Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2016

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 4, 07.12.2016, Abgabe 14.12.2016

Aufgabe 1. Beweise Theorem 14 (Howgrave-Graham) des Kapitels 3 der Dissertation von Alexander May. Übertrage und vervollständige den Beweis von Theorem 5.

Aufgabe 2. Sei N = pq ∈ N, p, q prim. Sei 2⁴ⁿ⁻¹ < q < p < 2⁴ⁿ (somit 2⁸ⁿ⁻² < N <2⁸ⁿ) und p=a+ 2ⁿc+ 2³ⁿe mit a, e∈[0,2ⁿ[, c∈[0,2²ⁿ[.

Zeige, man kann N zu gegebenen a, e in Zeit n^O(1) zerlegen.

Hinweis: Wende Thm 7 (May) an auff_p(x) =a+2ⁿ(x+2²ⁿ⁻¹)+2³ⁿe(ist nicht monisch).fp hat Nullstellex0 =c−2²ⁿ⁻¹ modulop,|x0| ≤2²ⁿ⁻¹ < N^1/4/√

2.

Es werden Thm 11 und Thm 12 von May kombiniert.

Aufgabe 3.

Sei N =Qk

i=1p¯^e_iⁱ mit k verschiedenen Primzahlen p¯_i, e_i ∈N,p¯^e_iⁱ 6= 2.

Zeige, dassX² = 1 mod N genau2^kviele Lösungen hat. Benutze dassZ^∗N ∼= Z^∗_p¯^e1

1

× · · · ×Z^∗_p¯^ek

k

, QR_N ∼=QR_p¯^e1

1 × · · · ×QR_p¯ek

k . Z^∗p¯^e_i ist zyklisch für p¯_i 6= 2.

5 Punkte pro Aufgabe