Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2016/17
Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen
Blatt 1, 26.10.2016, Abgabe 02.11.2016
Entnehme γn der Tabelle 2.2.2 auf Seite 21 des Skripts zur Vorlesung Gitter und Kryptographie und ebenso R8 auf Seite 21.
Aufgabe 1. Sei Rn∈Rn×n die Untermatrix der erstenn Zeilen und Spal- ten von R8. Zeige fürn = 4,5,6,7,8: λ21 = 2 =γn(detRn)2/n.
Damit sind die Gitter L(Rn)kritisch. Benutze dass λ1(L(R8))2 = 2.
(Dies folgt aus Lemma 2.2.3, 1 des Skripts. 3 Zusatzpunkte für den Beweis)
Aufgabe 2. Sei Rn die Untermatrix der ersten n Zeilen und Spalten der Basis R24des Leech-Gitters (Skript S.24). Berechne die Hermite-Invarianten γ(L(Rn)) = 4/det(Rn)2/n für n = 8,9,10,11,12,16,20,23,24. Dabei sind γ(L(Rn))für n = 8,9,12,16,20,24zur Zeit maximal.
Aufgabe 3. Beweise mit Satz 4.1.4, Lemma 4.1.2 des Skripts : Für jede LLL–Basis zu 14 < δ ≤1gilt kb1k2/λ21 ≤αn−12 /(rd(L)2γn)fürα= (δ−14)−1.
Dabei ist rd(L) = λ1/(√
γn(detL)1/n) die relative Dichte des Gitters L.
Diese obere Schranke zu kb1k2/λ21 ist deutlich besser als kb1k2/λ21 ≤ αn−1 von Satz 4.1.4, 2 falls rd(L)2 > α−n−12 /γn.
5 Punkte pro Aufgabe
