Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016
Gitter und Kryptographie
Blatt 9, 17.06.2016, Abgabe 24.06.2016
Aufgabe 1. Zeige: Der Algorithmus zur Semi Block 2k-Reduktion führt bei Eingabe einer LLL-Basis B =QR∈Rm×hk höchstens h123 log1/δ
B α Itera- tionen aus bis DB ≤1 erreicht ist, für DB =def Qh−1
`=1(D`/D`+1)h2/4−(h/2−`)2. Hinweis: Skript, Satz 6.2.4, Teil 2. Zeige für Schritt 3: DBneu ≤δB2k2DBalt.
Def. Die Basis B=QR∈Rm×n, n=hk, ist streng primal-dual wenn 1. die R` = [rlk−k+i,lk−k+i]1≤i≤k von R sind HKZ–Basen für ` = 1, . . . , h und B ist längenreduziert,
2. maxT ¯rk`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)rk`+1,k`+1 für ein ` = `max das D`/D`+1
maximiert. maxT ¯r2k`+1,k+1 maximiert r¯k`+1,k`+12 von [¯ri,j]k`−k+1<i,j≤k`+1 :=
GNF(R0`T)über alle T∈GLk(Z). Dabei ist R0` = [ri,j]k`−k+2≤i,j≤k`+1.
Aufgabe 2. Zeige dass für jede streng primal–duale Basis gilt D1/k` ≤ (1 +ε)γkk−12k
D`+11/k für `= 1, . . . , h−1. Dies ersetztαγk2in den Schranken für primal–duale Basen durch (1+ε)γkk−12k . Hinweis: Benutze den Beweis von Satz 6.3.4 (6.7)ff.
Aufgabe 3: Zeige:GAP-CVP√
1+8/n istNP–hart.
Hinweis: Satz 7.2.3 Skript
6 Punkte pro Aufgabe
