Ausgewählte Gitteralgorithmen

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2011/12

Ausgewählte Gitteralgorithmen

Blatt 1, 26.10.2011, Abgabe 02.11.2011

Zu D. Coppersmith: Finding small solutions of small degree polynomials.

Aufgabe 1. Behandle den Fall, dassp(x) nicht monisch ist, p_d6= 1, nach Remark 1, Seite 21.

Zeige, dass das Gitter zu C₁⁰ = C₁ ∪ {x^d} die Dimension d + 1 und die Determinante N⁻¹B^d(d+1)/2 hat.

Aufgabe 2. Beweise Remark 2, Seite 22.

Zeige, dass man in der enabling condition c₁(d)(detL₁)^d+11 < _d+1¹ die rechte Seite _d+1¹ durch ^√_d+1¹ ersetzen kann. Die Schranke für B erhöht sich um den Faktor (d+ 1)^1d.

Aufgabe 3. Behandele die Erweiterung von C₃ zu C₃⁰ (Seite 23) durch die Polynome b_k(x) = x(x−1)· · ·(x−k)/k! für k = 0, . . . , dh−1. Zeige, dass die Gitterbasis L⁰₃ zu C₃⁰ eine obere Dreiecksmatrix ist, deren ktes Diagonalelement (1/k!)B^kN^−bk/dc ist. Zeige, dass dies die Schranke für B um den Faktor ( Q

0≤k≤dh

k!)2/[dh(dh−1)] ≈ _e^dh3/2 erhöht.