Gitter und Kryptographie

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2014

Gitter und Kryptographie

Blatt 3, 07.05.2014, Abgabe Mittwoch, 14.05.2014

Aufgabe 1. Sei R_i ⊂ R₈ die linke obere Untermatriz der Dim. i von R₈ (Skript Seite 21). Berechne für i= 1, . . . ,8die zentrierte Dichte δvon L(Ri) und vergleiche mit den folgenden Wertenδfür die geschichteten GitterΛ_i für i= 1, . . . ,8: 1/2, 1/2√

8, 1/4√

2, 1/8, 1/8√

2, 1/8√

3, 1/16, 1/16 nach Table 1.2, Conway, Sloane, Seite 157.

Aufgabe 2. Sei B=





1 0

0 1

aN bN



 Basismatrix mit a, b, N ∈ Z. Zeige:

1. detL(B) = (1 +N²(a²+b²))^1/2, 2. λ₁(L(B))² ≤a²+b² 3. Für N² > a²+b² gilt für jede Gauss-reduzierteBasis b₁,b₂ :

b₁ = (∗,∗,0)^t, b₂ = (∗,∗, N ·ggT(a, b))^t.

Hinweiszu 2. Es gilt±(a,−b,0)^t ∈ L(B). Benutze zu 3.: Der Eukl. Alg. löst [a, b]

c d e f

= [0,ggT(a, b)]so dass c²+e², d² +f² ≤a²+b².

Aufgabe 3. (Worst Case Gitterbasis zur Gauss-Reduktion k k=k k₂) Sei b₁,b₂ ∈Rⁿ reduzierte Basis,µ_2,1 ≥0, [b_k,b_k+1] := [b₁,b₂]

0 1 1 2

^k−1 . Zeige für k = 2,3, . . . :

1. d^hb_hb^k+1,bki

k,bki c= 2, kb_kk ≤ kb_k+1k.

2. Die Basis b_k,b_k+1 ist wohlgeordnet, d.h.kb_kk ≤ kb_k−b_k+1k ≤ kb_k+1k.

und wird in einer Runde der Gauss-Reduktion in bk−1,b_k transformiert.

Hinweis: Satz 3.2.1 im Skript beweist, dass[b_k,b_k+1],minimalek-te Vorän- gerbasis zu b₁,b₂ ist. 5 Punkte pro Aufgabe