Zusammenhang mit physikalishen Messprozessen

Die Shwankungen, denen die Ergebnisse einer physikalishen Messung unterliegen, werden

(wie in Abshnitt 2.1 beshrieben) durh Zufallsprozesse verursaht. In der Regel ist die

Wahrsheinlihkeitsverteilung, der diese Zufallsprozesse unterliegen, unbekannt. Es gibt

je-doh einen wihtigen Satz in der Statistik, den sogenannten Zentralen Grenzwertsatz. Er

besagt, dassbei einer groÿen Zahlvon identishen, gleihverteilten Zufallsvariablen sih

un-abhängig von der eigentlihen Wahrsheinlihkeitsverteilung immerinsgesamt eine

Normal-verteilungergibt (sieheauh Abs.2.3.3):

w(x) = 1

√ 2πσ e ^{− 1 2} ( ^x−ˆ _σ ^x ) ²

(2.3.25)

Eine solhe Situation ist in der Regel die Messung einer Gröÿe mit einem makroskopishen

(aussehrvielenAtomenundMolekülenaufgebauten)Messgerät.Mankannalsoübliherweise

bei physikalishenMessungen davon ausgehen, dass diese in einer Normalverteilung um den

Mittelwertstreuen.

Die Zufallsgröÿe tritt im Exponenten quadratish auf. Ohne auf eine genauere theoretishe

Begründung eingehenzu wollen,so kann man doh zeigen, dassaus dieser Tatsahe sowohl

das Prinzip der kleinsten Quadrate als auh die quadratishe Addition in der gauÿshen

Fehlerfortpanzung begründetwerdenkönnen.

Berehnung des Fehlers des Mittelwerts

Mit den hiereingeführten Begrienkann man nunden Faktor

1/ √

N

^{aus Gleihung (2.2.7)}

erklären.

DieVarianz

σ _x ²

^{einerMessgröÿe}

x

^{gibtwieobengesagtdiemittlere}quadratisheAbweihung um den Mittelwert

x ¯

^{an,die bei einer Messungzu erwarten ist. Man kann sie aus einer}

ge-gebenen Wahrsheinlihkeitsverteilungwieoben beshrieben durh

E

(x − x) ¯ ²

bestimmen.

Wir interessieren uns aber nun für den wahren Wert

x ˆ

^{und wollen die mittlere Abweihung}

desMittelwerts

x ¯

^{um denwahren Wertermitteln.}

Dazuberehnen wirdenErwartungswertderquadratishen Abweihung desMittelwertsvom

wahren Wert.

DieTermeindem obigenShrittfür

j 6 = k

^sind

= 0

^{,daessihhierum}Kovarianzenhandelt.

Die Verteilungsfunktionfür alle

x _i

^{ist natürlih dieselbe,so dass diese} vershwinden. Somit erhältman denZusammenhang

∆¯ x = p

E [(¯ x − x) ˆ ² ] = √ ^{σ x} N = √ ^∆x

N

^{ausGleihung (2.2.7).}

HiersollennoheinigewihtigeWahrsheinlihkeitsverteilungenbesprohenwerden.Alserstes

wirdaufdie kontinuierliheNormalverteilungeingegangen und danahdie diskrete

Binomial-sowie alswihtigerGrenzfalldavon die Poisson-Verteilung vorgestellt.

Die Normalverteilung

Die Normalverteilung bzw. Gauÿ-Verteilung, deren Bedeutung im vorigen Abshnitt erklärt

wurde, istgegeben durh:

w(x) = 1

√ 2πσ e ^{− 1 2} ( ^x−ˆ _σ ^x ) ²

(2.3.27)

Der Parameter

σ

^{ist die} Standardabweihung (wie man sie auh aus der Denition (2.3.23) überdie Varianzerhalten würde),

x ˆ

^istder Erwartungswertder Verteilung.

σ

^{ist einMaÿfür}

die Breite derVerteilung,die um

x ˆ

^{zentriertist.Der VorfaktorstelltdieNormierungsiher.}

DieStandardabweihung istbeidieserVerteilung so,dass68,2%aller MesswerteimIntervall

[µ − σ, µ + σ]

^{liegen.Es giltalso:}

P (µ − σ < x < µ + σ) = Z +σ

− σ

w(x) = 1

√ 2πσ Z +σ

− σ

e ^{− 1 2} ( ^x−µ _σ ) ² ∼ = 68, 2%

^(2.3.28)

Ineiner

2σ

^{-Umgebungliegen}

95, 5%

^undineiner

3σ

^{-Umgebungliegen}

99, 7%

^{derMesswerte.}

DaaufgrunddeszentralenGrenzwertsatzesphysikalisheMessfehlerinderRegelGauÿ-verteilt

sind, istderFehlerdesMittelwertsso zuinterpretieren,dassder wahreWertmit

68, 2%

^-iger

Wahrsheinlihkeit in einer Umgebung von

∆¯ x

^{um den Mittelwert liegt, mit}

95, 5%

^-iger

Wahrsheinlihkeitin einer

2 ∆¯ x

^{-Umgebung, usw.}

Die Binomialverteilung

Häug tritt der Fallauf, dassin einemZufallsexperimentnur zwei Ereignisseauftreten

kön-nen und zwar entweder das eineoderdas andere.Einfahstes Beispielistwohl das Werfen

einerMünze:EntwedermanerhältWappenoderZahl.(DassdieMünzeaufderKantestehen

bleibt, wollenwirhiereinmal ausshlieÿen...:-) )

Solhe Zufallsexperimente heiÿen binomialverteilt. Da sih beide Ereignisse ausshlieÿen,

spriht man neben der Wahrsheinlihkeit

p

^{für das Eintreen des} Ereignisses A von der Gegenwahrsheinlihkeit

q

^{fürdas Eintreenvon EreignisB. Wegen (2.3.5)gilt}

q = 1 − p

^(2.3.29)

Die Wahrsheinlihkeit

P

^bei

N

^-faher Durhführung eines Zufallsexperiments

k

^{-mal das}

Ereignis Azu erhaltenist gegeben durhdie Binomialverteilung:

- 2 0 2 4 x 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

wHxL

Abbildung 2.3.2: Die Normalverteilung mit

x ˆ = 0, σ = 0, 7

(durhgezogene Linie) und

ˆ

x = 1, σ = 1, 2

(gestrihelte Linie).

P _k ^N = N

k

p ^k q ^{N − k}

^(2.3.30)

Die Binomialkoezienten sindgegeben durh

N k

:= N !

k!(N − k)!

^(2.3.31)

Erwartungswert undVarianz der Binomialverteilung

Wirwollen nunden Erwartungswert der Binomialverteilung(2.3.30) bestimmen:

E(k) = X N

k=0

kP _k ^N = X N

k=0

k N

k

p ^k q ^{N − k}

^(2.3.32)

Nun bedienen wiruns einesTriks: Wirverwenden einfah, dass

∂

∂p p ^k = kp ^{k − 1}

^ist.

X N

Wirziehen nun

p _∂p ^∂

^vordas Summationszeihen:

X N

Nun verwenden wirden BinomishenSatz, wie eraus derAnalysisbekannt ist:

(p + q) ^N =

Demnah könnenwiralso shreiben:

p ∂

Fürdie BestimmungderVarianzbenötigen wirnoh

E(k ² )

^.

E ² (k)

^{haben wirmit(2.3.37)ja}

imGrunde genommenshon berehnet, esist

E ² (k) = N ² p ²

^(2.3.38)

Zur Bestimmung von

E(k ² )

^{bedienen wir uns wieder des} Ableitungstriks. Wir müssen diesmal allerdingszweimalableiten, umstatt

k

^imSummenzeihen

k ²

^{zu erhalten:}

E(k ² ) =

Wirziehen die Ableitungenwieder aus derSumme und verwenden (2.3.35) :

X N

Wirführen dieDierentiationenaus und erhalten:

p _∂p ^∂ p _∂p ^∂

(p + q) ^N

=

p _∂p ^∂

N p(p + q) ^{N − 1}

= N p

(p + q) ^{N − 1} + p(N − 1)(p + q) ^{N − 2}

= N p [1 + p(N − 1)]

= N p + N ² p ² − N p ²

^(2.3.41)

Damit erhaltenwir:

V (k) = E(k ² ) − E ² (k) = N p + N ² p ² − N p ² − N ² p ² = N p − N p ² = N p(1 − p)

^(2.3.42)

Mit

1 − p = q

^{folgtdann die gesuhte Varianzder} Binomialverteilung:

V (k) = N · p · q

^(2.3.43)

Die Poisson-Verteilung

Die Binomialverteilung wird für groÿe

N

^{sehr unhandlih (Versuhen Sie einmal, 100! auf}

IhremTashenrehnerauszuführen!).Gilt

N → ∞

^und

p → 0

^{,soverwendetmandie}

Poisson-Verteilung:

P (k) = µ ^k

k! e ^{− µ}

^(2.3.44)

Radioaktive Zerfälle sind beispielsweise Poisson-verteilt (Die Anzahl der Kerne

N

^{ist sehr}

hoh, die Wahrsheinlihkeitfür einenZerfall aber meistsehr, sehrgering). Ist

N → ∞

^und

p → 0

^{nihtmehr gegeben,}

N

^{aber weiterhin sehr groÿ, so lässt sihdie} Binomialverteilung durheine Gauÿ-Verteilungnähern.

Für denErwartungswert derPoisson-Verteilungkann manzeigen:

k ˆ = X ∞

k=0

k µ ^k

k! e ^{− µ} = µ

^(2.3.45)

sowie fürdie Varianz:

σ ² = X ∞

k=0

(k − µ) ² µ ^k

k! e ^{− µ} = µ

^(2.3.46)

Bei derPoisson-Verteilungsind alsoErwartungswertund Standardabweihung identish.

0 5 10 15 20 25 30 k 0.02

0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

pHkL

Abbildung 2.3.3:Die Poisson-Verteilung für

µ = 10

^{(shwarz) und}

µ = 20

^(grau).

3.1 Einführung

In diesem Versuh sollendie Widerstände vershiedener passiver Bauelemente mit Hilfeder

Wheatstoneshen Brükenshaltung bestimmt werden. Dies ist ein Alternativverfahren zur

BestimmungdesWiderstandesdirektüberdasOhmsheGesetz

U = R · I

^{,waseineMessung}

von Spannung undStromstärke erfordern würde.

Der Versuh setztsih auszwei Teilenzusammen:

•

^{ImerstenTeildesVersuhssollenmitHilfeeiner}WheatstoneshenMessbrükefolgende unbekannten Gröÿengemessenwerden:

der Widerstandeinesohmshen Widerstandes

der Wehelstromwiderstand(auh kapazitiverWiderstand

oderBlindwiderstand) einesKondensators

•

^{ImzweitenTeilwirddie}TemperaturabhängigkeitvershiedenerLeitertypenuntersuht.

Anhand der Leitfähigkeit bei vershiedenen Temperaturen sollen folgende Leitertypen

identiziertwerden:

metallisherLeiter

Halbleiter

temperaturunabhängiger Leiter

3.2 Physikalishe Grundlagen

Hier sollkurzauf diefür denVersuh notwendigen Grundlagen eingegangen werden.Es wird

vorausgesetzt, dassderLeser bereitsmitfolgenden Begrienvertrautist:

•

^Spannung

•

Stromstärke

•

^ohmsher Widerstand/ohmshesGesetz

Der WiderstandR istabhängig von derGeometriedesLeiters undseinen

Materialeigenshaften.Esergibt sih:

R = ̺ · l

A

^(3.2.1)

Der Widerstand

R

^istproportionalzurLänge

l

^undumgekehrtproportionalzumQuershnitt

A

^{. Die}Materialkonstante

ρ

^{heiÿt spezisher} Widerstand.

3.2.2 Kirhhoshe Regeln

In einemabgeshlossenenSystembleibtdie Ladungerhalten.Daraus folgt,dassStrom,

wel-herineinenPunkthineinieÿt,dortnihtvershwindenkann.Ermusssomitwiederabieÿen.

Es folgtdie Knotenregel:

In einem Knoten ist die Summe der zuieÿenden Ströme gleih der Summe der

abieÿenden Ströme.

I ₁

I ₂

I ₃ I ₄ I ₅ I ₆

Abbildung 3.2.1: ZurKnotenregel: Es gilt hier

P I _k = 0

Aus der Energieerhaltungfür daselektrostatisheFeld folgtautomatish

die Mashenregel. Sie gilt, solange kein Austaush mit anderen Energieformen stattndet,

z.B. durh dieErzeugung eineszeitlihverändertenMagnetfeldes.Sie lautet:

IneinemgeshlossenenTeilkreis(Mashe)istdieSumme derauftretenden

Span-nungen immernull.

+

-Abbildung 3.2.2:Zur Mashenregel: Fürjede Mashe gilt

P U _k = 0

3.2.3 Wehselstromwiderstände

Die Kirhhoshen Gesetze gelten niht nur für ohmshe Widerstände, sondern auh für

kapazitive (z.B. Kondensator) und induktive (z.B. Spule) Widerstände. Bei einer

Wehsel-spannung miteinerKreisfrequenz

ω

^giltnun:

•

^OhmsherWiderstand:

R = ^U _I

Spannung und Stromstärkesind inPhase.

•

Kapazitiver Widerstand:

X _C = ^U _I ⇒ X _C = _ωC ^{− i}

DieSpannung hängtder Stromstärke um

90 ^◦

^hinterher.

Man beahtedabei,dasseineGleihspannungdem Grenzfall

ω → 0

^{entspriht, dh.ein}

kapa-zitiver Widerstandleitetkeinen Strommehr(sein Widerstandwirdunendlih).

Bei kapazitiven Widerständen ist der ohmshe Widerstand vernahlässigbar klein. Da eine

Spule jedoh aus einem aufgewikelten Draht besteht, hat sie einen niht zu

vernahlässi-genden ohmshenWiderstand. Man kann siheine reale Spuleaus einer idealenSpule (rein

induktiverWiderstand) undeinemohmshen Widerstandzusammengesetzt vorstellen.

3.2.4 Zeigerdiagramme

Da bei kapazitiven Widerständen Stromstärke und Spannung niht in Phase laufen, ist auf

den erstenBlikdie Phasendierenzvon Wehselstromkreisenmitvershiedenen

Widerstän-den nihtersihtlih.ZurVerdeutlihungbenutztmanZeigerdiagramme.

Auf der reellen Ahse werden Strom und ohmsher Widerstand eingezeihnet, auf der

ima-ginären Ahseentsprehend ihrerVorzeihender kapazitive Widerstand. DieTeilspannungen

in einemNetzwerk von Widerständen werden vektorielladdiert. Esergibt sihdie Spannung

U ges

^{,die um denWinkel}

ϕ

^{vonder PhasedesStromes abweiht.}

3.2.5 Typen von Leitern

Metallisher Leiter

Die Ladungsträger ineinem metallishenLeitersind Elektronen,diese bendensih in

stän-diger thermisher Bewegung. Da der Leiternah auÿen jedoh elektrishneutral ist,giltfür

denDurhshnittderthermishenGeshwindigkeiten

v _th

^{allerElektronenimLeiter}

~v _th = ~ 0

^.

Wird nun an den Leiterein äuÿeres elektrishes Feld angelegt, erfahren die Elektronen eine

Kraft,die siein eineRihtung beshleunigt.Jetztkönnensihdie ElektronenineinemLeiter

jedoh niht freibewegen, sondern stoÿen ständigmit ihren Rümpfen zusammen. Die

Elek-tronen erfahren eineArt Reibungskraft, die dafür sorgt, dasssie nur bisauf einebestimmte

Geshwindigkeit,dieDriftgeshwindigkeit

v _d

^,beshleunigtwerden. JegröÿerdieTemperatur

T

^{desLeiters, desto gröÿer die thermisheBewegung derAtomrümpfe sowie der Elektronen}

unddestowahrsheinlihereinZusammenstoÿ.Esistdaherfestzuhalten:Mitsteigender

Tem-peratur nimmtder WiderstandeinesmetallishenLeiterszu.

Für den spezishen Widerstand eines metallishenLeitersgilt (wobei

C ₁

^eine Materialkon-stante ist):

̺ = C ₁ · T

^(3.2.2)

Auf die Herleitung dieserBeziehung soll an dieser Stelle verzihtet werden. Eine detaillierte

Herleitung sollte sihin Lehrbühern über Elektrodynamik unter dem Stihwort metallishe

Leiter ndenlassen(z.BDemtröder,Experimentalphysik2,2.Auage,S.43f.undS.47.

oderOtten, Repetitoriumder Experimentalphysik ,S.498.).

Bemerkung:

Jenah ReinheitsgradistdieseAbhängigkeitnihtreinlinearundeskannpassieren, dassder

dieseBeziehungnurfüreineneingeshränktenTemperaturbereih,beisehrniedrigenundsehr

hohenTemperaturentretenandereEekteauf,z.BSupraleitungbeiniedrigenTemperaturen.

Halbleiter

Mit Hilfedes mehanishen Modells, das für die metallishen Leiterverwendet wurde, kann

mandieEekte,dieinHalbleiternauftreten,nihtbeshreiben.Hiermussmandassog.

Bän-dermodell heranziehen. Im Bändermodell benden sih Elektronen entweder im Leiterband,

wo sie zum Strombeitragen können, oder imValenzband, wo sie dies niht können. Bei

ei-nem Leitersind Leiterband und Valenzband direkt beieinander, bei einem Isolatorsehr weit

voneinander getrennt.Bei einemHalbleiterjedoh, istdie Lüke (Gap) gerade so groÿ, dass

ElektronenvomValenz-insLeiterbandspringenkönnen.Dazugenügtes,dieTemperaturdes

Halbleiters zu erhöhenund so thermisheEnergiehinzuzufügen. Wirhaltenfest: Der

Wider-stand einesHalbleiters nimmt mitsteigender Temperatur ab.Die Gröÿe der Lüke,genannt

Gapbreite

E G

^{,kann jenahHalbleiter biszu}

3

^{eV betragen.}

Abbildung 3.2.4:Bändermodell fürLeiter, Halbleiter undIsolator.

Für denWiderstand einesHalbleiters inAbhängigkeit von

T

^gilt:

R = C ₂ · exp

E _G 2k B · T

(3.2.3)

Dabei ist

k _B

^die Boltzmann-Konstante,

T

^{die Temperatur in Kelvin und}

C ₂

^eine

Material-konstante. Wir verzihten hier wieder auf eine ausführlihe Herleitung (sie ist z.B in Vogel,

GerthsenPhysik 20.Auage, S.401zu nden).

Dieserbestehtaus einemGemishaus metallishenLeiternund Halbleitern.Diese Mishung

ist so gewählt, dass der Leiter über weite Temperaturbereihe einen möglihst konstanten

Widerstandbesitzt.

3.3 Versuhsaufbau

DieMessapparatur besteht aus:

•

^EinerGleihspannungsquelle

U ₀

^{zurMessungder ohmshen}Widerstände

•

^{Bzw. einer} Wehselspannungsquelle zurMessungdes kapazitivenWiderstands

•

^{Einem bekannten}Vergleihswiderstand

Z ₀

^{,jeweils realisiert durh}

eineOhm-Dekade, alsohmshenVergleihswiderstand

eineC-Dekade, alskapazitivenVergleihswiderstand

•

^Demunbekannten, zu bestimmendenWiderstand

Z _x

•

^{Einem digitalen}Amperemeter

•

^Einem Shiebewiderstand, aufdem das Verhältnis

R ₁

^zu

R ₂

eingestellt

•

^{Einem Maÿstabe, deram} Shiebewiderstand befestigtist,mitdem die Länge

l ₁ ∼ R ₁

bzw.

l 2 ∼ R 2

^{abgelesen werdenkann}

Abbildung 3.3.1: Wheatstone-Brüke.

DieBrükenshaltungbestehtausdembekanntenVergleihswiderstand

Z ₀

^,demunbekannten Widerstand

Z X

^{und dem} Shiebewiderstand, mit dem das Verhältnis

R 1 − R 2

eingestellt

werdenkann.DieWiderstände

R 1

^und

R 2

^{bildendieeigentliheBrüke}(eingespannterDraht).

Sie werden durh einen Shleifkontakt realisiert, d.h. der mittlereAbgri kann vershoben

werden.Da wiebereitsweiterobenerwähnt,einohmsherWiderstandproportionalzuseiner

Länge ist,kann jedes gewünshte Verhältniseingestelltwerden.

Somit kann die Brüke bei geeignetem Vergleihswiderstand so gewählt werden, dassdurh

dasAmperemeterkein Strommehrieÿt.IstdieseEinstellunggefunden,kannüberdie

Kirh-hoshen Regeln der unbekannte Widerstand bestimmt werden. Man erhält nah wenigen

Shritten die Beziehung:

R 1

R ₂ = Z x

Z ₀

^(3.3.1)

Diese giltsowohl für ohmsheals auhfürkapazitive Widerstände.

3.4 Versuhsdurhführung

3.4.1 Erster Teil

Zur Bestimmungdesohmshenund deskapazitivenWiderstandes wirddie Shaltungwie in

Abb.3.3.1(S.34)aufgebaut.FürdenohmshenWiderstandwirdeineGleihspannungsquelle

verwendet, für den kapazitiven Widerstand eine Wehselspannungsquelle, in unserem Fall

sinusförmig mit einer Frequenz von a.

1

^{kHz, verwendet. Es ist die Messbrüke für jeweils}

dreiVergleihswiderstände,diemitHilfederR-bzw.C-Dekaderealisiertwerden,abzugleihen.

Dasbedeutet,derShiebewiderstandistsoeinzustellen,dassdasAmperemeterkeinenStrom

mehr anzeigt. DieLänge

l ₁

^{und der} Vergleihswiderstand

R ₀

^{sind jeweils zu notieren. Esist}

darauf zu ahten, den Vergleihswiderstand

R ₀

^{so zu wählen, dasssih}

l ₁

^{in einem Bereih}

von

25

^mbis

75

^{mbendet, dadortder Fehler amgeringsten wird(vgl. Absh.2).}

3.4.2 Zweiter Teil

Hier gehtmanim Wesentlihen sovor, wie bei der Bestimmungdesunbekannten ohmshen

Widerstandes. Zunähst ist jedoh der Behälter, in dem sih die drei Leitertypen benden,

mit knapp unter

100 ^◦

^{C heiÿem Wasser zu befüllen. Damit im Wasserbad beim Abkühlen}

keinTemperaturgradiententsteht,sollendievorhandenenRührshe benutztwerden,umdie

FlüssigkeitinBewegungzuhalten.DieWassertemperaturimBehälteristwährenddesganzen

Versuheskontinuierlihzu kontrollieren.

DahierderohmsheWiderstandderLeitertypenbestimmtwerdensoll,wirdwieinAbb.3.3.1

(S.34)aufgebautundeineGleihspannungsquelleverwendet.Erreiht dieWassertemperatur

90 ^◦

^{C ,istderWiderstandderdreiLeiterdurhAbgleihenderBrükezubestimmen.Dieswird}

währenddesAbkühlens alle

10 ^◦

^Cwiederholt,bisdas WasseraufRaumtemperatur abgekühlt ist. Es sind jeweils die Nummer des Leiters,der Vergleihswiderstand

R ₀

^{, die Länge}

l ₁

^und

die Temperatur

T

^{zu notieren. Bei der Auswertung des} Halbleiters ist unbedingt darauf zu ahten, die Temperaturvon Grad Celsiusin Kelvinumzurehnen!

3.5.1 Aufgaben zur Vorbereitung

1. Leiten SieGleihung 3.3.1 her.

2. Berehnen Sie,beiwelhemVerhältnis

R ₁ − R ₂

^{der Messfehlerminimalwird.}

3.5.2 Auswertung

1. ErmittelnSiedie Werteund Fehler fürdie gemessenen Widerstände.

2. BestimmenSiebeiderTemperaturabhängigkeitsmessung,welherderdreiWiderstände

Halbleiter,LeiteroderkonstanterWiderstandist.TragenSiedieWertealler

Widerstän-de in ein R-T-Diagrammein.

3. Tragen Sie für den Halbleiter zusätzlih

ln R

^{gegen die reziproke Temperatur in}

K ^{− 1}

(niht

C

^{!)auf undbestimmenSie ausder Steigungdie Gapbreite.}

4. Mahen Sie sih Gedanken über die systematishen Fehler in allenVersuhsteilenund

shätzen Siediese ab.

Hinweise Erster Teil: Esist günstig, einen mit

w i = _σ ¹

i (Z _(x,i) ) ²

^{gewihteten Mittelwert}

zu bilden(mit

i = 1, . . . , N

^und

N

^{istdie Anzahl der}Messungen):

Z ¯ x =

P w _i Z _i

P w _i

^(3.5.1)

HinweiseZweiterTeil: UmausdenMesswertendieGapbreite

E _G

^zubestimmen,

zeih-net man (mit

i = 1, . . . , N

^und

N

^{ist dieAnzahl der}Messpunkte):

x _i = 1 T _i y _i = ln(R _i )

(3.5.2)

Mit diesenPunkten führtman einegewihtetelineareRegression durh:

y i = ln(R i ) = m · x i + b

^(3.5.3)

Wegen

ln(R) = _2k ^{E G}

B T + ln(C)

^{(vgl. Gl.(3.2.3) S.33) folgtdann:}

E _G = α · 2k _B

^(3.5.4)

HinweiseFehlerabshätzung: DieMesstoleranzenderMultimetersindder

entsprehen-den AnleitungderGeräte für denjeweiligenMessbereihzu entnehmen.

4.1 Einführung

Mit diesemVersuhsoll die LadungdesElektrons

e

^{bestimmtwerden.}

4.2 Physikalishe Grundlagen

Eine Kugelhat denRadius

r

^{und bewegt sihin einemMediumder Viskosität}

η

^{und nimmt}

dorteineEndgeshwindigkeit

v

^{an.DannstehtdieKugelunterdem Einusseinerkonstanten}

Reibungskraft

F

^{.DieseKraft istgegeben durhdas Stokesshes}Reibungsgesetz, dasnur für sphärisheObjekte gültigist:

F = 6 · π · η · r · v

^(4.2.1)

DurhZerstäubungvonÖlentstehenfeineTröpfhenmiteinemDurhmesservonetwa

1 µm

^.

Sie sindgeringfügigpositivoder negativmiteinemVielfahender Elementarladung

e

aufge-laden.SiewerdenineinelektrishesFeldeinesPlattenkondensatorshineingeblasen.Indiesem

elektrishen Feld überlagert sihdie Shwerkraftund die elektrostatisheAnziehungskraft.

Abbildung 4.2.1: Blik durh das Mikroskop. Der Abstand von zwei Teilstrihen

zuein-anderbeträgt

48 ± 2 µm

^.

nung

U

^{und ohne Spannung. Deswegen gibt es im Folgenden zwei Indizes. Mit angelegter}

Spannung steigtdasTröpfhen,somitbezeihnet

v ₂

^dieGeshwindigkeiteinessteigenden,

v ₁

dieGeshwindigkeiteinesfallendenTröpfhens.DurhdasMikroskopsiehtmandasallerdings

genau andersherum.In Abbildung4.2.1 istesanshaulih dargestellt.

Im Kräftegleihgewihtgilt:

− mg + e U

d − 6πηrv 2 = 0

^(4.2.2)

mg − 6πηrv ₁ = 0

^(4.2.3)

Dabei istdie Masse

m

^{desTröpfhens überdie Dihte}

ρ

^{des Ölsgegeben als}

m = 4

3 πρr ³

^(4.2.4)

Nah Gleihsetzender Gleihungen4.2.2 und4.2.3 undEinsetzen in4.2.4 folgt dann:

r = d = 6 mm

^Abstandder Kondensatorplatten (4.2.9)

ρ = 0, 87 g

cm ³

^{Dihte desbenutztenÖls (4.2.10)}

DieGeshwindigkeitderTröpfhenberehnetsihnahausderMehanikbekanntenFormel,

s

^{ist der}zurükgelegte Weg:

v = s

t

^(4.2.11)

(4.2.12)

Der relativeFehler von

v

^{istgegeben durhdie bekannte Relationder} Fehlerfortpanzung:

σ _v

ndet man mittelsFehlerfortpanzung

An einen Plattenkondensator mit einem Plattenabstand von

6 mm

^{wird eine Spannung}

U

von

0

^bis

600 V

^{angelegt.Indieses elektrisheFeld des}Plattenkondensators werden Öltröpf-henmittelsZerstäubunghineingeblasen.DiesewerdendurhReibungelektrishgeladen.Mit

einem Mikroskop werden die Tröpfhen in Dunkelfeldbeleuhtung als Lihtpunkte gesehen.

Man misstdieZeit,in derdieTröpfheneinebestimmtStreke zurükgelegthaben. Möglih

ist das mit Hilfe eines Okularmaÿstabes. Zwei Teilstrihe haben einen Abstand zueinander

von

48 ± 2 µm

^{,sieheAbbildung 4.2.1.Mitdemnunbekannten}zurükgelegten Weg undder gemessenen Zeitkann dieGeshwindigkeit derTröpfhen bestimmtwerden.

4.4 Versuhsdurhführung

Aus einer Wolke von Tröpfhen, die beim Zerstäuben entsteht, wählt man ein geeignetes

heraus,dasohneelektrishesFeld genügendlangsamfälltundbeimAnlegeneinesFeldesvon

300V/6mm bis600V/6mmlangsam steigt.

Man misst zunähst mit der Stoppuhr seine Steiggeshwindigkeit und die zugehörige

Span-nung. AnshlieÿendwirdseineFallgeshwindigkeitimfeldfreienRaumgemessen.EinePerson

sollteimmerdieTröpfhenimAuge behaltenunddieStoppuhrbedienen,während dieandere

Person die Spannungen einstellt.

4.5 Auswertung

Es sollen 20 Tröpfhen beobahtet und jeweils die Ladung und der Radius der Tröpfhen

bestimmtwerden. Für gleihgroÿeTröpfhen sinddie Ladungen die gleihen Vielfahender

Elementarladung.

•

^{BestimmenSie die}Elementarladung.

•

^{Wie groÿistdie Abweihung zum} Literaturwert?(

e _lit = 1, 602 · 10 ^{− 19} C

^,Diskrepanz)

•

^{Wodurhkommtdiese Abweihung zustande?}

dung entsprehen. In einem Diagramm, in dem man die Ladung der Tröpfhen nah 4.2.6

einzelnaufträgtndensihHäufungslinien.DasistbeispielhaftinAbbildung4.5.1 zusehen.

Abbildung 4.5.1: Häufungslinien

Nun bestimmtman die Funktionen der einzelnen Häufungslinien; hierfürüberlege dirsowohl

eine analytishe alsauh eine grashe Methode. Welhe wirstdu anwenden? Anshlieÿend

bestimmt man die Abstände der benahbarten Geraden. Mit dem gewihteten Mittel kann

man nundie Elementarladung bestimmen.

s _ij

^{sei der Abstandzweier} benahbarten Geraden

i

^und

j

^.

h e i =

P ω _ij s _ij

P ω _ij

^(4.5.1)

σ h e i = s 1

P ω ij

(4.5.2)

mit

ω _ij = _σ ¹

sij 2

^.

des Elektrons

5.1 Einführung

In diesem Versuh soll die spezishe Ladungdes Elektrons, das Verhältnis seinerLadung

e

zu seinerMasse

m

^{,mitHilfeeines}Helmholtzspulenpaarsermitteltwerden.

5.2 Physikalishe Grundlagen

5.2.1 Bewegte Ladungen im Magnetfeld

Bewegt sihein LadungsträgerimMagnetfeld, so wirktauf ihndie Lorentzkraft

F ~ _L = q · ~v × B. ~

^(5.2.1)

Hierbei bezeihnet

q

^{die elektrisheLadung und}

~v

^die Geshwindigkeit des Ladungsträgers,

B ~

^istdie Magnetfeldstärke.

Ein Helmholtzspulenpaar erzeugt mittig ein homogenes Magnetfeld. Erfolgt die Bewegung

eines Elektronssenkrehtzum homogenen magnetishen Feld (Abb. 5.2.1), so wirktauf das

ElektroneinekonstanteKraft

F _L

^von

F _L = e · v · B

^(5.2.2)

wobei

F ~ _L ⊥ ~v

^und

F ~ _L ⊥ B ~

^ist.

Das Elektron bewegt sih dann auf einer Kreisbahn mit dem Radius

r

^{. Die} Lorentzkraft agiertin diesemFallalsZentrifugalkraft

F _Z

^.Esgiltalso

e · v · B = mv ²

r .

^(5.2.3)

DurhUmstellenerhältman

e m = v

B · r .

^(5.2.4)

In diesem Versuh wird das Elektron durh eine elektrishe Spannung

U

beshleunigt und besitzt somit eine kinetishe Energie

1

2 mv ² = eU

^{. Stellt man diese Gleihung nah der}

Geshwindigkeit

v

^{um undsetzt siedanninGleihung 5.2.4 ein,soergibtsihshlieÿlih für}

die spezisheLadung

e

m

^desElektrons

e

m = 2U

(B · r) ² .

^(5.2.5)

Abbildung 5.2.1:Elektronenbahn ineinem Magnetfeld

B

^{senkreht zur}Zeihenebene.

5.2.2 Erzeugung eines homogenen Magnetfeldes durh ein

Helmholtzspulenpaar

Abbildung 5.2.2:Helmholtzspulenpaar.

Ein Helmholtzspulenpaarbestehtaus zwei Spulender Windungszahl

n

^imAbstand

R

zuein-ander.

Die magnetishe Feldstärke

B

^im Mittelpunkt einer einzigen Spule lässt sih mit Hilfe der

magnetishenFeldkonstante

µ 0

^,derWindungszahl

n

^,derStromstärke

I

^{unddesRadiusdurh}

B = 1

2 µ ₀ nI

R

^(5.2.6)

berehnen.

Die Länge

L

^{derSpule sollteklein gegenüberdem Radius}

R

^sein.

Ein Helmholtzspulenpaar erzeugt ein homogenes Feld indem man zwei dieser Spulen

par-allelbezüglihihrerSymmetrie-Ahsesoaufstellt,dasssihihreMittelpunkteimAbstanddes

Radius

R

^{benden. WerdendieseSpulennunin gleiherRihtung vomStromIdurhossen,}

so ergibtsihim Inneren desSpulensystemsein homogenesFeld der Stärke

B = 4

5 ³ ₂

µ ₀ nI

R .

^(5.2.7)

5.3 Versuhsaufbau

Abbildung 5.3.1: Shematisher Aufbau des Fadenstrahlrohrs: 1 - Halterung mit

Span-nungsversorgung,2-Elektronenquelle,3- Elektronenstrahl,4-

Strahl-rohr, 5- Radius-Markierung.

Im Inneren des Helmholtzspulenpaars bendet sih eine Fadenstrahlröhre (Abb. 5.3.1), die

mit Edelgas gefüllt ist. Eine Glühkathode dient als Elektronenquelle. Dort werden die

mit Edelgas gefüllt ist. Eine Glühkathode dient als Elektronenquelle. Dort werden die

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