Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2018/19

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 4, 03.12.2018, Abgabe 10.12.2018 vor der Vorlesung

R⁰₁₆ =

√2 ^√1

2

√1

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

√

√3 2

√1 6

√

√2

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 ^√2₃ ^√1₃

√ 3

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 ¹₂ 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 ¹₂ 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

√ 3 2

√1 3

√2

3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

√

√2 3

√1

6 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 ^√1

2

√1

2 0 0 ^√1

2 0 0 ^√1

2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 ^√1

2

√1

2 0 0 ^√1

2 0 0 ^√1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ^√1₂ ^√1₂ 0 0 ^√1₂ 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂ 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂ ¹₂ 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂ ¹₂ 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂ ¹₂ 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂ ¹₂ 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂ ¹₂

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹₂

Aufgabe 1.

Berechne zur Gitterbasis R⁰₁₆ die Hermite–Invarianten der Untergitter mit den Basen R⁰_n der ersten n = 9, ...,16 Spalten von R⁰₁₆ unter der Annahme dass λ²₁(L(R⁰₁₆)) = 2. Vergleiche mit der Tabelle 2.4.3 zum Gitter L(R₁₆) im Skript zur Vorlesung Gitter und Kryptographie.

10 Sonderpunkte für ein b∈ L(R⁰₁₆)mit 0<||b||² <2.

Aufgabe 2.

Zeige dass die BasisR⁰₁₁der ersten 11 Spalten vonR⁰₁₆isomorph ist zur Basis R₁₁ im Satz 2.4.4. Nach Satz 2.4.4 gilt alsoλ²₁(L(R⁰₁₁) = 2.

Sei p(x)∈Z[x] vom Grad d und monisch und ggT( (dh−1)!, N) = 1 C3 ={(p(x)/N)^jxⁱ |0≤i < d,0≤j < h}

C₃⁰ =C₃∪ {b_k(x)|0≤k < dh}

b_k(x) =x(x−1)· · ·(x−k+ 1)/k!, beachteb_k(Z)⊂Z

Aufgabe 3. Es gibt in C₃⁰ zuk = 0, . . . , dh−1genau zwei Polynomeq(x) vom Grad k nämlich bk(x) und (p(x)/N)^jxⁱ mit j = bk/dc und k =dj +i.

Diese liefern zur Matrix L⁰₃ vonC₃⁰ als Spalten die Koeffizientenvektoren von q(xB)mit den Koeffizienten B^kN^−j, B^k/k! für x^k+1 in Zeilek+ 1.

Zeige: Diese beiden Spalten kann man unimodular so transformieren, dass B^kN^−j, B^k/k!übergeht inB^kN^−j/k!,0. Es folgtdetL⁰₃ = detL3/Q

0≤k<dhk!.

Punktezahl 5, 3, 5 für Aufgabe 1, 2, 3