Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2017/18

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 3 20.11.2017, Abgabe 27.11.2017

Aufgabe 1. Sei L(B) Gitter, dim(L) = n, λ₂ ≥ λ₁n, L mit n-unique SVP. B sei k-reduziert so dass nach Satz 6.4.3 Skript _||b^λ1

1|| > γ

1−n k−1

k . Zeige dass rd(L) ≤ ^√1

2(_||b^λ1

1||

q2eπ

n )^1/4 für n ≤ 460 gilt und somit SVP unter den Annahmen für Prop. 2 für m = ⁿ₂ pol. Zeit ist. Es genügt zu zeigen dass n^−1+1/n < ^√1

2γ⁻

1 4

n−1 31

32 (^2eπ_n )^1/8 für n = 460,400,300 für γ₃₂= 3∗√ 2.

Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Aufgabe 2. Behandle den Fall p_d 6= 1, ggT(p_d, N) = 1 nach Remark 1, Seite 21 (Copp.). Zeige für die Gitter L,L⁰ zuC₁ ={x⁰,· · · , x^d−1, p(x)} und C₁⁰ ={x⁰,· · ·, x^d, p(x)} gilt : det(L)/p_n= det(L⁰) = B^d(d+1)/2N⁻¹.

Hinweis : B^dZ+p_dB^dN⁻¹Z=B^dN⁻¹Z folgt aus ggT(p_d, N) = 1.

Aufgabe 3. Beweise Remark 2, Seite 22. Zeige, dass man in der enabling condition c₁(d)(detL₁)^d+11 < _d+1¹ die rechte Seite _d+1¹ durch ^√_d+1¹ ersetzen kann. Die Schranke für B erhöht sich um den Faktor (d+ 1)^1d.

Hinweis: Wende |<x,y>| ≤ ||x|| ||y|| an auf x= (v₀x⁰₀,· · · , v_dx^d₀), y= (sign(v₀x⁰₀),· · · , sign(v_dx^d₀)).

5 Punkte pro Aufgabe