Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2010/11
Gitter und Kryptographie
Blatt 10, 19.01.2011, Abgabe Mittwoch, 26.01.2011
Def. Die LLL-Basis B =QR∈Rm×n, n=hk, ist streng primal-dual wenn 1. die Blöcke R` von R sind HKZBasen für` = 1, . . . , h,
2. maxT r¯2k`+1,k`+1 ≤(1 +ε)rk`+1,k`+12 für ` = 1, . . . , h−1, dabei maximiert maxT r¯2k`+1,k+1 den Wert r¯k`+1,k`+12 von [¯ri,j]k`−k+1<i,j≤k`+1 := GNF(R0`T) über alle T ∈GLk(Z). Dabei ist R0` = [ri,j]k`−k+2≤i,j≤k`+1.
Aufgabe 1. Zeige dass für jede streng primalduale Basis gilt D1/k` ≤ p
(1 +ε)γkk−12k
D`+11/k für `= 1, . . . , h−1. Dies ersetzt Wertαγk2in den Schranken für primalduale Basen durch √
1 +ε γkk−12k . Hinweis: Benutze den Beweis von Satz 6.3.3, Teil 1.
Aufgabe 2. Zeige: Alg. 6.3.2 führt höchstens n122hlog√1+εαIterationen aus bis DB≤1 erreicht ist.
Hinweis: Beweis von Satz 6.2.4 Teil 2.
Aufgabe 3. Sind die Gitter L(B) mit GramMatrizen
BtB =
2 1 1 2 1
1 2 1 1 2
,
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
kritisch ( d.h. λ21 =γ4det(L(B))2/4 )? Berechne det(BtB).
5 Punkte pro Aufgabe
