .

⁽¹⁸⁾

✷

Distributivitätsaxiom

ˆ

R9

^

_a,b,c

>

R

^‡

a

^ˆ

b

c

^

ab

ac

´¹¹¹¹¹¹¹ ¸¹¹¹¹¹¹¹¶

ˆ

ab

^ˆ

ac

^

(Distributivität).

Bemerkung. ˆ

R1

^{ bisˆ}

R9

^{besagen,daÿ ˆ}

R,

,

^{ einsog. Körper ist.}

Beispiel. DieMenge

Z ₂

^˜

0 ₂ ,1 ₂

^,wobei

0 ₂

^und

1 ₂

^zweivoneinandervershie- dene Objekte sind, bildet zusammen mit `

,

^{b, gegeben durh}

`

0 ₂ 1 ₂ 0 ₂ 0 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 0 ₂

und

b

0 ₂ 1 ₂ 0 ₂ 0 ₂ 0 ₂ 1 ₂ 0 ₂ 1 ₂

, einen Körper ˆ

Z ₂ ,

^`

,

^{b8. Aus ˆ}

R1

^{ bis ˆ}

R9

^{ folgt daher}

niht, daÿ

R

^mehrals

2

^{Elemente besitzt9.}

8

Der hierangeführteKörper,indem

1

^`

1 0, 1

^`

1

^`

1 1

^{usw.gilt,ndetbisaufdie}

UnstimmigkeitimzweitenVersauhinGoethesFaustErwähnung.DieHexeliestausihrem

Rehenbuhvor:

Dumuÿtverstehn!

AusEinsmahZehn,

UndZweilaÿ gehn,

UndDreimahgleih,

Sobistdureih.

VerlierdieVier!

AusFünfundSehs,

SosagtdieHex',

MahSiebenundAht,

Soist'svollbraht:

UndNeunistEins,

UndZehnistkeins.

DasistdasHexen-Einmaleins.

Faust, der Philosophie, Juristerei und Medizin,und leider auh Theologie studierthat,

oenbarabernihtMathematik,antwortet:Mihdünkt,dieAltesprihtimFieber.

Diese Interpretation ist [9 , S.52℄ entnommen. Eine andere besteht darin, die Zeilen als

BeshreibungeinesmagishenQuadratesmitZeilen-undSpaltensumme

15

^zuverstehen.

9

Man kann übrigens zeigen,daÿ genau dannein Körpermit

p

^{Elementen (}

p

^>

N, p

^C

2

⁾

existiert,wenn

p

^{einePrimzahlist.}

Satz 2.13. Für alle

a, b, c

^>

R

^gilt

ˆ

a

b

^

c ac

bc,

⁽¹⁹⁾

0 0a a0,

⁽²⁰⁾

1a a1 a,

⁽²¹⁾

ˆ

1

^

a

a,

⁽²²⁾

a

^ˆ

b

^{ ˆ}

a

^

b

ab

°

ˆ

ab

^

,

⁽²³⁾

ˆ

a

^ˆ

b

^

ab.

⁽²⁴⁾

Beweis.Zu(19): ˆ

a

b

^

c

^ˆ

^R5

^

c

^ˆ

a

b

^ˆ

^R9

^

ca

cb

^ˆ

^R5

^

ac

bc.

Zu(20):

0 ^2.4 a 0

®

2.2 0

0

ˆ

a0

^

²

ˆ

a0

^

a

^ˆ

0

0

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

ˆ

a0

^ˆ

^R9

^ˆ

a0

a0

^ˆ

a0

^

ˆ

R2

^

a0

^ˆ

a0

^ˆ

a0

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2.4 0

a0

0 ^2.2 a0

^ˆ

^R5

^

0a.

(21)ist für

a

^>

R

^{‡ nah Denition 2.8und für}

a 0

^{nah (20)klar.}

Zu (22):

a

^ˆ

1a

^{ ˆ}

²¹

^

1a

^ˆ

1a

^{ ˆ}

¹⁹

^{ ˆ}

1

^ˆ

1

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2.4 0

a

^ˆ

²⁰

^

0.

^{Daher gilt nah}

Denition2.4:

1a

a.

Zu(23): Aus

ab

a

^ˆ

b

^ˆ

^R9

^

a

^ˆ

b

^ˆ

b

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¶

2.4 0

a0

^ˆ

²⁰

^

0

bzw.

ab

^ˆ

ab

^ˆ

¹⁹

^ˆ

a

^ˆ

a

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2.4 0

b 0b

^ˆ

²⁰

^

0

folgtwiederum nah Denition2.4:

a

^ˆ

b

^

ab

^{bzw. ˆ}

a

^

b

ab.

Zu(24): ˆ

a

^ˆ

b

^ˆ

²³

^ˆˆ

a

^

b

^ˆ

¹⁴

^

ab. ✷

Bemerkung.

0

^{besitztkeininversesElement bzgl. ,d.h.esexistiert keinEle-}

ment

0

¹

^>

R

^mit

00

¹ 1

^{. Denn} andernfalls folgte

0

^ˆ

²⁰

^

00

¹ 1,

^{im Wider-}

spruh zuDenition 2.8.

Es ist eine Teilmenge

R

von

R

^{(ein sog.} Positivbereih) gegeben derart, daÿ gilt

ˆ

R10

^

R

^‡

R

<ˆ

R



,

ˆ

R11

^

R R

`

R ,

ˆ

R12

^

R R

`

R .

Die Elementevon

R

bzw.

R

ˆ

R

 heiÿen positive bzw. negative reelle

Zahlen.

Bemerkung. ˆ

R1

^{ bis ˆ}

R12

^{ besagen, daÿ ˆ}

R,

, , R

 ein sog. angeordneter

Körper ist.

Denition 2.14. Füralle

a, b

^>

R

^{denieren wir}

a

b

±

b

^A

a

b

a

^>

R , a

^B

b

±

b

^C

a

ˆ

a

b

^{ -ˆ}

a b

^

.

Danngilt insbesondere füralle

a

^>

R a

^A

0

a

^>

R

(25)

a

0

a

^>

R

a

^>

R

(26)

Bemerkung. Die o.g.Axiome besagen gerade:

ˆ

R10

É^{ Für}

a

^>

R

^{gilt entweder}

a

^A

0

^oder

a

0

^oder

a 0

(Trihotomie)

.

ˆ

R11

É^

_a,b

>

R a

^A

0

^,

b

^A

0

^Ô

a

b

^A

0

^{(Monotonie v.)}

.

ˆ

R12

É^

_a,b

>

R a

^A

0

^,

b

^A

0

^Ô

ab

^A

0

^{(Monotonie v. )}

.

Satz 2.15. Für alle

a, b, c

^>

R

^gilt

a

b

a

^A

b,

insbesondere ˆ

b

^A

0

b

0

^{ bzw. ˆ}

a

0

a

^A

0

^

,

⁽²⁷⁾

entweder gilt

a

^A

b

^oder

a b

^oder

a

b,

⁽²⁸⁾

‰ˆ

a

^A

0

^,

b

^A

0

^{ / ˆ}

a

0

^,

b

0

^Ž

ab

^A

0,

‰ˆ

a

^A

0

^,

b

0

^{ / ˆ}

a

^A

0

^,

b

0

^Ž

ab

0,

⁽²⁹⁾

a

^x

0

a ²

aa

^A

0 ,

insbesondere

1

^A

0 ,

(30)

ˆ

a

b

^,

b

c

^

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

a

b

c

Ô

a

c,

⁽³¹⁾

a

b

^Ô

a

c

b

c,

⁽³²⁾

ˆ

a

b

^,

c

^A

0

^

ac

bc,

ˆ

a

b

^,

c

0

^

ac

^A

bc,

⁽³³⁾

0

a

b

^Ô

0

1 b

1

a .

⁽³⁴⁾

Beweis als Übung.

✷

Bemerkung. Aus(30)und(32)folgt,daÿesauÿer

0

^und

1

^{nohweiterepaar-}

weise vershiedene Elemente von

R

^{gibt, nämlihz.B.}

2

1

1, 3

2

1, 4

3

1, 5

4

1,6

5

1, 7

6

1, 8

7

1, 9

8

1.

Tatsählih werden wir unten die Existenz der natürlihen Zahlen und

sogar die der rationalen Zahlen als Teilmenge von

R

^{aus ˆ}

R1

^{ bis ˆ}

R12

^

herleiten.M.a.W. enthält jederangeordnete Körperdie rationalenZahlen.

Denition 2.16 (Betrag). Für alle

a

^>

R

^{denieren wir den Betrag von}

a

^als

S

a

^{S œ}

a,

^falls

a

^C

0

a,

^falls

a

0

^¡>

R.

Satz 2.17. Für alle

a, b

^>

R

^gilt

S

a

^{S S}

a

^SC

0;

⁽³⁵⁾

a

^BS

a

^S,

a

^BS

a

^S

;

⁽³⁶⁾

S

a

^S

b

b

a

b;

⁽³⁷⁾

S

a

^SB

b

b

^B

a

^B

b;

⁽³⁸⁾

S

a

b

^SBS

a

^SS

b

^SˆDreieksungleihung

,

mit Gleihheitgenau dann, wenn

ab

^C

0;

⁽³⁹⁾

S

a

^SS

b

^{SBS S}

a

^SS

b

^SSBS

a

b

^S

;

⁽⁴⁰⁾

S

ab

^{S S}

a

^SS

b

^S

.

⁽⁴¹⁾

Beweis als Übung.

✷

Vollständigkeitsaxiom

Denition 2.18 (obere unduntereShranke). Sei

M

^`

R

^.

(i) Ist

c

^>

R

^{,sodenieren wir}

c

^{obere Shranke von M}

_a

>

M a

^B

c, c

^{untere Shranke von M}

_a

>

M a

^C

c.

(ii) Wir setzenweiter

M

^{nah obenbeshränkt §}

c

^>

M c

^{obereShranke von}

M,

M

^{nah untenbeshränkt §}

_c

>

M c

^{untere Shranke von}

M,

M

^beshränkt

M

^{nah oben unduntenbeshränkt.}

Denition 2.19 (obere unduntereGrenze, Inmum, Supremum). Sei

M

^`

R

^.

Ist

c

^>

R

^{,sodenieren wir}

c

^{œ obere}

untere

¡ Grenzevon

M

c

^{œ obere}

untere

¡ Shranke von

M

^und

˜ c

^>

R

^ˆ

˜ c

^œ

A

¡

c

˜ c

^{niht œ obere}

untere

¡ Shranke von

M

^

.

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹ ¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ¹¹¹¹¹¹¶

d.h. esexistiert keine

¢

¨

¨

¨

¨

¨

¨

¤

kleinere obere

gröÿere untere

£

¨

¨

¨

§

¨

¨

¨

¥

Shranke als

c

Danngilt:

Es existiert höhstens eine œ obere

untere

¡ Grenzevon

M.

⁽⁴²⁾

[ Beweis von (42): Angenommen esgibt zwei œ obere

untere

¡ Grenzen

c, ˜ c

^>

M

mit

c

^x

˜ c

^{. Danngilt nah (28)}

˜ c

c

^oder

c

˜ c

^.Ohne Beshränkung der Allge- meinheit sei

c ˜

c

^{, ansonsten vertushe}

c

^und

˜ c

^{. Da œ}

c

^obere

˜

c

^{untere ¡ Grenze und}

˜

c

c

^{, so ist œ}

˜ c

c

^{¡ niht œ}

obere

untere

¡ Shranke von

M

^, insbesondere ist œ

˜ c c

^¡

niht œ obere

untere

¡Grenzevon

M

^,Widerspruh! ℄

Falls

M

^{eine œ obere}

untere

¡ Grenze besitzt, so ist diese nah (42) eindeutig

bestimmt,und wirbezeihnen sie mit

¢

¨

¨

¨

¨

¤

sup M inf M

£

¨

¨

§

¨

¨

¥ .

Ist

M

^{nihtnahœ oben}

unten

¡beshränkt,sosetzenwir

¢

¨

¨

¨

¨

¤

sup M

^ª

inf M

^ª

£

¨

¨

§

¨

¨

¥ 10

.

inf M

^und

sup M

^{heiÿenInmum undSupremum von}

M

^.

ˆ

R13

^{ Fürjede Teilmenge}

M

^xgvon

R

^gilt:

M

^{nahoben beshränkt Ô}

M

^{besitzt obere Grenze}

(Vollständigkeit).

10

Hierbei bezeihnen ª (lies plus unendlih)und ª (lies minusunendlih)zwei

voneinandervershiedeneObjekte,diekeinereellenZahlensind.

Bemerkung. ˆ

R1

^{bis ˆ}

R13

^{ besagen,daÿ}

R

^einsog.vollständig angeordneter Körper ist.

Satz2.20.ˆ

R13

^{istäquivalentdazu,daÿjedeniht-leere nahuntenbeshränk-}

teTeilmenge von

R

^{eine untere Grenzebesitzt.}

Beweisskizze: Sei

M

^`

R

^durh

c

^{nah unten beshränkt. Dann ist}

M

oenbar durh

c

^{nah oben beshränkt, besitzt also eine obere Grenze}

s

^.

s

istdann 11

untere Grenzevon

M

^.

✷

Satz 2.21. Bis auf sog. Isomorphie angeordneter Körper existiert genau ein

vollständig angeordneter Körper

R

^.

Beweis vgl.[7, S. 42f℄.

✷

2.22 (Intervalle).

(i) Denition. Sei

J

^`

R

^.

J

^{heiÿtIntervall von}

R

_{a 1 ,a 2}

>

J

c

^>

R

^ˆ

a ₁

c

a ₂

c

^>

J

^

.

(ii) Die folgenden Teilmengen von

R

^{sind für beliebige}

a, b

^>

R

^mit

a

^B

b

oenbar Intervalle von

R

^:

a, b

^˜

c

^>

R

^S

a

^B

c

^B

b

^{ ˆbeshränktes} abgeshlossenes oderauh kompaktes Intervall

,

a, b

^˜

c

^>

R

^S

a

^B

c

b

^{ ˆbeshränktes halboenes Intervall}

,

a, b

^˜

c

^>

R

^S

a

c

^B

b

^{ ˆbeshränktes halboenes Intervall}

,

a, b

^˜

c

^>

R

^S

a

c

b

^{ ˆbeshränktes oenes Intervall}

,

a,

^{ª ˜}

c

^>

R

^S

a

^B

c

^ ˆunbeshränktes abgeshlossenes Intervall

,

ª

, b

^˜

c

^>

R

^S

c

^B

b

^ ˆunbeshränktes abgeshlossenes Intervall

,

a,

^{ª ˜}

c

^>

R

^S

a

c

^ ˆunbeshränktes oenes Intervall

,

ª

, b

^˜

c

^>

R

^S

c

b

^ ˆunbeshränktes oenes Intervall

,

ª

,

^ª

R

ˆunbeshränktes oenes und abgeshlossenes Intervall

.

Beispiel.

0,

^ª

R ,

1, 1

^g

,

1, 1

^g

, 1, 1

^˜

1

^

.

Satz2.23. Auÿerdenin2.22(ii)beshriebenengibteskeineweiterenIntervalle

von

R

^.

Beweisskizze. Sei

J

^ein niht-leeres Intervall von

R

^.

Setze

α

inf J

^>

R

^8˜ªsowie

β

sup J

^>

R

^{8˜ª,undzeige derReihe}

nah (44)mittels(43)

t

^>

α,β t

^{weder oberenoh untere Shranke von}

J,

⁽⁴³⁾

11

Aus

a,b

^>

R

ˆ

a

b

a

^A

b

^{ folgt, daÿ für jede niht-leereTeilmenge}

M

^von

R

^gilt:

sup

^ˆ

M

^

inf M.