Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2016/17
Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen
Blatt 5, 21.12.2016, Abgabe 11.01.2017
Aufgabe 1. Bestimme zu N ≈ 1020, L(Bn,c) für n = 128, p128 = 719 ein möglich kleines cso dassrd(L)≤ ||bλ1
1||
peπ
2n
1/2
für||b1|| ≤2λ1, bzw.≤4λ1.
Hinweis : rd(L(Bn,c)) = √γ λ1
ndet(L(Bn,c))1/n, λ1 = (2clnN + 1)1/2+o(1) nach Lemma 2 für grosse N, detL(Bn,c)1/n ≈ √
lnp128N2c/n(1±o(1)). Benutze γ128 = 11.48656
Aufgabe 2. Überarbeite den Beweis von Lemma 2 der Arbeit Factoring Integers by CVP Algorithms und zeige dass λ1 ≈(2clnN + 1)1/2+o(1) gilt falls es ein b ∈ L(Bn,c) gibt mit ||b|| = λ1 und b ∼ (u, v) so dass uv fast quadratfrei ist.
Aufgabe 3. Sei B=
1 0
. .. ...
0 · · · 1 a1 · · · an
∈R(n+1)×n. Zeige
detBtB= 1 +
n
P
i=1
a2i .
Hinweis: BtB =
1 +a21 a1a2 · · · a1an a1a2 1 +a22 · · · a2an
... ... . .. ... a1an a2an · · · 1 +a2n
hat die Eigenvektoren
x1 = (a1, a2, ..., an)t zum Eigenwert λ1 = 1 +a21+· · ·+a2n und
xk = (−ak,0, ..,0, a1,0, ...,0)t (mit a1 an der k-ten Stelle) zum Eigenwert λk= 1 für k = 2,3, ..., n. Es gilt BtB[x1, ...,xn] = [λ1x1, .., λnxn],
det(BtB) =Qn
i=1λi (bitte alles prüfen)
6 Punkte pro Aufgabe
