Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen Blatt 1, 21.10.2019, Abgabe 28.10. Kasten N. Schulz, Flur 3. Stock Entnehme die Hermite-Konstante

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2019/20

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 1, 21.10.2019, Abgabe 28.10. Kasten N. Schulz, Flur 3. Stock Entnehme die Hermite-Konstante γn der Tabelle 2.4.1 auf Seite 22 des Skripts zu Gitter und Kryptographie und ebenso die Matrix R₈ auf Seite 22.

Aufgabe 1. SeiRn∈R^n×n die Untermatrix der erstenn Zeilen und Spal- ten von R₈. Zeige fürn = 4,5,6,7,8: λ²₁ = 2 =γ_n(detR_n)^2/n.

Damit sind die Gitter L(Rn)kritisch. Benutze dass λ1(L(R8))² = 2. (Dies folgt mit Lemma 2.4.1 des Skripts. 2 Zusatzpunkte für den Beweis) Ein GitterLder Dimnhat die Hermite-Invarianteγ(L) = λ²₁/(det(L)^2/n= rd(L)²γ_n.L ist kritisch gdw γ(L) =γ_n, also wenn rd(L) = 1.

Aufgabe 2. Sei R_n die Untermatrix der ersten n Zeilen und Spalten der Basis R₂₄ des Leech-Gitters (Skript Seite 27). Berechne die Hermite- Invariantenγ(L(R_n))fürn = 4,8,12,16,20,24. Zeige, dass der Maximalwert γ(L(R_n))der Tabelle 2.4.2 (Skript Seite 24) für n6= 12 stets erreicht wird.

Hinweis: Das Leech Gitter hat λ₁ = 2.

Aufgabe 3. SeiR_n die Matrix der erstennZeilen, Spalten der Matrix R₁₂ im Skript Seite 24. Zeige λ²₁(L(R₁₀)) = 2 mit Lemma 2.4.1.. Vergleiche die Werte γ(R_n) für n = 9,10mit den Maximalwerten der Tabelle 2.4.2, Skript Seite 24.

Punkte für Aufgabe 1, 2, 3 : 5, 6, 5