Gitter und Kryptographie

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2009

Gitter und Kryptographie

Blatt 5, 20.05.2009, Abgabe Mittwoch, 27.05.2009

Def. Sei R ∈ R ^n×n GNF und D σ ∈ Z ^n×n Diagonalmatrix mit Diagonale (σ ₁ , . . . , σ _n ) ∈ {±1} ⁿ . Dann ist die quadratische Form f _A mit A = R ^t D _σ R ∈ R ^n×n eine LLLForm zu δ , ¹ ₄ < δ ≤ 1 , wenn R eine LLLBasis zu δ ist.

Aufgabe 1. Modiziere den Alg.zur LLLReduktion, so dass eine gege- bene Form f A , A = A ^t ∈ Z ^n×n in eine LLLForm f T

AT transformiert wird.

Wie werden die Vorzeichen σ ₁ , . . . , σ _n und die GNF R = (r _i,j ) berechnet und verändert?

Aufgabe 2. Sei A = R ^t D _σ R ∈ R ^n×n , R GNF und D _σ mit Diagonale σ ∈ {±1} ⁿ . Zeige:

1. Die Vertauschung von col(k − 1, A), col(k, A) und row(k − 1, A), row(k, A) lässt σ k−1 + σ _k , σ k−1 σ _k , r k−1,k−1 r _k,k und σ _i , r _i,i für i 6= k, k − 1 unverändert.

2. Für A ⁰ := T ^t AT mit T ∈ GL n ( Z ) gilt P n

i=1 σ i = P n

i=1 σ _i ⁰ , damit ist die 'Signatur' #{i | σ _i = 1} invariant gegen Äquivalenztransformationen T .

Aufgabe 3. Zeige:

1. Folgende Basis ist LLL-reduziert für δ und α = (δ − ¹ ₄ ) ⁻¹ , ρ := 1/ √ α :

[b, . . . , b _n ] =



























1 1/2 0 · · · · · · 0 0 ρ ρ/2 · · · · · · ...

... ... ρ ² ... ...

... ... ... ... 0

... ... ρ ⁿ⁻² ρ ⁿ⁻² /2 0 · · · · · · · · · 0 ρ ⁿ⁻¹



























∈ R ^n×n .

2. kb ₁ k ² = α

det(L) ^2/n .

(Damit ist die Schranke für kb 1 k ² von Korollar 4.5 (1) scharf.)