Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2013
Gitter und Kryptographie
Blatt 9, 28.06.2013, Abgabe 12.07.2013
Def. Die Basis B =QR∈Rm×n, n=hk, ist streng primal-dual wenn 1. dieR`vonR sind HKZ–Basen für` = 1, . . . , hundBist längenreduziert, 2. maxT r¯2k`+1,k`+1 ≤(1 +ε)2r2k`+1,k`+1 für `=h−1 und ein `=.`max das D`/D`+1maximiert. maxT ¯rk`+1,k+12 maximiert¯rk`+1,k`+12 von[¯ri,j]k`−k+1<i,j≤k`+1 :=
GNF(R0`T)über alle T ∈GLk(Z). Dabei ist R0` = [ri,j]k`−k+2≤i,j≤k`+1.
Aufgabe 1. Zeige dass für jede streng primal–duale Basis gilt D1/k` ≤ p
(1 +ε)γkk−12k
D`+11/k für `= 1, . . . , h−1. Dies ersetztαγk2in den Schranken für primal–duale Basen durch √
1 +ε γkk−12k . Hinweis: Benutze den Beweis von Satz 6.3.4 (6.7)ff.
Aufgabe 2. Zeige: Alg. 6.3.2 führt höchstens n122hlog√1+εαIterationen aus bis DB≤1 erreicht ist.
Hinweis: Beweis von Satz 6.2.4 Teil 2.
Aufgabe 3. Die Gram–Matrix [Ri,j]1≤i,j≤9 ∈Z9×9 sei definiert durch Ri,j = 2 für i=j, R6,8 =R8,6 = 1/2 und sonst Ri,j = 1 für 1≤ |i−j| ≤2..
Berechne die GNF R9 zu [Ri,j]∈Z9×9
Zeige λ21(R9) = 2 und detR9 = 1. Es folgt γ9 ≥2.
Hinweis: Der Beweis dassλ21(R9) = 2erfordert einen Zusatz zu Lemma 2.2.3 des Skripts. Vergleiche R9 mit der Lösung von Aufgabe 3, Blatt 6. Sind die Gitter äquivalent, also B0 =QBTmit Q isometrisch und T∈GL9(Z) ? Aufgaben 1,2: 6 Punkte, Aufgabe 3: 7 Punkte
