Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2012/13

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 3, 21.11.2012, Abgabe 28.11.2012

Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Sei p(x)∈Z[x] vom Grad d und monisch

C3 ={(p(x)/N)^jxⁱ |0≤i < d,0≤j < h}

C₃⁰ =C₃∪ {b_k(x)|0≤k < dh}

b_k(x) =x(x−1)· · ·(x−k+ 1)/k!

Es bezeichne stets detL⁰₃ = detL(L⁰₃).

Aufgabe 1. Zeige: Es gibt inC₃⁰ zuk= 0, . . . , dh−1genau zwei Polynome vom Gradk nämlichq(x)∈ {(p(x)/N)^jxⁱ, b_k(x)}mitk =jd+i. Diese liefern zur Matrix L⁰₃ von C₃⁰ als Spalten die Koezientenvektoren von q(xB) mit den Koezienten N^−jB^k, B^k/k! fürx^k+1 in Zeile k+ 1.

Diese beiden Spalten kann man unimodular so transformieren, dassN^−jB^k, B^k/k!

übergeht inggT(k!, N^j)B^k/(N^jk!)und0. Es folgtdetL⁰₃ ≤detL₃/Q

0≤k<dhk!.

Aufgabe 2. Von L₃ auf L⁰₃ erhöht sich B um den Faktor (detL₃/detL⁰₃)^dh(dh−1)2 ≥(Q

0≤k<dhk!)^dh(dh−1)2 ≈ _e^dh_3/2. Hinweis: k!≈(k/e)^k, Pdh−1

k=0 kln(k/e)≈Rdh+1

1 klnk = ^dh₂ . Integriere klnk durch partielle Integration.

Aufgabe 3. Beweise Theorem 14 des Kapitels 3 der Dissertation von Alexander May.