Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2017

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 4, 04.12.2017, Abgabe 11.12.2017

Aufgabe 1.

Zeige dass λ²₁ = 2 für L(R12). Dabei sei λ²₁ = 2 für L(R10) schon bewiesen.

Gebe Details für die ”analogen Beweis-Ansage” im neuen Skript der Vorle- sung Gitter und Kryptographie.

Aufgabe 2.

Zeige dass λ²₁ = 2 für L(R₁₃), L(R₁₅). Dabei sei λ²₁ = 2 für L(R₁₄) schon bewiesen. Gebe Details für die ”analogen Beweis-Ansage” im neuen Skript der Vorlesung.

Sei p(x)∈Z[x] vom Grad d und monisch und ggT( (dh−1)!, N) = 1 C₃ ={(p(x)/N)^jxⁱ |0≤i < d,0≤j < h}

C₃⁰ =C₃∪ {b_k(x)|0≤k < dh}

b_k(x) =x(x−1)· · ·(x−k+ 1)/k!, beachteb_k(Z)⊂Z

Aufgabe 3. Es gibt in C₃⁰ zuk = 0, . . . , dh−1genau zwei Polynomeq(x) vom Grad k nämlich b_k(x) und (p(x)/N)^jxⁱ mit j = bk/dc und k =dj +i.

Diese liefern zur Matrix L⁰₃ vonC₃⁰ als Spalten die Koeffizientenvektoren von q(xB)mit den Koeffizienten B^kN^−j, B^k/k! für x^k+1 in Zeilek+ 1.

Zeige: Diese beiden Spalten kann man unimodular so transformieren, dass B^kN^−j, B^k/k!übergeht inB^kN^−j/k!,0. Es folgtdetL⁰₃ = detL₃/Q

0≤k<dhk!.

Punktezahl 5, 7, 5 für Aufgabe 1, 2, 3