Gitter und Kryptographie

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2019

Gitter und Kryptographie

Blatt 3, 10.05.2019, Abgabe Freitag 17.05.2019 vor der Vorlesung

Aufgabe 1. Sei A_n = A^t_n = [a_i,j] ∈ R^n×n mit regulären Teilmatrizen A_k= [a_i,j]1≤i,j≤k ∈R^k×k für k= 1, ..., n, also det(A_k)6= 0.

Zeige durch Induktion überndass es eine eindeutige ZerlegungA_n=R^t_nD_nR_n gibt mit einer oberen Dreiecksmatrix R_n = [r_i,j] ∈R^n×n (r_i,j = 0 für i > j) mit r_i,i >0 und Diagonalmatrix D_n mit Diagonale(σ₁, . . . , σ_n)∈ {±1}ⁿ. Hinweis: Fürn = 1 ist die Behauptung trivial. Geber_1,1 und σ₁ an. Für die Induktion von n−1 auf n werden A_n−1 =R^t_n−1D_n−1R_n−1 und R_n−1,D_n−1 erweitert auf A_n,R_n,D_n . Gebe induktive Formeln für σ_n und r_i,n ∈ R für i= 1, ..., nan und zeige dass σ_n und die r_i,n eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe 2. Sei R₂₀ die Matrix der ersten 20 Zeilen und Spalten der Basis R24 des Leech-Gitters, Seite 25 des Skripts. Zeige für die Hermite-Invariante γ(L(R₂₀)) dass γ(L(R₂₀)) = 2¹⁷¹⁰. Dies ist für n = 20 der Maximalwert der Tabelle 2.4.2 des Skripts.

Hinweis: Zeige mit Lemma 2.4.1 dass λ²₁(L(R₂₀)) = 4 und benutze dass λ²₁(L(R20)) =γ(L(R20)) det(R20)²⁰² . Berechne det(R20) benutze det(R24) = 1.

Aufgabe 3. Sei R₁₂ = [r₁, ...,r₁₂] die Basis von Seite 24 des Skripts und R_n = [r₁, ...,r_n]fürn= 9, ...,12. Berechne die Hermite Invariantenγ(L(R_n)) für n = 9, ...,12 unter der Annahme λ²₁(L(R_n)) = 2 und vergleiche mit den γ_n für n= 9, ...,12 von Tabelle 2.4.1, Seite 22 des Skripts.

Punktezahl 5 pro Aufgabe 1,2,3