Prof. Dr. M. Joachim Blatt 11
Dr. T. Timmermann Abgabe bis 28.06, 10 Uhr
timmermt@math.uni-muenster.de Besprechung vom 02. bis 06.07
Ubung zur Funktionentheorie ¨
Aufgabe 1. Zeigen Sie:
(a) Seien p, q: U →C holomorph,p(z0)6= 0, und z0 eine einfache Nullstelle von q. Dann gilt Resz0
p q
= qp(z0(z00)). (b)
Z ∞
−∞
dx
x4+ 5x2+ 4 = π 6.
Aufgabe 2. Zeigen Sie schrittweise:
(a) F¨urt ∈[0, π] undr >0 ist |eireit|<1.
(b) lim
r→∞
Z π
0
dt
reireit 1 +r2e2it
= 0.
(c) Z ∞
0
cos(x) 1 +x2 = π
2 e (Hinweis: Integrieren Sie die Funktion f(z) = eiz/(1 +z2) entlang einer geeigneten Kurve.)
Aufgabe 3. Zeigen Sie f¨ur die Funktion cot := cos/sin:
(a) Resk
cot(πz) z2
= πk12 f¨urk ∈Z\ {0}.
(b) Res0
cot(πz) z2
=−π3.
(Hinweis: Berechnen Sie die ersten Glieder der Laurent-Reihe von cot(πz) bei z = 0 mit Hilfe der Gleichung cot(πz) sin(πz) = cos(πz).)
Aufgabe 4.* Sei N ∈ N und γN die Kurve, die das achsenparallele Quadrat mit Mittelpunkt 0 und Seitenl¨ange 2N+ 1 im positiven Drehsinn mit konstanter Geschwindigkeit 1 (d.h.γN0 ≡1) durchl¨auft. Zeigen Sie schrittweise:
(a) Z
γN
dzπcot(πz)
z2 = 2πi
− π2 3 +
N
X
n=1
2 n2
. (b) F¨ur allex, y ∈R mit x+iy6∈Zπ gilt
|cot(x+iy)| ≤ e2|y|+ 1
e2|y|−1 und
cot π(N + 1/2) +iy
≤ e2|y|−1 e2|y|+ 1. (Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis die folgende (geometrisch offensicht- liche) Relation: |eita−b| ≥ |a−b|f¨ur allea, b≥0,t ∈R.)
(c) lim
N→∞
Z
γN
dzπcot(πz) z2 = 0.
(d)
∞
X
n=1
1 n2 = π2
6 .
