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E H R S T U H LA
FU R¨ M
A T H E M A T I K Prof. A. KriegA. Henn
Aachen, den 3. April 2012
2. ¨ Ubung zur Vorlesung Funktionentheorie II
Abgabe am 16.4. um 12 Uhr
Aufgabe 1
Seien a, b und c drei verschieden Punkte der Zahlkugel C. Zeigen Sie: Es gibt genau eineb M ¨obiustransformation ϕMmit der Eigenschaft
ϕM(a) = 0, ϕM(b) = 1, ϕM(c) = ∞.
(4 Punkte)
Aufgabe 2
a) Zeigen Sie: Eine M ¨obiustransformationϕMmit
M=
µ a b c d
¶
f ¨uhrt genau dannR∪ {∞} in sich ¨uber, wenn die Koeffizienten a,b,c,d bis auf einen ge- meinsamen Faktor reell sind.
b) Zeigen Sie: Durch die Abbildung
ψ: Cb →C,b z7→ i·1−z 1+z wird die Einheitskreislinie bijektiv aufR∪ {∞}abgebildet.
c) Zeigen Sie unter Verwendung vonψ: Alle M ¨obiustransformationen, die die Einheitskreisli- nie in sich ¨uberf ¨uhren, k ¨onnen in der Formϕ(z) = (az+b)/(bz+a)mita,b ∈ C,|a| 6=|b|, geschrieben werden.
(3+1+2 Punkte)
Aufgabe 3
a) Zeigen Sie: Eine von der Identit¨at verschiedene M ¨obiustransformation hat mindestens einen und h ¨ochstens zwei Fixpunkte inC.b
b) Zeigen Sie mithilfe von M ¨obiustransformationen: Zu jeder Matrix M ∈ GL(2,C) existiert eine MatrixA ∈ GL(2,C), so dass AMA−1eine Diagonalmatrix oder eine Dreiecksmatrix mit zwei gleichen Diagonalelementen ist.
Hinweis:Nehmen Sie zun¨achst an, dass∞ Fixpunkt vonϕMist, und f ¨uhren Sie den allge- meinen Fall darauf zur ¨uck.
(2+4 Punkte)
