Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2014/15

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 3, 05.11.2014, Abgabe 19.11.2014

Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Sei p(x) ∈ Z [x] vom Grad d und monisch und ggT( (dh − 1)!, N ) = 1 C 3 = {(p(x)/N ) ^j x ⁱ | 0 ≤ i < d, 0 ≤ j < h}

C ₃ ⁰ = C ₃ ∪ {b _k (x) | 0 ≤ k < dh}

b _k (x) = x(x − 1) · · · (x − k + 1)/k!, beachte b _k ( Z ) ⊂ Z Es bezeichne stets det L ⁰ ₃ = det L(L ⁰ ₃ ).

Aufgabe 1. Es gibt in C ₃ ⁰ zu k = 0, . . . , dh − 1 genau zwei Polynome vom Grad k nämlich q(x) ∈ {(p(x)/N ) ^j x ⁱ , b _k (x)} mit k = jd + i, j = bk/dc. Diese liefern zur Matrix L ⁰ ₃ von C ₃ ⁰ als Spalten die Koeffizientenvektoren von q(xB) mit den Koeffizienten B ^k N ^−j , B ^k /k! für x ^k+1 in Zeile k + 1.

Zeige: Diese beiden Spalten kann man unimodular so transformieren, dass B ^k N ^−j , B ^k /k! übergeht in B ^k N ^−j /k! und 0. Es folgt det L ⁰ ₃ ≤ det L ₃ / Q

0≤k<dh k!.

Aufgabe 2. Zeige: Von L ₃ auf L ⁰ ₃ erhöht sich B um den Faktor (det L ₃ / det L ⁰ ₃ )

≥ ( Q

0≤k<dh k!)

≈ _e ^dh

. Hinweis: k! ≈ (k/e) ^k , P dh−1

k=1 k ln k ≈ R dh

1 k ln k dk = ¹ ₂ (dh) ² (ln dh − 1/2).

Integriere k ln k durch partielle Integration.

Aufgabe 3. Beweise Theorem 14 des Kapitels 3 der Dissertation von

Alexander May.