Gitter und Kryptographie

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2009 Blatt 8, 10.06.2009, Abgabe Mittwoch, 17.06.2009

Gitter und Kryptographie

Setze [B ⁰ , y] :=



















2 1

... ...

... ...

2 1

N a 1 · · · · · · N a n N b



















∈ Z ⁽ⁿ⁺¹⁾

.

Aufgabe 1: Zeige für N ≥ 3 :

(a ₁ , . . . , a _n , b) 6∈ Rucksack ⇒ ∀x ∈ Z ⁿ : B ⁰ x − yk ≥ √

n + 8 . Zeige konstruktiv: x ∈ Z ⁿ mit kB ⁰ x − yk < √

n + 8 liefert Rucksacklösung.

Aufgabe 2: Zeige GAP - CVP √

1+8/n ist NPhart.

Hinweis: Benutze Aufgabe 1 und dass oenbar gilt:

(a ₁ , . . . , a _n , b) ∈ Rucksack ⇒ ∃x ∈ Z ⁿ : kB ⁰ x − yk ≤ √ n.

B = [b ₁ , . . . , b _n+1 ] ∈ R (n+2)×(n+1) entstehe aus [B ⁰ , y] durch Zufügen einer n + 2 -ten Zeile (0, . . . , 0, 1) .

Aufgabe 3. Zeige für N ≥ n : (B, √

n + 1) ∈ SVP ⇔ (a 1 , . . . , a n , b) ∈ Rucksack, sofern λ ₁ (L(b ₁ , . . . , b _n )) > √

n + 1 .