Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2018/19

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 2, 05.11.2018, Abgabe 12.11.2018 vor der Vorlesung

Aufgabe 1. Beweise mit Satz 4.1.4, Teil 3, Lemma 4.1.2 des Skripts : Für jede LLL–Basis zu ¹₄ < δ ≤ 1 gilt kb₁k²/λ²₁ ≤ αⁿ⁻¹² /(rd(L)²γ_n) für α = (δ− ¹₄)⁻¹.

Dabei ist rd(L) = λ₁/(√

γ_n(detL)^1/n) die relative Dichte des Gitters L.

Diese obere Schranke zu kb1k²/λ²₁ ist deutlich besser als kb1k²/λ²₁ ≤ αⁿ⁻¹ von Satz 4.1.4, 2 falls rd(L)² > α⁻ⁿ⁻¹² /γ_n.

Aufgabe 2. Zeige mittels (4.2) vom Beweis zu Prop.1 die heuristische SVP-Laufzeitschranken^O(1) p_n

eπ r1,1

λ1

¹₄ ⁿ

2

n−12^n/4 = 2^n/8+o(n) für beliebiges rd(L)≤1 falls r_1,1 ≤λ₁n^o(1)√

eπ. Vervollständige die Beweisskizze zu (4.4), Seite 8 der Arbeit Factoring Integers · · · .

Aufgabe 3. SeiL(B)Gitter,dim(L) = n,λ₂ ≥λ₁n,Lmitn-uniqueSVP.

B seik-reduziert so dass nach Teil 1. von Satz 6.4.3 Skript||b₁||< λ₁γ

n−1 k−1

k . Zeige mit Satz 2.3.1, Skript dass rd(L) < n^−1+1/n – Vervollständige die Be- weisskizze zuγ-uniqueSVPin der ArbeitFactoring Integers· · ·. Hinweis:

Satz 2.3.1 im Skript ist Minkowski’s zweiter Satz.

Punktzahl 5, 6, 5 Punkte für Aufgabe 1, 2, 3