Z ≡ r mod z, in Worten: Z ist kongruent r modulo z

Wie mansih leihtüberzeugt,geltendie folgendenRehenregeln;sie

formu-lierennurbekannteTatsahen überTeilerganzerZahleninderneuen

Shreib-weise:

Z ≡ r mod z

^und

Z ^′ ≡ r ^′ mod z ⇒ (Z + Z ^′ ) ≡ (r + r ^′ ) mod z,

Z ≡ r mod z ⇒ kZ ≡ kr mod z

^für

k ∈

.

^(4.2)

Für

z > 0

^lässt^sih

r

ⁱⁿ ^(4.1)^stets^so^wählen,^dass

0 ≤ r ≤ z − 1

Beweis: Wir betrahten einebeliebige niht durh 10 teilbare ganzeZahl

z

dieimFolgendenfest gewähltseiund vonderwirohneBeshränkungder

All-gemeinheit(gegebenenfalls nahMultiplikationmit

− 1

⁾voraussetzen können, dasssiepositivist.WiruntersheidendreiFälle,diesih,weil

z

^niht^durh¹⁰

teilbarist,gegenseitigausshlieÿen:

• z

^und¹⁰^sindteilerfremd;

• z

^ist^gerade;

• z

^ist^durh⁵^teilbar.

ImerstenFall betrahtenwirdie

z

vershiedenenpositivenganzenZahlen

10 ^m

mit

0 ≤ m ≤ z − 1

^,^für^welhe^die^Reste

r m

^über

10 ^m ≡ r m mod z

^deniert^seien.

NahVoraussetzungist

r m 6 = 0

^für ^alle

m

^; ^die

z

^Reste

r m

^nehmen ^also^jeweils

einen der

z − 1

vershiedenenWerte

1, 2, ..., z − 1

^an.^Nah Shubfahprinzip existieren alsozwei Indies

ℓ

m

^mit

0 ≤ ℓ < m

^, ^für ^die

r ℓ = r m

^.^Wegen^(4.2)

giltdann auh:

10 ^m − 10 ^ℓ ≡ (r m − r ℓ ) ≡ 0 mod z,

dasheiÿt

10 ^m − 10 ^ℓ = (10 ^m ^−ℓ − 1) · 10 ^ℓ

^ist^durh

z

^teilbar.^Weil^nah

Voraus-setzungim hierbetrahtetenFall10und

z

teilerfremdsind,musssogar

10 ^m ^−ℓ − 1 ≡ 0 mod z

^(4.3)

gelten,dasheiÿt,

10 ^m ^−ℓ − 1

^ist^ein^Vielfahes^von

z

^.^Die^Zahl

10 ^m ^−ℓ − 1

^ist^ein

Dezimal-Palindrom,dain ihrerDezimaldarstellungjededer

m − ℓ

^Ziern^eine

9ist.

ImzweitenFall könnenwir

z

^als

z = 2 ^t · y

^mit

t ≥ 1

^und^einer^zu¹⁰ teilerfrem-denpositivenganzenZahl

y

^shreiben.^Es^sei

x n x n − 1 ... x 1 x 0

^mit

x n , x 0 6 = 0

^die

Dezimaldarstellung von

x = 2 ^t

^. ^Es^ist ^stets

n + 1 ≤ t

^, ^weil

n = 0

^für

t = 1

und es sihinduktiv leiht nahweisen lässt, dass

2 ^t ≤ 10 ^t ⁻ ¹

^für

t ≥ 2

^. ^Wir

konstruierenhierauseinDezimal-Palindromdurh

w = x · 10 ^t + x = x · 10 ^t + 2 ^t = (x · 5 ^t + 1) · 2 ^t ,

^(4.4)

wobei

x

^dieDezimaldarstellung

x 0 x 1 ... x n − 1 x n

^habe(Dezimaldarstellungvon

2 ^t

inumgekehrterReihenfolge);

w

^hat^also^die

(t + n + 1)

^-stellige Dezimaldarstel-lung

w D = x 0 x 1 ... x n − 1 x n 00 ... 00

| {z }

d −

^mal

x n x n − 1 ... x 1 x 0 ,

^wobei

d = t − n − 1.

^(4.5)

Aus(4.4)folgtsofort,dass

w

^durh

2 ^t

^teilbar^ist;

w

^wird^imAllgemeinenjedoh nihtdurh

y

^teilbar^sein.^Aus^denBetrahtungenimerstenFallwissenwiraber, dass einepostive ganze Zahl

p

^existiert, ^so ^dass

10 ^p ≡ 1 mod y

^; ^vergleihe

(4.3).Aus denRehenregelnin(4.2)ergibtsih,dass dannauh

10 ^p ^· ^q ≡ 1 mod y

^für^alle^positiven^ganzen^Zahlen

q ≥ 1.

^(4.6)

Wirwählenein

q ^∗

^,^so^dass

s := p · q ^∗ ≥ t + n + 1.

^(4.7)

DannsindaufGrundvon(4.6)alle

y

^Summandenⁱⁿ

1+10 ^s +10 ^2s +...+10 ^(y ⁻ ^1)s

kongruent

1

^modulo

y

^;^die^Summe^ist^also^auf^Grund^derRehenregelnin(4.2) kongruent

y

^modulo

y

^,^das^heiÿt^die^Summe^ist^durh

y

^teilbar.^Für^die^Zahl

w · (1 + 10 ^s + 10 ^2s + · · · + 10 ^(y ⁻ ^1)s )

stellenwirzusammenfassendfest:Sieistdurh

z = 2 ^t · y

^teilbar,^weil

w

^durh

2 ^t

unddieSummeinderKlammerdurh

y

^teilbar^ist.^Auÿerdem^ist^sie^ein

Dezimal-Palindrom,weilsiedasDezimal-Palindrom

w

^,^auf ^Grund^von^(4.7)^ohne

Über-shneidungen,

y

^-malhintereinanderfügt:MitderabkürzendenShreibweise

w D

aus(4.5)ergibtsih,mit

e = s − t − n − 1

^,^dieDezimaldarstellung

w D 00 ... 00

| {z }

e −

^mal

... w D 00 ... 00

| {z }

e − mal

| {z }

(y − 1) −

^mal

w D .

DerdritteFall wirdanalogzumzweitenFallbewiesen,indemwir

z

^als

z = 5 ^t · y

mit

t ≥ 1

^und^einer^zu ¹⁰teilerfremdenpositivenganzenZahl

y

^shreiben.

2

Bemerkung:Für einepositive ganzeZahl

z

^sei

ϕ(z) := |{ 1 ≤ r ≤ z | ggT(r , z) = 1 }|

^(4.8)

die Anzahl der positiven ganzen Zahlen

r ≤ z

^, ^die teilerfremd zu

z

^sind; ^die

Funktion

ϕ

^wirdⁱⁿ^derZahlentheorieEulershe

ϕ

^-Funktion^genannt.^Die

Glei-hung (4.3) im obigenBeweis der Aufgabe kanndirekt und konstruktiv über

denfolgendenHilfssatzbewiesenwerden.

Hilfssatz (SatzvonEuler-Fermat)

Diebeidenpositivenganzen Zahlen

a

^und

z

^seienteilerfremd,dasheiÿt

ggT(a, z) = 1

^.^Dann^ist

a ^ϕ(z) − 1 ≡ 0 mod z.

^(4.9)

Beweis des Hilfssatzes:ImFall

z = 1

^ist^nihts^zu^beweisen;^es^sei^daher ^im

Folgenden

z ≥ 2

^.^Es^sei

R

^die^Menge^aus^der^Denition^von

ϕ(z)

ⁱⁿ^(4.8),^das

heiÿt

R := { 1 ≤ r ≤ z | ggT(r , z) = 1 } =: { r 1 , ..., r ϕ(z) } .

Wegen

z ≥ 2

^gilt^für ^alle

r ∈ R

^, ^dass

r < z

^.^Für ^jedes

r i ∈ R

1 ≤ i ≤ ϕ(z)

gilt auh

ggT(a · r i , z) = 1

^, ^es ^existieren ^also niht-negative ganzeZahlen

q i

mit

1 ≤ q i < z

^, ^so^dass

a · r i ≡ q i mod z

^. ^Die^Reste

q i

1 ≤ i ≤ ϕ(z)

^, ^sind

paarweisevershieden,dennwäre

q i = q j

^mit

i 6 = j

^,^so^folgte^aus^(4.2)

0 6 = a · (r i − r j ) ≡ (q i − q j ) mod z ≡ 0 mod z,

das heiÿt,

a · (r i − r j )

^wäre ^ein^Vielfahes ^von

z

^. ^Weil ^jedoh

ggT(a, z) = 1

müsste

r i − r j

^ein^Vielfahes^von

z

^sein,^was^aber^wegen

| r i − r j | < max { r i , r j } < z

niht sein kann. Daher sind in der Menge

{ q 1 , ..., q _ϕ(z) }

^alle ^Reste

r i

^aus

R

enthalten,insbesonderegiltGleihheitbeimProdukt

q 1 · q 2 · ... · q ϕ(z) = r 1 · r 2 · ... · r ϕ(z) .

^(4.10)

DurhAusmultiplizierenerhaltenwirwegen(4.2)undder Denitionder

q i

a ^ϕ(z) · r 1 · r 2 · ... · r _ϕ(z) = (a · r 1 ) · (a · r 2 ) · ... · (a · r _ϕ(z) )

≡ q 1 · q 2 ... q _ϕ(z) mod z

≡ r 1 · r 2 · ... · r ϕ(z) mod z,

wobeiwirinder letztenGleihung(4.10)verwendethaben.DurhSubtraktion

von

r 1 · r 2 · ... · r _ϕ(z)

^auf^beiden^Seiten^folgt

(a ^ϕ(z) − 1) · r 1 · r 2 · ... · r ϕ(z) ≡ 0 mod z;

weilaberausderDenitionder

r i

^folgt,^dass^auh

ggT(r 1 · r 2 · ... · r _ϕ(z) , z) = 1

musstatsählih(4.9)gelten.

2

WirdankenHerrnFegertundHerrnProf.QuaisserfürihrehilfreihenHinweisezur

Darstel-lung.

Mathematishe Ahnen

Das Mathematis Genealogy Projet

vonWolfgang J. Bühler

InDeutshlandundteilweiseauhinanderenLändernistesüblih,den

Profes-sor,dereinenStudentenbeiseinerDoktorarbeitbetreut,alsdessenDoktorvater

oderakademishenVater zubezeihen.EntsprehendistdieBezeihnung

Dok-tormutter zuverstehen.

ImInternetgibtesfürMathematikerdazudas

Mathematis Genealogy Projet

∗

, in dem zu

vielen Mathematikern ihre Doktorväter

bezie-hungsweise-mütterzundensind.

∗

Falls DeinMathematiklehrer oder ein anderer Mathematiker,den Du kennst,

denDoktortitelführen,kannstDudortherausnden,werseinDoktorvaterund

werseineweiterenakademisheVorfahrensind.MeineeigenenVorfahrenndest

DuindemStammbaumauf dernähstenSeite.

Manhe Mathematikerhaben dabei auh zwei Doktorväter, welhe die Arbeit

gemeinsambetreuthaben(hierbeispielsweiseSierpinski,dervonZarembaund

Voronybetreutwurde).

∗

deutsh:Mathematisher-Stammbaum-Projekt

MONOID-RedaktionsmitgliederstehtzumBeispielCarlFriedrihGauÿ,ebenfalls

einsehrbedeutenderMathematiker.

ChristiaanHuygens

ErhardWeigel EmmanuelStupanus

GottfriedWilhelmLeibniz

JakobBernoulli NikolausEglinger

JohannBauhin

JohannBernoulli

LeonhardEuler

JosephLagrange Pierre-SimonLaplae Jeand'Alambert

SimeonPoisson

MihelChasles

GastonDarboux

StanislawZaremba ÉmilePiard

GeorgyVorony AndreiMarkov

WaªawSierpi«ski

JerzyNeyman

WolfgangJ.Bühler

PafnutyChebyshev JosephvonLittow

NikolaiBrashman

Rubrik der Löser und Löserinnen

Stand nah Heft95

Elisabeth-Langgässer-GymnasiumAlzey:

Kl.5:AnjaFörster12,JulianLangen8;

Kl.6:ArneBroszukat19, SophieGatzemeier4,JulianeShäfer 4.

Kl.7: MatthiasBlitzer15,MardeZoeten7,LauraTabeaGalkowski14,Paul

Gantner9,SebastianLudwig20, BenediktMaurer16, RajaHaiderMehmood

10,Alexander Rupertus10,JuliaSherner14;

Kl. 8: Lara Bergjohann 4, Eike Broszukat 16, Johen Dahlem 12, Chantal

Graversen 16, DominikMeier 14, Andreas Pitsh 16, Freya Roth 16, Philipp

Sherrer16;

Kl.9:KevinShmitt10;

Kl.10:PhilippMayer12.

Karolinen-GymnasiumFrankenthal:

Kl.12:MartinReinhardt25.

nen: UteFrohs,MarieClaireFarag)

Kl. 6:Mariam Ahmed 9;Rehab Amr 9; Yara Ayman 5;Mona SophieEl

Se-gini 9;Hoda Hazem5;MalakKhaled 7;MarianneMihel12; JessiaNabil4;

Chantal Ragy8;MiraHamed2;MaramMohamed9.Kl.10:NadaMoh6.

Alzey,GymnasiumamRömerkastell:

AnnaKatharinaLange12;Kl.12:Lennart Adam25;

BadBergzabern,GymnasiumimAlfred-Grosser-Shulzentrum

(betreuen-de Lehrer:GabrieleTäer,GerhardWeber):

Kl. 6:FriederikeKienle4;

Kl. 9:RobertoRossi8;AlexanderShneider7;DavidWander4.

Kl. 11:RüdigerBährle 6;JonathanBohlen22.

Bad Neuenahr-Ahrweiler,Peter-Joerres-Gymnasium:

Kl. 8:Frank Shindler25.

Eiterfeld, Lihtbergshule (betreuender LehrerWolfgangJakob):

Kl. 7:KatharinaBröhm4.

Erlangen, Freie Walldorfshule:Kl.11:MalteMeyn 23.

Fulda,Hohbegabten-AGMathematik:

Kl. 7:DanielWilde18,Kl. 8:JaninaMüller6.

Grunheide,Gerhard-Hauptmann-Grundshule

Kl. 5:SonjaWitte9.

Hadamar,Fürst-Johann-Ludwig-Gesamtshule(betr.LehrerinFrauIrmtrud

Niederle):

Kl. 5: JamalAgeli 12; Sean Brauwers 6; NjomzaKrasniqi 8;Nio Oshatz 8

MatthiasTrinz4.

Kl. 6:PhilippArndt13;MaraKoh14;LarsPrepens18;JoahimRoth8.

Kl. 7:RajeththananBalahandran10;ThorstenRoth19.

Hamburg, GymasiumHohrad:Kl.10: ConnorRöhriht15.

Herzogenaurah,GymnasiumHerzogenaurah:Kl. 13:LisaJanker21.

Kairo,DeutsheShulederBorromäerinnen(betr.Lehrer:ChristophStraub):

Kl. 8:Shaima'aAhmedDoma 8;NadaZaghloul10.

Kl. 11: Alia'aAhmedDoma25.

Kelkheim, Eihendorshule:Kl.6:MaikeStanishewski18.

Lehrte, GymnasiumLehrte:Kl. 8:RobinFritsh29.

Mainz, Frauenlob-Gymnasium(betreuenderLehrerHerr Mattheis):

Kl. 6:LeonhardConrath 19;VitorJans15;ValentinaPreuhs9.

Kl. 7:NiklasBraun17;JuliaBraunshädel7,Luas Feringa4;JanaVeit8.

Kl.9:KiraBittner6;FelixBraun4.

Mainz, GymnasiumGonsenheim: Kl.13:Alexey Tyukin21.

Mainz, Rabanus-Maurus-Gymnasium:Kl.6:MagdalenaWinkelvoÿ13.

Mannheim,Peter-Petersen-Gymnasium (betr.LehrerHerr Wittekindt):

Kl.5:LeoLutz14.

Kl.9:SteenHettler 1,TimLutz13,TobiasSoldan1.

Marktoberdorf, Gymnasium:Kl. 11:FlorianShweiger26.

Neuss, GymnasiumMarienberg (betr. LehrerinFrauCordulaLangkamp):

Kl.6:AnnikaShmitz11.

Kl.10:Vivien Kohlhaas18. Kl.11:Madeline Kohlhaas19.

Neuss, Quirinus-Gymnasium:

Kl.5:KristinaThomsen3;

Kl.6:DanielLinn8;NathalieLinn8;SarahLinn8;PaulNehrig1.

Oberursel, Gymnasium(betreuendeLehrer FrauBeitlihundFrauElze):

Kl. 5: Jakob Kuhn14; SarahVogel 16; LeonWietshorke 10;Julian Zimmer

14. Kl.6:MihaelArasim 7;Julius Asal 9;Andrea Behrent 19;LutzBisho

14;Annika Brinkmann10; ChristinaDiel7;YanniDöring11;Marus Dörner

9; Yasmina Gab 3; Mihael Grunwald 13; Anna-Lena Hok15; Tim Hoh 10;

Anna-Maria Klaas 16; Kathi Klauda 12; Heiko Kötzshe 15; Lea Leopold 7;

NatalyLipp 10;Babette Marshner7;MartinMüller15; Thi ThaoNguyen6;

Mariam Rahi 8; Jonas Shramm 5; Felix Sobotta14; Nils Thomas 7; Julian

Tjardes8;Eva-MarieWagner 13.

Kl.8: ValentinKuhn23;

Kl.11:Biana Bellhambers7;VitaBellhambers 6.

Kl.12:ValentinWalther23. Kl.13:StefanAlbert22.

Remagen,GymnasiumNonnenwerth(betreuender LehrerHerrMeixner):

Kl.8:DavidFeiler30.

Reutlingen, Friedrih-List-Gymnasium:Kl. 7:Luis Ressel15.

Stendal,Winkelmann-Gymnasium:Kl.10:Alexander Rettkowski8.

Wiesbaden, Leibniz-Gymnasium:Kl.8:DorotheaWinkelvoÿ12.

Winnweiler,Wilhelm-Erb-Gymnasium(betr.Lehrer HerrKuntz):

Kl.6:SarahGrabelmann9,AnnaLenaMeier9,LenaMohr9;

Kl.7: LorenaRitzmann12.

Wittlih, Peter-Wust-Gymnasium(betr.LehrerinFrauElisabethMaringer):

Kl.9: AnnaArendt10.

◮

Herausgeberund RedaktionbegrüÿenherzlihalleneuenLeserinnenund Leser, diesihmitdem Jahr2009 zuder Sharder MONOID-Leser(innen)und

-Löser(innen)hinzugesellthaben.

◮

^Das^Jahr ²⁰⁰⁸ ^war ^das^Jahr ^der Mathematik.MONOID hat hierzu ein Son-derheftbeigesteuert,dasalleAbonnent(inn)enzusätzliherhaltenhaben.-Das

BundesministeriumfürBildungundForshunghatzusammenmitderInitiative

Wissenshaft im Dialog das Jahr 2009 unter das Zeihen Forshung gestellt:

ForshungsexpeditionDeutshland.MONOIDermuntertseineLeser(innen)shon

immer,sihforshendmitmathematishenFragenundProblemenauseinander

zu setzen:DieRubriken MathismahenmathematisheEntdekungen,Wer

forshtmit? und DieSeite(n) fürden Computer-Fan ladenhierzu ein.

Ent-sprehend werden die in diesen Rubriken erzielten Punkte Grundlage für die

VergabeeinesForsherpreises2009sein,der2008erstmalsvergebenwurde.

◮

Forsherinnen hatten es zu früheren Zeiten niht leiht, den akademishen Weg über eine Habilitation zu beshreiten, da eine solhe Frauen niht

ge-stattet wurde.Der Beitrag von FrauDr. habil.MargaritaKraus in der Rubrik

Werwar's?beshreibtdieseindringlih.FrauKrausistAkademisheRätinim

Institutfür MathematikundinzwishenMitgliedder MONOID-Redaktion.

◮

^Zum Jahreswehsel gab es auh einen Wehsel im MONOID-Büro: Marel Gruner, bisherzuständigfürdieErstellungund dasLayoutderMONOID-Hefte,

legtderzeitseinStaatsexamenabundwirddemnähstindasReferendariatfür

den gymnasialenShuldienstwehseln.DieRedaktiondankt HerrnGruner für

seine engagierteund umsihtigeMitarbeit,diedeutlih zurQualität derHefte

beigetragen hat. Von seiner Erfahrungprotieren nun seine Nahfolger Boris

BaltesundSteenWolf. (E.K.)

Die Redaktion

Leitung:Dr.EkkehardKroll,Südring106,55128Mainz

Mitglieder: Angelika Beitlih, Prof. Wolfgang J. Bühler, Ph. D., Markus

Dillmann, Christa Elze, Dr. Hartwig Fuhs, Dr. Klaus Gornik,Marel Gruner ,

Dr. Cynthia Hog-Angeloni, Arthur Köpps, Wolfgang Kraft, PD Dr.

Marga-rita Kraus, Helmut Ramser, Silke Shneider, Prof. Dr. Hans-Jürgen Shuh,

Prof.Dr.DuovanStraten,Dr.SiegfriedWeber

WeitereMitarbeiter:Dr.ValentinBlomer,MartinMattheis,Dr.VolkerPriebe,

Dr.StefanKermer

ZusammenstellungundSatz:Boris Baltes,MarelGruner,Steen Wolf

Internet:JulianeGutjahr

Betreuung derAbonnements:Katherine Pillau

Inhalt

HartwigFuhs:AusZweimahEins . . . 3

MargaritaKraus:Werwar's? . . . 4

HartwigFuhs:EulersBerehnungvon

π

^mit^einemPrimzahlensieb . . 7

HartwigFuhs:HättestDuesgewusst?WasisteinunendliherAbstieg 10 HartwigFuhs:DiebesondereAufgabeÜberdieZerlegeungvon spitz-winkligenDreiekeninspitzwinkligeDreieke . . . 13

DieSeitenfürdenComputer-Fan. . . 15

MathismahenmathematisheEntdekungen . . . 16

LösungenderMathespielereienausMONOID96 . . . 17

NeueMathespielereien . . . 23

NeueAufgaben . . . 25

GelösteAufgabenausMONOID96 . . . 27

Werforshtmit? . . . 32

HartwigFuhs:EinBlikhinterdieKulissenDerTrikdesTopologen 33 WolfgangJ.Bühler:MathematisheLese-EkeLesetippszurMathematik 36 BundeswettbewerbMathematik2009,Runde1 . . . 37

WolfgangJ.Bühler:MathematisheAhnenDasMathematis Genea-logyProjet . . . 43

RubrikderLöserundLöserinnen . . . 44

MitteilungenvonHerausgeberundRedaktion . . . 47

Impressum . . . 47

AbonnementbestellungenperPostoderüberdieHomepage.

EinJahresabokostet8

e

(4 Ausgaben/Jahr inkl.Porto),im Vorausauf das Konto Nr. 505948018beider MainzerVolksbank,BLZ 55190000,Stihwort

MONOID,zuüberweisen;Adressebittenihtvergessen.

FürAuslandsüberweisungengeltenIBAN:DE28551900000505948018und

BIC:MVBMDE55.

Herausgeber:InstitutfürMathematikanderJohannesGutenberg-Universität

mitUnterstützungdurhdenVereinderFreundederMathematikander

Uni-versitätMainzunddurhfolgendeShulen:

Elisabeth-Langgässer-GymnasiumAlzey,

Karolinen-GymnasiumFrankenthal,

GymnasiumOberursel.

Anshrift: InstitutfürMathematik,MONOID-Redaktion,

JohannesGutenberg-Universität,55099Mainz

Telefon: 06131/39-26107, Fax:06131/39-24389

E-Mail: monoidmathematik.uni-mainz.de

Homepage: http://www.mathematik.uni-mainz.de/monoid

Im Dokument ahgag29 (Seite 40-48)

Z ≡ r mod z, in Worten: Z ist kongruent r modulo z

Z ≡ r mod z

Z ′ ≡ r ′ mod z ⇒ (Z + Z ′ ) ≡ (r + r ′ ) mod z,

Z ≡ r mod z ⇒ kZ ≡ kr mod z

k ∈

.

z > 0

r

0 ≤ r ≤ z − 1

z

− 1

z

• z

• z

• z

z

10 m

0 ≤ m ≤ z − 1

r m

10 m ≡ r m mod z

r m 6 = 0

m

z

r m

z − 1

1, 2, ..., z − 1

ℓ

m

0 ≤ ℓ < m

r ℓ = r m

10 m − 10 ℓ ≡ (r m − r ℓ ) ≡ 0 mod z,

10 m − 10 ℓ = (10 m −ℓ − 1) · 10 ℓ

z

z

10 m −ℓ − 1 ≡ 0 mod z

10 m −ℓ − 1

z

10 m −ℓ − 1

m − ℓ

z

z = 2 t · y

t ≥ 1

y

x n x n − 1 ... x 1 x 0

x n , x 0 6 = 0

x = 2 t

n + 1 ≤ t

n = 0

t = 1

2 t ≤ 10 t − 1

t ≥ 2

w = x · 10 t + x = x · 10 t + 2 t = (x · 5 t + 1) · 2 t ,

x

x 0 x 1 ... x n − 1 x n

2 t

w

(t + n + 1)

w D = x 0 x 1 ... x n − 1 x n 00 ... 00

| {z }

d −

x n x n − 1 ... x 1 x 0 ,

d = t − n − 1.

w

2 t

w

y

p

10 p ≡ 1 mod y

10 p · q ≡ 1 mod y

q ≥ 1.

q ∗

s := p · q ∗ ≥ t + n + 1.

y

1+10 s +10 2s +...+10 (y − 1)s

1

y

y

y

y

w · (1 + 10 s + 10 2s + · · · + 10 (y − 1)s )

Z ^′ ≡ r ^′ mod z ⇒ (Z + Z ^′ ) ≡ (r + r ^′ ) mod z,

10 ^m

10 ^m ≡ r m mod z

10 ^m − 10 ^ℓ ≡ (r m − r ℓ ) ≡ 0 mod z,

10 ^m − 10 ^ℓ = (10 ^m ^−ℓ − 1) · 10 ^ℓ

10 ^m ^−ℓ − 1 ≡ 0 mod z

10 ^m ^−ℓ − 1

10 ^m ^−ℓ − 1

z = 2 ^t · y

x = 2 ^t

2 ^t ≤ 10 ^t ⁻ ¹

w = x · 10 ^t + x = x · 10 ^t + 2 ^t = (x · 5 ^t + 1) · 2 ^t ,

2 ^t

2 ^t

10 ^p ≡ 1 mod y

10 ^p ^· ^q ≡ 1 mod y

q ^∗

s := p · q ^∗ ≥ t + n + 1.

1+10 ^s +10 ^2s +...+10 ^(y ⁻ ^1)s

w · (1 + 10 ^s + 10 ^2s + · · · + 10 ^(y ⁻ ^1)s )

z = 2 ^t · y

2 ^t

z = 5 ^t · y

a ^ϕ(z) − 1 ≡ 0 mod z.

{ q 1 , ..., q _ϕ(z) }

a ^ϕ(z) · r 1 · r 2 · ... · r _ϕ(z) = (a · r 1 ) · (a · r 2 ) · ... · (a · r _ϕ(z) )

≡ q 1 · q 2 ... q _ϕ(z) mod z

r 1 · r 2 · ... · r _ϕ(z)

(a ^ϕ(z) − 1) · r 1 · r 2 · ... · r ϕ(z) ≡ 0 mod z;

ggT(r 1 · r 2 · ... · r _ϕ(z) , z) = 1