Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2015/16

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 3 23.11.2016, Abgabe 30.11.2016

Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Aufgabe 1. Behandle den Fall p_d 6= 1, ggT(p_d, N) = 1 nach Remark 1, Seite 21 (Copp.). Zeige für die Gitter L,L⁰ zuC₁ ={x⁰,· · · , x^d−1, p(x)} und C₁⁰ ={x⁰,· · ·, x^d, p(x)} gilt : det(L)/p_n= det(L⁰) = B^d(d+1)/2N⁻¹.

Hinweis : B^dZ+p_dB^dN⁻¹Z=B^dN⁻¹Z folgt aus ggT(p_d, N) = 1.

Aufgabe 2. Beweise Remark 2, Seite 22. Zeige, dass man in der enabling condition c₁(d)(detL₁)^d+11 < _d+1¹ die rechte Seite _d+1¹ durch ^√_d+1¹ ersetzen kann. Die Schranke für B erhöht sich um den Faktor (d+ 1)¹².

Hinweis: Wende |<x,y>| ≤ ||x|| ||y|| an auf x= (v₀x⁰₀,· · · , v_dx^d₀), y= (sign(v₀x⁰₀),· · · , sign(v_dx^d₀)).

Sei p(x)∈Z[x] vom Grad d und monisch und ggT( (dh−1)!, N) = 1 C₃ ={(p(x)/N)^jxⁱ |0≤i < d,0≤j < h}

C₃⁰ =C₃∪ {b_k(x)|0≤k < dh}

b_k(x) =x(x−1)· · ·(x−k+ 1)/k!, beachteb_k(Z)⊂Z

Aufgabe 3. Es gibt in C₃⁰ zuk = 0, . . . , dh−1genau zwei Polynomeq(x) vom Grad k nämlich bk(x) und (p(x)/N)^jxⁱ mit j = bk/dc und k =dj +i.

Diese liefern zur Matrix L⁰₃ vonC₃⁰ als Spalten die Koeffizientenvektoren von q(xB)mit den Koeffizienten B^kN^−j, B^k/k! für x^k+1 in Zeilek+ 1.

Zeige: Diese beiden Spalten kann man unimodular so transformieren, dass B^kN^−j, B^k/k!übergeht inB^kN^−j/k!,0. Es folgtdetL⁰₃ = detL3/Q

0≤k<dhk!.

5 Punkte pro Aufgabe