Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen Blatt 5, 13.01.2020, Abgabe 20.01.2020 in Kasten N. Schulz, Flur 3. Stock

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2019/20

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 5, 13.01.2020, Abgabe 20.01.2020 in Kasten N. Schulz, Flur 3. Stock Aufgabe 1.

Sei N = Q k

i=1 p ^e _i

mit k verschiedenen Primzahlen p i 6= 2 , e i ∈ N.

Zeige, dass X ² = 1 mod N genau 2 ^k viele Lösungen hat. Benutze dass Z ^∗ N ∼ = Z ^∗ _p

1

× · · · × Z ^∗ _p

k

, QR _N ∼ = QR _p

1

× · · · × QR _p

k

. Z ^∗ p

ist zyklisch für p _i 6= 2 . Aufgabe 2. Beweise Theorem 14 (Howgrave-Graham) des Kapitels 3 der Dissertation von Alexander May. Übertrage und vervollständige den Beweis von Theorem 5.

Aufgabe 3. Sei B =















1 0

... ...

0 · · · 1

a ₁ · · · a _n















∈ R ^(n+1)×n . Zeige det B ^t B = 1 +

n

P

i=1

a ² _i .

Hinweis: B ^t B =

















1 + a ² ₁ a ₁ a ₂ · · · a ₁ a _n a ₁ a ₂ 1 + a ² ₂ · · · a ₂ a _n

... ... ... ...

a ₁ a _n a ₂ a _n · · · 1 + a ² _n

















hat die Eigenvektoren

x ₁ = (a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) ^t zum Eigenwert λ ₁ = 1 + a ² ₁ + · · · + a ² _n und

x _k = (−a _k , 0, .., 0, a ₁ , 0, ..., 0) ^t (mit a ₁ an der k -ten Stelle) zum Eigenwert λ _k = 1 für k = 2, 3, ..., n . Es gilt B ^t B[x ₁ , ..., x _n ] = [λ ₁ x ₁ , .., λ _n x _n ] ,

det(B ^t B) = Q n

i=1 λ _i (bitte alles prüfen)

5, 5, 6 Punkte für Aufgabe 1,2,3