Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen Blatt 3 25.11. Abgabe 02.12. in Kasten N. Schulz, Flur 3.Stock Zu

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2019/20

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 3 25.11. Abgabe 02.12. in Kasten N. Schulz, Flur 3.Stock

Zu ”Factoring integers by SVP and CVP algorithms".

Aufgabe 1. Sei dim(L(B)) = n, λ₂ ≥ n λ₁ , also rd(L) ≤ n^−1+1/n nach Seite 8 von ”Factoring integers· · · fürn-unique SVP . B seik-reduziert für k = 24 so dass _||b^λ1_1|| > γ

1−n k−1

k nach Satz 6.4.3 des Skripts. Zeige dass rd(L) ≤ ^√1

2(_||b^λ1

1||

q2eπ

n )^1/4 für n ≤ 330. Damit ist SVP nach Prop. 2 für m = ⁿ₂ lösbar in pol. Zeit unter den Annahmen von Prop. 2. Benutzeγ₂₄ = 4.

Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Aufgabe 2. Behandle den Fall p_d 6= 1, ggT(p_d, N) = 1 nach Remark 1, Seite 21 (Copp.). Zeige für die Gitter L,L⁰ zuC₁ ={x⁰,· · · , x^d−1, p(x)} und C₁⁰ ={x⁰,· · ·, x^d, p(x)} gilt : det(L)/p_n= det(L⁰) = B^d(d+1)/2N⁻¹.

Hinweis : B^dZ+p_dB^dN⁻¹Z=B^dN⁻¹Z folgt aus ggT(p_d, N) = 1.

Aufgabe 3. Beweise Remark 2, Seite 22. Zeige, dass man in der enabling condition c₁(d)(detL₁)^d+11 < _d+1¹ die rechte Seite _d+1¹ durch ^√_d+1¹ ersetzen kann. Die Schranke für B erhöht sich um den Faktor (d+ 1)^1d.

Hinweis: Wende |<x,y>| ≤ ||x|| ||y|| an auf x= (v₀x⁰₀,· · · , v_dx^d₀), y= (sign(v₀x⁰₀),· · · , sign(v_dx^d₀)).

5 Punkte pro Aufgabe