Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen Blatt 4, 09.12.2018, Abgabe 16.12. in Kasten N. Schulz, Flur 3. Stock Sei

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2019/20

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 4, 09.12.2018, Abgabe 16.12. in Kasten N. Schulz, Flur 3. Stock Sei p(x)∈Z[x] vom Grad d und monisch und ggT( (dh−1)!, N) = 1

C₃ ={(p(x)/N)^jxⁱ |0≤i < d,0≤j < h}

C₃⁰ =C₃∪ {b_k(x)|0≤k < dh}

b_k(x) =x(x−1)· · ·(x−k+ 1)/k!, beachteb_k(Z)⊂Z Aufgabe 1. Es gibt in C₃⁰ zuk = 0, . . . , dh−1genau zwei Polynomeq(x) vom Grad k nämlich b_k(x) und (p(x)/N)^jxⁱ mit j = bk/dc und k =dj +i. Diese liefern zur Matrix L⁰₃ vonC₃⁰ als Spalten die Koezientenvektoren von q(xB)mit den Koezienten B^kN^−j, B^k/k! für x^k+1 in Zeilek+ 1.

Zeige: Diese beiden Spalten kann man unimodular so transformieren, dass B^kN^−j, B^k/k!übergeht inB^kN^−j/k!,0. Es folgtdetL⁰₃ = detL₃/Q

0≤k<dhk!.

Aufgabe 2.

Berechne zur Gitterbasis R₁₂im Skript auf Seite 24 die HermiteInvarianten der Untergitter mit den Basen R_n der ersten n = 9, ...,12 Spalten von R₁₂ unter der Annahme dassλ²₁(L(R₁₂)) = 2. Vergleiche mit der Tabelle 2.4.2 im Skript.

Punktezahl 5, 5 für Aufgabe 1, 2